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[考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷8及答案与解析.doc

1、考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 ,其中 f(x)为连续函数,则 等于( )(A)a 2(B) a2f(a)(C) 0(D)不存在2 若连续函数 f(x)满足关系式 ,则 f(x)等于( )(A)e xln2(B) e2xln2(C) ex+ln2(D)e 2x+In23 等于( )(A) 12ln2xdx(B) 212lnxdx(C) 212ln(1+x)dx(D) 12ln2(1+x)dx4 如图 31,曲线段的方程为 y=f(x),函数 f(x)在区间 0,a上有连续的导数,则定积分 0axf(x)

2、dx 等于( )(A)曲边梯形 ABOD 面积(B)梯形 ABOD 面积(C)曲边三角形 ACD 面积(D)三角形 ACD 面积5 设 m,n 均是正整数,则反常积分 的收敛性( )(A)仅与 m 的取值有关(B)仅与 n 的取值有关(C)与 m,n 的取值都有关(D)与 m,n 的取值都无关6 设 f(x)连续,且 则 f(x)等于( )(A)1+Cxe x2(B) 2+Cxsinx(C) 2+Cx(D)2+x7 若连续函数满足关系式 则 f(x)=( )(A)(B)(C)(D)8 设 则( )(A)I 1I 2 1(B) 1I 1I 2(C) I2I 11(D)1I 2I 19 积分 =(

3、 )(A)(B)(C)(D)10 设 f(x)在a,b连续,则 f(x)在a ,b非负且在a,b的任意子区间上不恒为零是F(x)=ax(t)dt 在a,b单调增加的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件11 设 g(x)=0xf(u)du,其中 则 g(x)在区间(0,2)内( )(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续12 方程 根的个数( )(A)0(B) 1(C) 2(D)313 由曲线 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( )(A)(B)(C)(D)二、填空题14 =_.15 已知f(x 3)dx=x3+C(C 为

4、任意常数),则 f(x)=_16 =_.17 =_?18 =_.19 设 a0,则 =_.20 广义积分 =_.21 =_.22 =_23 =_24 当 0时,对数螺旋 r=e的弧长为_25 曲线 的弧长 s=_26 设函数 且 0,则 -+xf(x)dx=_27 曲线 =1相应于 的一段弧长 s=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设 y=f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数28 试证存在 x0(0,1),使得在区间0,x 0上以 f(x0)为高的矩形面积,等于在区间x0,1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积;29 又设 f(x)在区间(0,1)内可导,且 ,证明(

5、1) 中的 x0 是唯一的30 为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井 1:3(如图 35 所示)已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为 3ms,在提升过程中,污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:1N1 m=1J,m,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)31 求32 证明:(1)若函数 f(x)在闭区间 a,b上连续,则至少存在一点 a,b,使得f(x)dx=f()(b 一 a); (2)若函数 (x)具有二

6、阶导数,且满足 (2)(1),(2) 22(x)dx,则至少存在一点 (1,3),使得 ()032 设33 证明 f(x)是以 为周期的周期函数;34 求 f(x)的值域35 函数 与直线 x=0,x=t(t 0)及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为 V(t),侧面积为 S(t),在 x=t 处的底面积为F(t)(1)求 的值;(2)计算极限36 高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平放,当油罐中油面被 时(如图 36),计算油的质量(长度单位为 m,质量单位为kg,油的皴为常数 kgm 3)37 椭球面 S1 是椭圆

7、 绕 x 轴旋转而成,圆锥面 S2 是过点(4,0)且与椭圆相切的直线绕 x 轴旋转而成(1)求 S1 及 S2 的方程;(2)求 S1 与 S2 之间的立体体积37 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 x2+y2=连接而成(如图 37)38 求容器的容积;39 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位为m,重力加速度为 gms 2,水的密度为 103kgm 3)40 设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 证明至少存在一点 (a,b) ,使得 f()=f().tan41 计算42 过点(0 ,1)作曲线 L: y=1 似的切线,切点为 A

8、,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积43 (1)设 f(x)在 (一,+)上连续,证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意 a(一 ,+)恒有 aa+lf(x)dx=0lf(x)dx(2) 计算44 设 f(x)在 一 ,上连续,且有 求 f(x)45 设曲线 y=ax2(x0,常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A,过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D,求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); (2)a 的值,使 V

9、(a)为最大46 设 f(x)是区间0,+)上具有连续导数的单调增加函数,且 f(0)=1对任意的t0,+),直线 x=0,x=t,曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍,求函数 f(x)的表达式47 求不定积分48 设有摆线 试求 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积49 设 D 是由曲线 ,直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形,V x,V y 分别是 D 绕 x 轴,y 轴旋转一周所得旋转体的体积,若 Vy=10Vx,求 a 的值50 设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy一 y+2=

10、0,当曲线 y=y(x)过原点时,其与直线 x=1 及 y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 2,求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积51 设 f(x)在0,a上有一阶连续导数,证明至少存在一点 0,a,使得52 设 f(x)=-1xttdt(x一 1),求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 利用洛必达法则则故选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 在等式 ,两端对 x 求导得 f(x)=2f(x),则即

11、f(x)=Ce2x由题设知 f(0)=ln2,则 C=ln2,f(x)=e2xln2选B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 结合积分的定义,分割一求和一取极限可得因此正确选项为 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 首先其中 af(a)是矩形 ABOC 的面积, 0af(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积,所以 0a(x)dx 为曲边三角形ACD 的面积【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0,x=1 是该积分的两个瑕点,因此有【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=u,则

12、 du=x.dt,代入通解公式,解得 y=2+Cx【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数的反常积分,x=1 为瑕点,与求定积分一样,作变量替换 x=sint,其中 t故选 B【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 已知 g(x)在a,b连续,在(a,b)可导,则 g(x)在a,b 单调增加g(x)0(x(a,b),在(a,b)的任意子区间内 g(x)0因此,F(x)= 0xf(t)dt(在a,b可导)在a ,b

13、单调增加 F(x)=f(x)0(x(a,b)且在(a,b) 的任意子区间内F(x)=f(x)0故选 C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ,2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点),所以 f(x)在该区间上可积,因而 g(x)=0xf(u)du 在该区间内必连续,故选D【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 B【试题解析】 ,所以有一 1e-cos2xsinx1,又 F(0)=10,因此 F(x)0,从而有 F(x)在( 一,+)严格单调递增,由此,F(x)=0 最多有一实根综上,F(x)=0 在(一,+)上有且

14、仅有一个实根,故选 B【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式,得 故选B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题14 【正确答案】 一 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=sint,则【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 令 x=sint,则【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 由题干可

15、知,原式可化为根据定积分的几何意义可得 (半径为 a 的半圆的面积)所以【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【试题解析】 利用极坐标的弧长公式:【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【试题解析】 已知 x0 时,函数

16、 f(x)值恒为 0,因此可得【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 本题可转化为证明 x0f(x0)=01f(x)dx令 (x)=一 xx1f(t)dt,则 (x)在闭区间0 ,1 上是连续的,在开区间(0,1) 上是可导的,又因为 (0)=(1)=0,根据罗尔定理可知,存在 x0(0,1) ,使得 (x0)=0,即 (x0)=x0f(x0)一 x01f(t)dt=0 就是 x 0f(x0)=x01f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学29 【

17、正确答案】 令 r(x)=xf(x)一 x1f(t)dt,F(x)=xf(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)0即 F(x)在(0,1)内是严格单调递增的,从而 F(x)=0 的点 x=x0 一定唯一,因此(1)中的点是唯一的【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 作 x 轴如图 313 所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为 W,当抓斗运动到 x 处时,作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N,缆绳的重力 50(30一 x)N,污泥的重力 ,即【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1)设 M 与 m 是连续函

18、数 f(x)在a,b上的最大值与最小值,即【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 由题设条件可得 设 t=u+,则有因此 f(x)是以 为周期的周期函数【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 因为sinx周期为 ,故只需在0, 上讨论值域因为【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 如图 314,建立直角坐标系,则油罐底面椭圆方程为图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S1 为下半椭圆面积,则记 S2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积,则【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 (1)由题

19、意得 S1 的方程为【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 曲线可表示为【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 利用微元法,所做功的计算分为两部分:【知识模块】 一元函数积分学40 【正确答案】 由 f(x)在区间a ,b上可导,知 f(x)在区间a,b上连续,从而F(x)=f(x)cosx 在【知识模块】 一元函数积分学41 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法【知识模块】 一元函数积分学42 【正确答案】 设切点坐标为 A(x0,lnx 0),斜率为 ,因此该点处切线方程为又因为该切线过 B(0,1),所以 x0=e2,故切线方程为切线与 x

20、 轴交点为(1,0)因此直线 AB 的方程为 (1)区域的面积为 (2)旋转一周所围成的体积为【知识模块】 一元函数积分学43 【正确答案】 (1)证明:必要性(2)利用上述性质,将原区间变换成对称区间,从而利于使用函数的奇偶性,于是【知识模块】 一元函数积分学44 【正确答案】 曲于 -xf(x)sindx 存在,且记为 A,于是可得,对右边积分作积分变量变换:x= 一 t,当 x=0 时,t=;当 x=时,t=0于是【知识模块】 一元函数积分学45 【正确答案】 由题意知,y=ax 2 与 y=1x2 的交点为 直线 DA的方程为 当 a0时,得 V(a)的唯一驻点 a=4当 0a4 时,V(a)0;当 a4 时,V(a)0故a=4 为 V(a)的唯一极大值点,即为最大值点【知识模块】 一元函数积分学46 【正确答案】 旋转体的体积公式【知识模块】 一元函数积分学47 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学48 【正确答案】 这是由参数方程给出的曲线,由于 x()=1一 cos,y()=sin,则按旋转面面积计算公式,可得旋转面的面积【知识模块】 一元函数积分学49 【正确答案】 由微元法可知【知识模块】 一元函数积分学

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