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[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷12及答案与解析.doc

1、考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设当 xx 0 时,(x),(x)(x)0)都是无穷小,则当 xx 0 时,下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )(A)(B) 2(x)+2(x)cos(C) ln1+(x) 2(x)(D)(x)+(x)2 设当 x0 时,e tanx 一 ex 与 xn 是同阶无穷小,则 n 为 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)43 当 x0 时,f(x)=xsin ax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小,则 ( )4 设当 x0 时,f(x)=ax 3+bx

2、 与 g(x)=0sinx( 一 1)dx 等价,则 ( )(A)a= , b=1(B) a=3,b=0(C) a= ,b=0(D)a=1 ,b=05 设当 x0 时,f(x)=ln(1+x)一 ln(1+sinx)是 x 的 n 阶无穷小,则正整数 n 等于(A)1(B) 2(C) 3(D)46 若 f(x)= =0,则 ( )(A)0,k0(B) 0,k0(C) 0, k0(D) 0,k0二、填空题7 =_8 极限 =_。9 若当 x0 时,有 ,则 a=_10 当 x0 时,若有 ln(cos )Ax k,则 A=_,k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求极限:

3、 12 求极限: ,a i0,且 ai1,i=1 ,2,n,n213 求极限: 14 求极限: ,a015 设 16 已知 ,求f(x)17 设 f(x)是三次多项式,且有 18 设 (cos x 一 b)=5,求 a,b 的值19 设 =10,试求 , 的值20 确定常数 a 和 b 的值,使 =421 设函数 f(x)= (x0),证明:存在常数 A,B,使得当 x0 +时,恒有f(x)=e+Ax+Bx2+0(x2),并求常数 A,B22 计算 23 已知 D0求常数 A,B,C,D 24 求 25 已知数列x n的通项 xn= 26 设 a1=2,a n+1= 存在并求其极限值27 设

4、a1=1,当 n1 时,a n+1= ,证明:数列a n收敛,并求其极限值28 设 a1=0,当 n1 时,a n+1=2 一 cos an,证明:数列a n收敛,并证明其极限值位于区间( ,3) 内29 设 a1=1,当 n1 时,a n+1= ,证明:数列a n收敛,并求其极限值30 设 x1=1, xn+1= 31 如果数列x n收敛,y n发散,那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散,那么x nyn的敛散性又将如何?考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 有限个

5、无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 因为因此 n=4【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零,故 0;又 f(x)=0,故 k0【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题7 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正

6、确答案】 一 3【试题解析】 当 x0 时, 故a=一 3【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 一 ;2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 原式=【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因为 =1(a0),所以 f(2a)=f(4a)=0,从而得知

7、x 一 2a, x 一 4a 为 f(x)的因式,又因为 f(x)为三次多项式,可令 f(x)=b(x 一2a)(x 一 4a)(x 一 c)于是 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 所以 b=一 4【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26

8、【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 设 f(x)= 0,f(x) 在0,+) 上单调增加 由 a1=10,可得 a2= 0故 a1a 20,又由于函数 f(x)在0,+)上单调增加,所以有 f(a1)f(a 2)f(0)=0再根据递归定义式 an+1=f(an),可得a2a 30类似地可以继续得到: a1a 2a 3a 4a na n+10,于是可知数列a n单调减少且有下界 0,所以数列a n收敛设其极限为 A(A0),即=A 在 an+1=f(an)两边同取 n时的极限,根据函数 f(x)的连续性,有 A=f(A),即 A= 【知识模块】 函数、极限、连续28

9、【正确答案】 设 f(x)=2 一 cos x,则 an+1=f(an),有 f(x)=sin x,所以 f(x)在0,3上单增 由于 a1=0,a 2=2 一 cos a1=1,即 a1a 23,由于函数 f(x)在0,3上单调增加,所以 f(a1)f(a 2)f(3),即 a2a 33,从而有a1a 2a 3a 4a na n+13 于是可知数列 an单调增加且有上界 3,所以数列a n收敛设其极限为 A(A3),即 =A 在an+1=f(an)两边同取 n时的极限,有 A=f(A),即 A=2 一 cos A 记 g(x)=x 一2+cos x,则上述数列的极限值 A,就是方程 g(x)

10、=0 的解 由于函数 g(x)在0,3上连续,在(0,3) 内可导,且有 g(x)=1 一 sin x0,所以函数 g(x)在0,3上单调增加由于 g(3)=1+cos 30 , ,所以方程 g(x)=0 在区间( ,3)内的解存在且唯一,证毕【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 设 f(x)= 0,所以 f(x)在0,+) 上单调减少 由于 a1=1,a 2= ,可知 a1a 3a 2,而 f(x)在0,+)上单调减少,所以有 f(a1)f(a 3)f(a 2),即 a2a 4a 3,所以 a1a 3a 4a 2,递推下去就可以得到 a 1 a3a 5a 2n 一 1a 2na

11、6a 4a 2 由此可以肯定,给定数列的奇数项子数列a 2n 一 1单调减少且有下界 a2= ,偶数项子数列a 2n单调增加且有上界 a1=1,所以他们都收敛设他们的极限分别为正数 P 和 Q,即 =Q在 an+1=f(an)两边同取 n时的极限,根据函数f(x)的连续性,有【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 在题设两种情况下,x nyn的收敛性都不能确定现在先就 xn收敛,y n发散的情况来分析利用 yn= (xn0)这个恒等式,就可得到下述结论:若x n收敛且不收敛于零,y n发散,则x nyn必发散这是因为若x nyn收敛,

12、且xn收敛而极限不等于零,则从上述恒等式及极限相除法则,可知y n收敛,这与假设矛盾若 =0,且y n发散,则x nyn可能收敛,也可能发散,如: xn=,y n=n,则 xnyn=1,于是 xnyn收敛 x n= ,y n=(一 1)nn,则 xnyn=(一 1)n,于是(x nyn发散 现在再就x n和y n都发散的情况来分析 xnyn的收敛性有下面的结论:若x n和y n都发散,且两者至少有一个是无穷大,则x nyn必发散这是因为如果x nyn收敛,而 xn为无穷大,从等式 yn= 便得到y n收敛于零,这与假设矛盾 若x n和 yn都不是无穷大,且都发散,则 xnyn可能收敛,也可能发散,如: x n=yn=(一 1)n 有 xnyn=1,于是x nyn收敛 x n=(一 1)n,y n=(一1)n,有 xnyn=(一 1)n 一 1,于是x nyn发散【知识模块】 函数、极限、连续

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