1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B） 2(x)+2(x)cos（C） ln1+(x) 2(x)（D）(x)+(x)2 设当 x0 时，e tanx 一 ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 当 x0 时，f(x)=xsin ax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 ( )4 设当 x0 时，f(x)=ax 3+bx
2、 与 g(x)=0sinx( 一 1)dx 等价，则 ( )（A）a= ， b=1（B） a=3，b=0（C） a= ，b=0（D）a=1 ，b=05 设当 x0 时，f(x)=ln(1+x)一 ln(1+sinx)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）46 若 f(x)= =0，则 ( )（A）0，k0（B） 0，k0（C） 0， k0（D） 0，k0二、填空题7 =_8 极限 =_。9 若当 x0 时，有 ，则 a=_10 当 x0 时，若有 ln(cos )Ax k，则 A=_，k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求极限：
3、 12 求极限： ，a i0，且 ai1，i=1 ，2，n，n213 求极限： 14 求极限： ，a015 设 16 已知 ，求f(x)17 设 f(x)是三次多项式，且有 18 设 (cos x 一 b)=5，求 a，b 的值19 设 =10，试求 ， 的值20 确定常数 a 和 b 的值，使 =421 设函数 f(x)= (x0)，证明：存在常数 A，B，使得当 x0 +时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+0(x2)，并求常数 A，B22 计算 23 已知 D0求常数 A，B，C，D 24 求 25 已知数列x n的通项 xn= 26 设 a1=2，a n+1= 存在并求其极限值27 设
4、a1=1，当 n1 时，a n+1= ，证明：数列a n收敛，并求其极限值28 设 a1=0，当 n1 时，a n+1=2 一 cos an，证明：数列a n收敛，并证明其极限值位于区间( ，3) 内29 设 a1=1，当 n1 时，a n+1= ，证明：数列a n收敛，并求其极限值30 设 x1=1， xn+1= 31 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 有限个
5、无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 因为因此 n=4【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零，故 0；又 f(x)=0，故 k0【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题7 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正
6、确答案】 一 3【试题解析】 当 x0 时， 故a=一 3【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 一 ；2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 原式=【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因为 =1(a0)，所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知
7、x 一 2a， x 一 4a 为 f(x)的因式，又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x 一2a)(x 一 4a)(x 一 c)于是 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 所以 b=一 4【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26
8、【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 设 f(x)= 0，f(x) 在0，+) 上单调增加 由 a1=10，可得 a2= 0故 a1a 20，又由于函数 f(x)在0，+)上单调增加，所以有 f(a1)f(a 2)f(0)=0再根据递归定义式 an+1=f(an)，可得a2a 30类似地可以继续得到： a1a 2a 3a 4a na n+10，于是可知数列a n单调减少且有下界 0，所以数列a n收敛设其极限为 A(A0)，即=A 在 an+1=f(an)两边同取 n时的极限，根据函数 f(x)的连续性，有 A=f(A)，即 A= 【知识模块】 函数、极限、连续28
9、【正确答案】 设 f(x)=2 一 cos x，则 an+1=f(an)，有 f(x)=sin x，所以 f(x)在0，3上单增 由于 a1=0，a 2=2 一 cos a1=1，即 a1a 23，由于函数 f(x)在0，3上单调增加，所以 f(a1)f(a 2)f(3)，即 a2a 33，从而有a1a 2a 3a 4a na n+13 于是可知数列 an单调增加且有上界 3，所以数列a n收敛设其极限为 A(A3)，即 =A 在an+1=f(an)两边同取 n时的极限，有 A=f(A)，即 A=2 一 cos A 记 g(x)=x 一2+cos x，则上述数列的极限值 A，就是方程 g(x)
10、=0 的解 由于函数 g(x)在0，3上连续，在(0，3) 内可导，且有 g(x)=1 一 sin x0，所以函数 g(x)在0，3上单调增加由于 g(3)=1+cos 30 ， ，所以方程 g(x)=0 在区间( ，3)内的解存在且唯一，证毕【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 设 f(x)= 0，所以 f(x)在0，+) 上单调减少 由于 a1=1，a 2= ，可知 a1a 3a 2，而 f(x)在0，+)上单调减少，所以有 f(a1)f(a 3)f(a 2)，即 a2a 4a 3，所以 a1a 3a 4a 2，递推下去就可以得到 a 1 a3a 5a 2n 一 1a 2na
11、6a 4a 2 由此可以肯定，给定数列的奇数项子数列a 2n 一 1单调减少且有下界 a2= ，偶数项子数列a 2n单调增加且有上界 a1=1，所以他们都收敛设他们的极限分别为正数 P 和 Q，即 =Q在 an+1=f(an)两边同取 n时的极限，根据函数f(x)的连续性，有【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn的收敛性都不能确定现在先就 xn收敛，y n发散的情况来分析利用 yn= (xn0)这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零，y n发散，则x nyn必发散这是因为若x nyn收敛，
12、且xn收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 =0，且y n发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如： xn=，y n=n，则 xnyn=1，于是 xnyn收敛 x n= ，y n=(一 1)nn，则 xnyn=(一 1)n，于是(x nyn发散 现在再就x n和y n都发散的情况来分析 xnyn的收敛性有下面的结论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则x nyn必发散这是因为如果x nyn收敛，而 xn为无穷大，从等式 yn= 便得到y n收敛于零，这与假设矛盾 若x n和 yn都不是无穷大，且都发散，则 xnyn可能收敛，也可能发散，如： x n=yn=(一 1)n 有 xnyn=1，于是x nyn收敛 x n=(一 1)n，y n=(一1)n，有 xnyn=(一 1)n 一 1，于是x nyn发散【知识模块】 函数、极限、连续
