1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则( )2 下列各式中正确的是( )3 设数列x n与y n满足 xnyn=0，则下列结论正确的是 ( )（A）若x n发散，则y n必发散。（B）若 xn无界，则y n必无界。（C）若 xn有界，则y n必为无穷小。（D）若 )为无穷小，则y n必为无穷小。4 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是( )（A）若x n收敛，则f(x n)收敛。（B）若 xn单调，则f(x n)收敛。（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛
2、。（D）若f(x n)单调，则x n收敛。5 当 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（A）x 2。（B） 1 一 cosx。（C） 一 1。（D）x 一 tanx。6 设 x0 时，ax 2+bx+ccosx 是高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（A）a= ， b=0，c=1。（B） a= ，b=0，c=0 。（C） a= ，b=0，c=1 。（D）a= ， b=0，c=0。7 当 x0 时，e x 一(ax 2+bx+1)是比 x2 高阶的无穷小，则 ( )（A）a= ， b=1。（B） a=1，b=1。（C） a= ，b=一 1。（D）a= 一 1，b
3、=1。8 设 xa 时， f(x)与 g(x)分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( ) f(x)g(x)是 xa 的 n+m 阶无穷小；若 nm，则 是 x 一 a 的nm 阶无穷小；若 nm，则 f(x)+g(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小。（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）0。9 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x0 间断，则在点 x0 处必定间断的函数是( )（A）f(x)sinx 。（B） f(x)+sinx。（C） f2(x)。（D）f(x)。10 设函数 f(x)= 在(一，+)内连续，且 f(x)=0，则常数
4、 a，b 满足( )（A）a0， b0。（B） a0，b0。（C） a0，b0。（D）a0 ，b0。11 设 f(x)= 则( )（A）f(x)在点 x=1 处连续，在点 x=一 1 处间断。（B） f(x)在点 x=1 处间断，在点 x=一 1 处连续。（C） f(x)在点 x=1，x=一 1 处均连续。（D）f(x)在点 x=1，x= 一 1 处均间断。12 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且 则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点。（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点。（C） x=0 必是 g(x)的连续点。（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关
5、。二、填空题13 =_。14 =_。15 设 a0， a1，且 =lna，则 p=_。16 =_。17 设 =8，则 a=_。18 若 f(x)= ，在(一，+)内连续，则 a=_。19 设函数 f(x)= 在(一，+)内连续，则 c=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)， 其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小。21 求极限 。22 求极限 。23 求极限 。24 求极限 。25 求极限 。26 求极限 。27 求极限 。28 求极限 。28 设数列x n满足 0x 1 ，
6、x n1 =sinxn(n=1，2，) 。29 证明 xn 存在，并求该极限。30 计算 。31 求函数 f(x)= sinx 的间断点，并指出其类型。考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用推演法。将题设条件 f(x)中的所有自变量 x 都用(一 x)替换，得f(一 x)= 也就是 f(一 x)= 故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D 。对于 A、C选项，只要验算其中之一即可。对于 C 选项，因=e1
7、，故 C 不正确，选 A。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n，y n=0，显然满足题设条件，由此可排除 A、B。若取xn=0， yn=n，也满足 xnyn=，排除 C 项。故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+) 内单调有界，且结合选项 B，x n单调，所以f(xn)单调且有界。故 f(xn)一定存在极限，即f(x n)一定收敛。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 利用常用的等价无穷小结论。由于 x0 时，1 一 cosx，所以当 x0 时，B、C 与 A 是同阶
8、无穷小，由排除法知选 D。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 (ax2+bx+ccosx)=0，得 c=1，又因为所以 b=0，a= 。故选C。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 因 ex=l+x+ +o(x2)，故 ex 一(ax 2+bx+1)=(1b)x+( 一 a)x2+o(x2)。显然要使上式是比 x2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 故选A。【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题按无穷小阶的定义要逐一分析：命题：xa 时，f(x)g(x)是 x 一 a 的 n+m 阶无穷小；命题：若
9、 nm，xa 时，f(x)g(x)是 x 一 a 的 nm 阶无穷小；命题：例如，x0 时，sinx 与一 x 均是 x 的一阶无穷小，但 即 sinx+(一 x)是 x 的三阶无穷小。因此， 正确，但 错误。故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 若 F(x)+sinx 在 x=x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx一 sinx 在 x=x0 连续，与已知矛盾。因此 f(x)+sinx 在点 x0 处必间断。故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)连续，所以 a+ebx0，因此只要 a0即可。再由可知
10、x时，a+e bx 必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需 b0，故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 B【试题解析】 由函数连续定义可知， 所以 f(x)在x=1 处间断。 所以f(x)在 x=一 1 处连续，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =a。又 g(0)=0，所以当 a=0时，有 =g(0)，也就是说，此时 g(x)在点 x=0 处连续；当 a0时，g(x)g(0)，即此时 x=0 是 g(x)的第一类间断点。因此，g(x)在 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题
11、13 【正确答案】 2【试题解析】 =2。【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 e 6【试题解析】 将所给极限化为指数函数的形式，则有=e6。【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 ln2【试题解析】 =e3a=8，即 a=ln2。【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f(x)在( 一，0)及(0，+) 内连续，所以需要确定参数 a，使 f(x)在 x=0 处连续。 当 =a时，f(x)在 x=0 处连续，所以
12、 a=0 时，f(x) 在(一，+)内连续。【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 1【试题解析】 由题设知，cx0，所以又 f(x)在(， )内连续，则 f(x)必在 x=c 处连续，所以有 =f(c)，即c21= ，得 c=1。【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 将麦克劳林展开式 ex=1+x+ o(x 3)代入已知等式得【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 因为 ln(cosx)=ln(1+cosx 一 1)，所以 x0，ln(cosx) cosx 1x2。又由麦克劳林展开式(1+x) m=1+mx+
13、x+o(x2)及 ex=1+x+ +o(x2)，因此【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由洛必达法则可知，【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由麦克劳林展开式 x2+o(x2)和洛必达法则可知，【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 由麦克劳林展开式 ln(1+x)=x 一 +o(x2)可知【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 由麦克劳林展开式 arctanx=x 一 x3+o(x3)，ar
14、csinx=x+ x3+o(x3)可得原式= 。【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 0x 1，则 0x 2=sinx11。由数学归纳法知0x n1 =sinxn1，n=1，2，即数列x n有界。于是 1(因当x0 时，sinxx)，则有 xn1 x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在。设 xn=l，在 xn1 =sinxn 两边令 n ，得l=sinl，解得 l=0，即 =0。【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 因 ，由()知该极限为 1型。令t=xn，则 n，t0，而【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 函数 f(x)的可疑点只有 x=0 和 x=1 两个。因为所以 x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点。【知识模块】 函数、极限、连续
