1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，其中 f(x)为连续函数，则 等于( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在2 若连续函数 f(x)满足关系式 ，则 f(x)等于( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+In23 等于( )（A） 12ln2xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1+x)dx（D） 12ln2(1+x)dx4 如图 31，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间 0,a上有连续的导数，则定积分 0axf(x)
2、dx 等于( )（A）曲边梯形 ABOD 面积（B）梯形 ABOD 面积（C）曲边三角形 ACD 面积（D）三角形 ACD 面积5 设 m，n 均是正整数，则反常积分 的收敛性( )（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m，n 的取值都无关6 设 f(x)连续，且 则 f(x)等于( )（A）1+Cxe x2（B） 2+Cxsinx（C） 2+Cx（D）2+x7 若连续函数满足关系式 则 f(x)=( )（A）（B）（C）（D）8 设 则( )（A）I 1I 2 1（B） 1I 1I 2（C） I2I 11（D）1I 2I 19 积分 =(
3、 )（A）（B）（C）（D）10 设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a ，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是F(x)=ax(t)dt 在a，b单调增加的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件11 设 g(x)=0xf(u)du，其中 则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续12 方程 根的个数( )（A）0（B） 1（C） 2（D）313 由曲线 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题14 =_.15 已知f(x 3)dx=x3+C(C 为
4、任意常数)，则 f(x)=_16 =_.17 =_?18 =_.19 设 a0，则 =_.20 广义积分 =_.21 =_.22 =_23 =_24 当 0时，对数螺旋 r=e的弧长为_25 曲线 的弧长 s=_26 设函数 且 0，则 -+xf(x)dx=_27 曲线 =1相应于 的一段弧长 s=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数28 试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，等于在区间x0，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；29 又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 ，证明(
5、1) 中的 x0 是唯一的30 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井 1：3(如图 35 所示)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1N1 m=1J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)31 求32 证明：(1)若函数 f(x)在闭区间 a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得f(x)dx=f()(b 一 a)； (2)若函数 (x)具有二
6、阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 22(x)dx，则至少存在一点 (1,3)，使得 ()032 设33 证明 f(x)是以 为周期的周期函数；34 求 f(x)的值域35 函数 与直线 x=0，x=t(t 0)及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为F(t)(1)求 的值；(2)计算极限36 高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面被 时(如图 36)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为kg，油的皴为常数 kgm 3)37 椭球面 S1 是椭圆
7、 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕 x 轴旋转而成(1)求 S1 及 S2 的方程；(2)求 S1 与 S2 之间的立体体积37 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x2+y2=连接而成(如图 37)38 求容器的容积；39 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为 gms 2，水的密度为 103kgm 3)40 设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 证明至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=f().tan41 计算42 过点(0 ，1)作曲线 L： y=1 似的切线，切点为 A
8、，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积43 (1)设 f(x)在 (一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意 a(一 ，+)恒有 aa+lf(x)dx=0lf(x)dx(2) 计算44 设 f(x)在 一 ，上连续，且有 求 f(x)45 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D，求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); (2)a 的值，使 V
9、(a)为最大46 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的t0，+)，直线 x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式47 求不定积分48 设有摆线 试求 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积49 设 D 是由曲线 ，直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y 分别是 D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy=10Vx，求 a 的值50 设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy一 y+2=
10、0，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积51 设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得52 设 f(x)=-1xttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 利用洛必达法则则故选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 在等式 ，两端对 x 求导得 f(x)=2f(x)，则即
11、f(x)=Ce2x由题设知 f(0)=ln2，则 C=ln2,f(x)=e2xln2选B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 结合积分的定义，分割一求和一取极限可得因此正确选项为 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 首先其中 af(a)是矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以 0a(x)dx 为曲边三角形ACD 的面积【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0，x=1 是该积分的两个瑕点，因此有【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=u，则
12、 du=x.dt，代入通解公式，解得 y=2+Cx【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中 t故选 B【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 已知 g(x)在a，b连续，在(a，b)可导，则 g(x)在a，b 单调增加g(x)0(x(a，b)，在(a，b)的任意子区间内 g(x)0因此，F(x)= 0xf(t)dt(在a，b可导)在a ，b
13、单调增加 F(x)=f(x)0(x(a，b)且在(a，b) 的任意子区间内F(x)=f(x)0故选 C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ，2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)=0xf(u)du 在该区间内必连续，故选D【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 B【试题解析】 ，所以有一 1e-cos2xsinx1，又 F(0)=10，因此 F(x)0，从而有 F(x)在( 一，+)严格单调递增，由此，F(x)=0 最多有一实根综上，F(x)=0 在(一，+)上有且
14、仅有一个实根，故选 B【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得 故选B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题14 【正确答案】 一 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=sint，则【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 令 x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 由题干可
15、知，原式可化为根据定积分的几何意义可得 (半径为 a 的半圆的面积)所以【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【试题解析】 利用极坐标的弧长公式：【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【试题解析】 已知 x0 时，函数
16、 f(x)值恒为 0，因此可得【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 本题可转化为证明 x0f(x0)=01f(x)dx令 (x)=一 xx1f(t)dt，则 (x)在闭区间0 ，1 上是连续的，在开区间(0，1) 上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x0(0，1) ，使得 (x0)=0，即 (x0)=x0f(x0)一 x01f(t)dt=0 就是 x 0f(x0)=x01f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学29 【
17、正确答案】 令 r(x)=xf(x)一 x1f(t)dt，F(x)=xf(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)0即 F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，从而 F(x)=0 的点 x=x0 一定唯一，因此(1)中的点是唯一的【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 作 x 轴如图 313 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力 50(30一 x)N，污泥的重力 ，即【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1)设 M 与 m 是连续函
18、数 f(x)在a，b上的最大值与最小值，即【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 由题设条件可得 设 t=u+，则有因此 f(x)是以 为周期的周期函数【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 因为sinx周期为 ，故只需在0， 上讨论值域因为【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 如图 314，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S1 为下半椭圆面积，则记 S2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 (1)由题
19、意得 S1 的方程为【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 曲线可表示为【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 利用微元法，所做功的计算分为两部分：【知识模块】 一元函数积分学40 【正确答案】 由 f(x)在区间a ，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而F(x)=f(x)cosx 在【知识模块】 一元函数积分学41 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法【知识模块】 一元函数积分学42 【正确答案】 设切点坐标为 A(x0，lnx 0)，斜率为 ，因此该点处切线方程为又因为该切线过 B(0，1)，所以 x0=e2，故切线方程为切线与 x
20、 轴交点为(1，0)因此直线 AB 的方程为 (1)区域的面积为 (2)旋转一周所围成的体积为【知识模块】 一元函数积分学43 【正确答案】 (1)证明：必要性(2)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是【知识模块】 一元函数积分学44 【正确答案】 曲于 -xf(x)sindx 存在，且记为 A，于是可得，对右边积分作积分变量变换：x= 一 t，当 x=0 时，t=；当 x=时，t=0于是【知识模块】 一元函数积分学45 【正确答案】 由题意知，y=ax 2 与 y=1x2 的交点为 直线 DA的方程为 当 a0时，得 V(a)的唯一驻点 a=4当 0a4 时，V(a)0；当 a4 时，V(a)0故a=4 为 V(a)的唯一极大值点，即为最大值点【知识模块】 一元函数积分学46 【正确答案】 旋转体的体积公式【知识模块】 一元函数积分学47 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学48 【正确答案】 这是由参数方程给出的曲线，由于 x()=1一 cos，y()=sin，则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积【知识模块】 一元函数积分学49 【正确答案】 由微元法可知【知识模块】 一元函数积分学
