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[考研类试卷]考研数学二(向量)模拟试卷15及答案与解析.doc

1、考研数学二(向量)模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,则(A)当 mn 时,必有AB0(B)当 mn 时,必有AB=0(C)当 nm 时,必有AB0(D)当 nm 时,必有AB=02 咒维向量组 1, 2, m(3mn)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数是 k1,k 2,k n,使 k11+k22+kmn=0(B) 1, 2, m 中的任意两个向量都线性无关(C) 1, 2, m 中存在一个向量不能由其余向量线性表示(D) 1, 2, m 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示3

2、设 n 维列向量组() : 1, m(mn)线性无关,则 n 维列向量组():1, m 线性无关的充分必要条件为(A)向量组() 可由向量组 () 线性表示(B)向量组()可由向量组()线性表示(C)向量组()与向量组()等价(D)矩阵 A=1, m与矩阵 B=1, m等价4 设向量组 1, 2, 3, 4 线性无关,则下列向量组中线性无关的是(A) 1+2, 2+3, 3+4, 3+1(B) 1-2, 2-3, 3-4, 4-1(C) 1+2, 2+3, 3+4, 4-2(D) 1+2, 2+3, 3-4, 4-15 设有向量组 1=(1,-1 ,2, 2=(0,3,1,2) 3=(3,0,

3、7,14), 4=(1,-2,2,0) , 5=(2,1,5,10),则该向量组的极大线性无关组是(A) 1, 2, 3(B) 1, 2, 4(C) 1, 2, 5(D) 1, 2, 4, 36 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn,I m 为 m 阶单位矩阵则(A)A 的任意 m 个列向量必线性无关(B) A 的任意一个 m 阶子式都不等于零(C)若矩阵 B 满足 BA=O,则 B=O(D)A 通过初等行变换,必可以化为(I m,O)的形式7 设 A 是 mn 矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵矩阵 A 的秩为 r,矩阵 AC 的秩为 r1,则(A)rr 1(B) rr 1(C) r=r1(D)

4、r 与 r1 的关系不定8 向量组 1, 2, m 线性相关的充分条件是(A) 1, 2, m 均不为零向量(B)矩阵 1, 2, m的秩为 m(C) 1, 2, m 中任意一个向量均不能由其余,n-1 个向量线性表示(D) 1, 2, m 中有一部分向量线性相关9 设 A、B 都是 n 阶非零矩阵,且 AB=O,则 A 和 B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于 n.(C)一个小于 n,一个等于 n(D)都等于 n.10 设有任意两个 n 维向量组 1, 2, m 和 1, 2, m,若存在两组不全为零的数 1, 2, m 和 k1,k 2,k m,使( 1+k1)1+( m+km)m+(

5、1-k1)1+( m-km)m=0,则(A) 1, m 和 1, m 都线性相关(B) 1, m 和 1, m 都线性无关(C) 1+1, m+m, 1-1, m-m 线性无关(D) 1+1, , m+m, 1-1, m-m 线性相关11 设向量组 1, 2, 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是(A) 1+2, 2+3, 3-1(B) 1+2, 2+3, 1+22+3(C) 1+22,2 2+33,3 3+2(D) 1+2+3,2 1-32-223,3 1+52-5312 设 n(n3)阶矩阵 若 r(A)=n-1,则 a 必为13 若向量组 1, 2, 3 线性无关,向量组 1, 2,

6、 4 线性相关,则(A) 1 必可由 2, 3, 4 线性表示(B) 2 必不可由 1, 3, 4 线性表示(C) 4 必可由 1, 2, 3 线性表示(D) 4 必不可由 1, 2, 3 线性表示14 设向量 可由向量组 1, 2, m 线性表示,但不能由向量组():1, 2, m-1 线性表示,记向量组(): 1, 2, m-1, ,则(A) m 不能由 ()线性表示,也不能由()线性表示(B) m 不能由() 线性表示,但可由()线性表示(C) m 可由() 线性表示,也可由()线性表示(D) m 可由 ()线性表示,但不可由()线性表示15 设 1, 2, , s 均为 n 维向量,下

7、列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数 k1,k 2, ks,都有 k11+k22+kss0,则 1, 2, , s 线性无关(B)若 1, 2, s 线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k 2,k s,都有 k11+k22+kss=0(C) 1, 2, s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s(D) 1, 2, s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题16 若向量组 1=线性相关,则 =_.17 向量组 1=(1,-a,1,1) T, 2=(1,1,-a ,1) T, 3=(1,1,1,-a) T 的秩为_18 若向量组() : 1=(1,0,0) T

8、, 2=(1,1,0) T, 3=(1,1,1) T 可由向量组():1, 2, 3, 4 线性表示,则向量组()的秩为_19 设有矩阵 则 r(AB)=_20 若齐次线性方程组 存在非零解,则 a=_21 设向量组 1=(2,1,1,1), 2=(2,1,a ,a), 3=(3,2,1,a),4=(4, 3,2, 1)线性相关,且 a1,则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设向量组 1, 2, 3 线性相关,而 2, 3, 4 线性无关,问:(1) 1 能否用2, 3 线性表示 ?并证明之;(2) 4 能否用 1, 2, 3 线性表示?并证明之23 设 A 是

9、 nm 矩阵,B 是 mn 矩阵(nm),且 AB=E证明:B 的列向量组线性无关24 设 A 为 n 阶方阵,k 为正整数,线性方程组 AkX=0 有解向量 ,但 Ak-10证明:向量组 ,A , Ak-1线性无关25 设 1, 2, , n 为 n 个 n 维列向量,证明:向量组 1, 2, n 线性无关的充分必要条件是行列式26 设 n 维列向量组 1, 2, n 线性无关,P 为 n 阶方阵,证明:向量组P1,P 2,P m 线性无关 P027 设 1=(1, 1,1) , 2=(1,2,3) , 3=(1,3,t) (1)问 t 为何值时,向量组1, 2, 3 线性无关? (2) 当

10、 t 为何值时,向量组 1, 2, 3 线性相关? (3)当1, 2, 3 线性相关时,将 1 表示为 1 和 2 的线性组合28 设 i=(ai1,a i2,a in)T(i=1,2,r;rn) 是 n 维实向量,且1, 2, r 线性无关已知 =(b1,b 2,b n)T 是线性方程组的非零解向量,试判断向量组 1, r,的线性相关性29 设有向量组() : 1=(1,0,2) T, 2=(1,1,3) T, 3=(1,-1,a+2) T 和向量组(): 1=(1,2,a+3) T, 2=(2,1,a+6) T, 3=(2, 1,a+4) T试问:当 a 为何值时,向量组() 与向量组 (

11、)等价 ?当 a 为何值时,向量组()与()不等价?30 设有向量组() : 1=(1+a,1,1,1) T, 2=(2,2+a,2,2)T, 3=(3,3,3+a ,3) T, 4=(4,4,4,4+a) T问 a 取何值时,() 线性相关? 当()线性相关时,求其一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表出考研数学二(向量)模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时,r(AB)r(A)nm ,注意 AB 为 m 阶方阵,故AB=0 【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】 利用: 1

12、, , m 线性相关 其中存在一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 已知 r(A)=m,而()线性无关 r()=r(B)=m ,利用:同型矩阵 A与 B 等价 r(A)=r(B),即知只有(D)正确注意,秩相同的向量组未必等价,例如,向量组() : 与向量组() : 两个向量组的秩都是 2,但()与()却不等价,故本题的选项(A) 、(B)及(C)都不对【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 选项(C) 中 4 个向量由线性无关向量组 1, 2, 3, 4 线性表示的系数矩阵为 A= ,因 r(A)=4,故(C)中 4 个向量线

13、性无关【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 可以通过矩阵 A=1T, 2T, 3T, 4T, 5T的初等行变换得(B)正确或用排除法:因, 3=3+2, 5=21+1,故(A)、(C) 、(D)都是线性相关组,故只有(B) 正确【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 由 BA=O 知 A 的每一列都是方程组 Bx=0 的解向量,r(B)=m 说明方程组 Bx=0 的基础解系至少含 m 个向量,即 m-r(B)m, r(B)=0, B=O,故选项(C)正确【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【试题解析】 利用可逆方阵乘矩阵后,矩阵的秩不改变,得 r(AC)=r(A),

14、而r1=r故 (C)正确【知识模块】 向量8 【正确答案】 C【试题解析】 部分组线性相关,则整体组线性相关故(D)正确【知识模块】 向量9 【正确答案】 B【试题解析】 若 r(A)=n,则 A 可逆用 A-1 左乘 AB=O 两端得 B=O,这与BO 矛盾,故 r(A)n,同理知 r(B)n,故(B)正确【知识模块】 向量10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设等式,有 1(1+1)+ m(m+m)+k1(1-1)+km(m-m)=0,因 1, m,k 1,k m 不全为零,由上式知向量组1+1, , m+m, 1-1, m-m 线性相关,只有(C) 正确【知识模块】 向量11 【正确答

15、案】 C【试题解析】 (C) 组中 3 个向量用线性无关向量组 1, 2, 3 线性表示的系数矩阵A= =的秩为 3,故 (C)组线性无关【知识模块】 向量12 【正确答案】 B【试题解析】 由条件有 0=A=1+(n-1)-3(1-a) n-1, a=1 或 a= ,若 a=1,则 r(A)=1,与 r(A)=n-1 矛盾, ,且当 a= 时,A 的左上角的 n-1阶子式非零,有 r(A)=n-1,故(B)正确【知识模块】 向量13 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知 1, 2, 3 线性无关,而 1, 2, 3, 4 线性相关,故由向量线性相关定理即知 1 可由 1, 2, 3 线性表

16、示,(C) 正确【知识模块】 向量14 【正确答案】 B【试题解析】 由条件,存在常数 k1,k m-1,k m,使 =k11+km-1m-1+kmm(*)若 m 可由()线性表示: m=11+ m-1m-1,代入(*)式,得 可由()线性表示,与题设矛盾,故 m 不能由()线性表示且(*)式中的 km0(否则km=0,则 可由() 线性表示 ), m,可见 m 可由()线性表示,故只有 (B)正确【知识模块】 向量15 【正确答案】 B【试题解析】 反例:向量组 1=(1,1) , 2=(0,0)线性相关,但对于不全为零的常数 k1=1,k 2=2,却有 k11+k220故(B)不对【知识模

17、块】 向量二、填空题16 【正确答案】 或 1【试题解析】 3 个 3 维向量 1, 2, 3 线性相关 行列式 1, 2, 3=(-1)(+)2=0, 或 =1【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 对下列矩阵作初等变换: 1, 2, 3=,由阶梯形矩阵可见,r=( 1, 2, 3)=【知识模块】 向量18 【正确答案】 3【试题解析】 由条件知 3=r()r()3, r()=3【知识模块】 向量19 【正确答案】 2【试题解析】 因为 B 是满秩方阵,所以 r(AB)=r(A),而由 A 的初等变换:知 r(A)=2,故 r(AB)=2【知识模块】 向量20 【正确答案】 2【

18、试题解析】 由条件知方程组系数矩阵 A 的秩小于 3,而由 A 的初等变换:【知识模块】 向量21 【正确答案】 【试题解析】 以 1, 2, 3, 4 为行向量组构成 4 阶方阵 A,则有A=(a-1)(2a-1)=0,又 a1,故 a= .【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (1) 1 可由 2, 3 线性表示,由 2, 3 线性无关,而 1, 2, 3 线性相关即可证明 (2) 4 不能由 1, 2, 3 线性表示,否则,因 1 可由 2, 3 线性表示,得 4 可由 2, 3 线性表示,这与 2, 3, 4 线性无关矛盾。【知识模块】

19、 向量23 【正确答案】 设 B 按列分块为 B=1, 2, n,设有一组数x1,x 2,x n使 x11+x22+xnn=0,即 BX=0,其中 X=x1,x 2,x nT,两端左乘 A,得 ABX=0,即 X=0故 1, 2, n 线性无关【知识模块】 向量24 【正确答案】 设有一组数 1, 2, n,使 1+2A+ nAk-1=0两端左乘Ak-1,得 1Ak-1=0因 Ak-10,得 1=0类似可得 2= k=0故,A, Ak-1线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案】 令矩阵 A=1, 2, n,则向量组 1, 2, n 线性无关A0,而 ATA= 1, 2, n= 两端取行列式

20、,得A=D,故 1, n 线性无关 D0【知识模块】 向量26 【正确答案】 n 个 n 维列向量 P1,P 2,P n 线性无关 行列式P 1,P 2,P n0,而P 1,P 2,P n=P1, 2, n,两端取行列式,得P 1,P n=P 1, n,又由已知条件知行列式 1, n0 ,故行列式P 1,P n0 P0【知识模块】 向量27 【正确答案】 由行列式( 1, 2, 3)T=t-5 ,知当 t5时, 1, 2, 3 线性无关,当 t=5 时, 1, 2, 3 线性相关当 t=5 时,由解方程组 x11+x22=3,得3=-1+22【知识模块】 向量28 【正确答案】 线性无关证明如

21、下:由题设条件有b1ai1+b2ai2+bnam=Ti=0(i=1,2,r) 设 k11+krr+kr+1=0,用 T 左乘两端并利用 Ti=0 及 T=20,得 kr+1=0, k1i+krr=0,又 1, r 线性无关, k1=kr=0故 1, r, 线性无关【知识模块】 向量29 【正确答案】 方法 1:由于行列式 1, 2, 3=a+1,故当 a-1时,秩1, 2, 3=3方程组 x11+x22+x33=i(i=1,2,3)有解(且有唯一解),所以向量组()可由向量组 ()线性表示;又由行列式 1, 2, 3=60,同理可知向量组()可由() 线性表示故当 a-1时()与()等价当 a

22、=1 时,由于秩1, 2, 3秩 1, 2, 31,故方程组 x11+x22+x33=1 无解,即 1 不能由向量组( )线性表示,所以 () 与()不等价方法 2:若( )与()等价,则秩()=秩(),而秩 ()=3,故秩()=3, 1, 2, 3=a+10 , a-1;反之,若a-1,则()和() 都是线性无关组,而 1, 2, 3, i 线性相关(4 个 3 维向量必线性相关), i 可由 1, 2, 3 线性表示(i=1 ,2,3),同理知 j 可由 1, 2, 3 线性表示(j=1,2,3),故( )与()等价综上可知,()与()等价 a-1【知识模块】 向量30 【正确答案】 令矩阵 A=1, 2, 3, 4,由A=0 或由初等行变换,可得:当 a=0 或 a=-10 时,()线性相关当 a=0 时, 1 为()的一个极大无关组,且2=21, 3=31, 4=41;当 a=-10 时,对 A 施行初等行变换: A,可知 2, 3, 4 为()的一个极大无关组,且 1=-2-3-4【知识模块】 向量

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