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[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷36及答案与解析.doc

1、考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ,则( )2 下列各式中正确的是( )3 设数列x n与y n满足 xnyn=0,则下列结论正确的是 ( )(A)若x n发散,则y n必发散。(B)若 xn无界,则y n必无界。(C)若 xn有界,则y n必为无穷小。(D)若 )为无穷小,则y n必为无穷小。4 设函数 f(x)在(一,+)内单调有界,x n为数列,下列命题正确的是( )(A)若x n收敛,则f(x n)收敛。(B)若 xn单调,则f(x n)收敛。(C)若 f(xn)收敛,则x n收敛

2、。(D)若f(x n)单调,则x n收敛。5 当 x0 时,下列四个无穷小中,比其他三个高阶的无穷小是( )(A)x 2。(B) 1 一 cosx。(C) 一 1。(D)x 一 tanx。6 设 x0 时,ax 2+bx+ccosx 是高阶的无穷小,其中 a,b,c 为常数,则( )(A)a= , b=0,c=1。(B) a= ,b=0,c=0 。(C) a= ,b=0,c=1 。(D)a= , b=0,c=0。7 当 x0 时,e x 一(ax 2+bx+1)是比 x2 高阶的无穷小,则 ( )(A)a= , b=1。(B) a=1,b=1。(C) a= ,b=一 1。(D)a= 一 1,b

3、=1。8 设 xa 时, f(x)与 g(x)分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小,则下列命题中,正确的个数是( ) f(x)g(x)是 xa 的 n+m 阶无穷小;若 nm,则 是 x 一 a 的nm 阶无穷小;若 nm,则 f(x)+g(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小。(A)1。(B) 2。(C) 3。(D)0。9 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义,且 f(x)在 x0 间断,则在点 x0 处必定间断的函数是( )(A)f(x)sinx 。(B) f(x)+sinx。(C) f2(x)。(D)f(x)。10 设函数 f(x)= 在(一,+)内连续,且 f(x)=0,则常数

4、 a,b 满足( )(A)a0, b0。(B) a0,b0。(C) a0,b0。(D)a0 ,b0。11 设 f(x)= 则( )(A)f(x)在点 x=1 处连续,在点 x=一 1 处间断。(B) f(x)在点 x=1 处间断,在点 x=一 1 处连续。(C) f(x)在点 x=1,x=一 1 处均连续。(D)f(x)在点 x=1,x= 一 1 处均间断。12 设 f(x)在( 一,+)内有定义,且 则( )(A)x=0 必是 g(x)的第一类间断点。(B) x=0 必是 g(x)的第二类间断点。(C) x=0 必是 g(x)的连续点。(D)g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关

5、。二、填空题13 =_。14 =_。15 设 a0, a1,且 =lna,则 p=_。16 =_。17 设 =8,则 a=_。18 若 f(x)= ,在(一,+)内连续,则 a=_。19 设函数 f(x)= 在(一,+)内连续,则 c=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 试确定常数 A,B,C 的值,使得 e x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3), 其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小。21 求极限 。22 求极限 。23 求极限 。24 求极限 。25 求极限 。26 求极限 。27 求极限 。28 求极限 。28 设数列x n满足 0x 1 ,

6、x n1 =sinxn(n=1,2,) 。29 证明 xn 存在,并求该极限。30 计算 。31 求函数 f(x)= sinx 的间断点,并指出其类型。考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用推演法。将题设条件 f(x)中的所有自变量 x 都用(一 x)替换,得f(一 x)= 也就是 f(一 x)= 故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 由重要极限结论 =e,可立即排除 B、D 。对于 A、C选项,只要验算其中之一即可。对于 C 选项,因=e1

7、,故 C 不正确,选 A。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n,y n=0,显然满足题设条件,由此可排除 A、B。若取xn=0, yn=n,也满足 xnyn=,排除 C 项。故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在( 一,+) 内单调有界,且结合选项 B,x n单调,所以f(xn)单调且有界。故 f(xn)一定存在极限,即f(x n)一定收敛。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 利用常用的等价无穷小结论。由于 x0 时,1 一 cosx,所以当 x0 时,B、C 与 A 是同阶

8、无穷小,由排除法知选 D。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 (ax2+bx+ccosx)=0,得 c=1,又因为所以 b=0,a= 。故选C。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 因 ex=l+x+ +o(x2),故 ex 一(ax 2+bx+1)=(1b)x+( 一 a)x2+o(x2)。显然要使上式是比 x2 高阶的无穷小(x0 时),只要 故选A。【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题按无穷小阶的定义要逐一分析:命题:xa 时,f(x)g(x)是 x 一 a 的 n+m 阶无穷小;命题:若

9、 nm,xa 时,f(x)g(x)是 x 一 a 的 nm 阶无穷小;命题:例如,x0 时,sinx 与一 x 均是 x 的一阶无穷小,但 即 sinx+(一 x)是 x 的三阶无穷小。因此, 正确,但 错误。故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 若 F(x)+sinx 在 x=x0 处连续,则 f(x)=f(x)+sinx一 sinx 在 x=x0 连续,与已知矛盾。因此 f(x)+sinx 在点 x0 处必间断。故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)连续,所以 a+ebx0,因此只要 a0即可。再由可知

10、x时,a+e bx 必为无穷大(否则极限必不存在),此时需 b0,故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 B【试题解析】 由函数连续定义可知, 所以 f(x)在x=1 处间断。 所以f(x)在 x=一 1 处连续,故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =a。又 g(0)=0,所以当 a=0时,有 =g(0),也就是说,此时 g(x)在点 x=0 处连续;当 a0时,g(x)g(0),即此时 x=0 是 g(x)的第一类间断点。因此,g(x)在 x=0 处的连续性与 a 的取值有关,故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题

11、13 【正确答案】 2【试题解析】 =2。【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 e 6【试题解析】 将所给极限化为指数函数的形式,则有=e6。【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 ln2【试题解析】 =e3a=8,即 a=ln2。【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f(x)在( 一,0)及(0,+) 内连续,所以需要确定参数 a,使 f(x)在 x=0 处连续。 当 =a时,f(x)在 x=0 处连续,所以

12、 a=0 时,f(x) 在(一,+)内连续。【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 1【试题解析】 由题设知,cx0,所以又 f(x)在(, )内连续,则 f(x)必在 x=c 处连续,所以有 =f(c),即c21= ,得 c=1。【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 将麦克劳林展开式 ex=1+x+ o(x 3)代入已知等式得【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 因为 ln(cosx)=ln(1+cosx 一 1),所以 x0,ln(cosx) cosx 1x2。又由麦克劳林展开式(1+x) m=1+mx+

13、x+o(x2)及 ex=1+x+ +o(x2),因此【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由洛必达法则可知,【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由麦克劳林展开式 x2+o(x2)和洛必达法则可知,【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 由麦克劳林展开式 ln(1+x)=x 一 +o(x2)可知【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 该极限式为 1型未定式,可直接利用重要极限公式进行计算,【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 由麦克劳林展开式 arctanx=x 一 x3+o(x3),ar

14、csinx=x+ x3+o(x3)可得原式= 。【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 0x 1,则 0x 2=sinx11。由数学归纳法知0x n1 =sinxn1,n=1,2,即数列x n有界。于是 1(因当x0 时,sinxx),则有 xn1 x n,可见数列x n单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知,极限 存在。设 xn=l,在 xn1 =sinxn 两边令 n ,得l=sinl,解得 l=0,即 =0。【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 因 ,由()知该极限为 1型。令t=xn,则 n,t0,而【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 函数 f(x)的可疑点只有 x=0 和 x=1 两个。因为所以 x=0 为可去间断点,x=1 为跳跃间断点。【知识模块】 函数、极限、连续

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