1、考研数学二（向量）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=02 咒维向量组 1， 2， m(3mn)线性无关的充要条件是（A）存在一组不全为零的数是 k1，k 2，k n，使 k11+k22+kmn=0（B） 1， 2， m 中的任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， m 中存在一个向量不能由其余向量线性表示（D） 1， 2， m 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示3
2、设 n 维列向量组() ： 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组()：1， m 线性无关的充分必要条件为（A）向量组() 可由向量组 () 线性表示（B）向量组()可由向量组()线性表示（C）向量组()与向量组()等价（D）矩阵 A=1， m与矩阵 B=1， m等价4 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） 1+2， 2+3， 3+4， 3+1（B） 1-2， 2-3， 3-4， 4-1（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4-2（D） 1+2， 2+3， 3-4， 4-15 设有向量组 1=(1，-1 ，2， 2=(0，3，1，2) 3=(3，0，
3、7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 36 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵则（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式都不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=O，则 B=O（D）A 通过初等行变换，必可以化为(I m，O)的形式7 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵矩阵 A 的秩为 r，矩阵 AC 的秩为 r1，则（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）
4、r 与 r1 的关系不定8 向量组 1， 2， m 线性相关的充分条件是（A） 1， 2， m 均不为零向量（B）矩阵 1， 2， m的秩为 m（C） 1， 2， m 中任意一个向量均不能由其余，n-1 个向量线性表示（D） 1， 2， m 中有一部分向量线性相关9 设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩（A）必有一个等于零（B）都小于 n.（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n.10 设有任意两个 n 维向量组 1， 2， m 和 1， 2， m，若存在两组不全为零的数 1， 2， m 和 k1，k 2，k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(
5、1-k1)1+( m-km)m=0，则（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1+1， m+m， 1-1， m-m 线性无关（D） 1+1， ， m+m， 1-1， m-m 线性相关11 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） 1+2， 2+3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+2（D） 1+2+3，2 1-32-223，3 1+52-5312 设 n(n3)阶矩阵 若 r(A)=n-1，则 a 必为13 若向量组 1， 2， 3 线性无关，向量组 1， 2，
6、 4 线性相关，则（A） 1 必可由 2， 3， 4 线性表示（B） 2 必不可由 1， 3， 4 线性表示（C） 4 必可由 1， 2， 3 线性表示（D） 4 必不可由 1， 2， 3 线性表示14 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， ，则（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示15 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下
7、列结论不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题16 若向量组 1=线性相关，则 =_.17 向量组 1=(1，-a，1，1) T， 2=(1，1，-a ，1) T， 3=(1，1，1，-a) T 的秩为_18 若向量组() ： 1=(1，0，0) T
8、， 2=(1，1，0) T， 3=(1，1，1) T 可由向量组()：1， 2， 3， 4 线性表示，则向量组()的秩为_19 设有矩阵 则 r(AB)=_20 若齐次线性方程组 存在非零解，则 a=_21 设向量组 1=(2，1，1，1)， 2=(2，1，a ，a)， 3=(3，2，1，a)，4=(4， 3，2， 1)线性相关，且 a1，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设向量组 1， 2， 3 线性相关，而 2， 3， 4 线性无关，问：(1) 1 能否用2， 3 线性表示 ?并证明之；(2) 4 能否用 1， 2， 3 线性表示?并证明之23 设 A 是
9、 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵(nm)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关24 设 A 为 n 阶方阵，k 为正整数，线性方程组 AkX=0 有解向量 ，但 Ak-10证明：向量组 ，A ， Ak-1线性无关25 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明：向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式26 设 n 维列向量组 1， 2， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组P1，P 2，P m 线性无关 P027 设 1=(1， 1，1) ， 2=(1，2，3) ， 3=(1，3，t) (1)问 t 为何值时，向量组1， 2， 3 线性无关? (2) 当
10、 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关? (3)当1， 2， 3 线性相关时，将 1 表示为 1 和 2 的线性组合28 设 i=(ai1，a i2，a in)T(i=1，2，r；rn) 是 n 维实向量，且1， 2， r 线性无关已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组的非零解向量，试判断向量组 1， r，的线性相关性29 设有向量组() ： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2) T 和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2， 1，a+4) T试问：当 a 为何值时，向量组() 与向量组 (
11、)等价 ?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?30 设有向量组() ： 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2)T， 3=(3，3，3+a ，3) T， 4=(4，4，4，4+a) T问 a 取何值时，() 线性相关? 当()线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出考研数学二（向量）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时，r(AB)r(A)nm ，注意 AB 为 m 阶方阵，故AB=0 【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】 利用： 1
12、， ， m 线性相关 其中存在一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 已知 r(A)=m，而()线性无关 r()=r(B)=m ，利用：同型矩阵 A与 B 等价 r(A)=r(B)，即知只有(D)正确注意，秩相同的向量组未必等价，例如，向量组() ： 与向量组() ： 两个向量组的秩都是 2，但()与()却不等价，故本题的选项(A) 、(B)及(C)都不对【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 选项(C) 中 4 个向量由线性无关向量组 1， 2， 3， 4 线性表示的系数矩阵为 A= ，因 r(A)=4，故(C)中 4 个向量线
13、性无关【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 可以通过矩阵 A=1T， 2T， 3T， 4T， 5T的初等行变换得(B)正确或用排除法：因， 3=3+2， 5=21+1，故(A)、(C) 、(D)都是线性相关组，故只有(B) 正确【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 由 BA=O 知 A 的每一列都是方程组 Bx=0 的解向量，r(B)=m 说明方程组 Bx=0 的基础解系至少含 m 个向量，即 m-r(B)m， r(B)=0， B=O，故选项(C)正确【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【试题解析】 利用可逆方阵乘矩阵后，矩阵的秩不改变，得 r(AC)=r(A)，
14、而r1=r故 (C)正确【知识模块】 向量8 【正确答案】 C【试题解析】 部分组线性相关，则整体组线性相关故(D)正确【知识模块】 向量9 【正确答案】 B【试题解析】 若 r(A)=n，则 A 可逆用 A-1 左乘 AB=O 两端得 B=O，这与BO 矛盾，故 r(A)n，同理知 r(B)n，故(B)正确【知识模块】 向量10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设等式，有 1(1+1)+ m(m+m)+k1(1-1)+km(m-m)=0，因 1， m，k 1，k m 不全为零，由上式知向量组1+1， ， m+m， 1-1， m-m 线性相关，只有(C) 正确【知识模块】 向量11 【正确答
15、案】 C【试题解析】 (C) 组中 3 个向量用线性无关向量组 1， 2， 3 线性表示的系数矩阵A= =的秩为 3，故 (C)组线性无关【知识模块】 向量12 【正确答案】 B【试题解析】 由条件有 0=A=1+(n-1)-3(1-a) n-1， a=1 或 a= ，若 a=1，则 r(A)=1，与 r(A)=n-1 矛盾， ，且当 a= 时，A 的左上角的 n-1阶子式非零，有 r(A)=n-1，故(B)正确【知识模块】 向量13 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，故由向量线性相关定理即知 1 可由 1， 2， 3 线性表
16、示，(C) 正确【知识模块】 向量14 【正确答案】 B【试题解析】 由条件，存在常数 k1，k m-1，k m，使 =k11+km-1m-1+kmm(*)若 m 可由()线性表示： m=11+ m-1m-1，代入(*)式，得 可由()线性表示，与题设矛盾，故 m 不能由()线性表示且(*)式中的 km0(否则km=0，则 可由() 线性表示 )， m，可见 m 可由()线性表示，故只有 (B)正确【知识模块】 向量15 【正确答案】 B【试题解析】 反例：向量组 1=(1，1) ， 2=(0，0)线性相关，但对于不全为零的常数 k1=1，k 2=2，却有 k11+k220故(B)不对【知识模
17、块】 向量二、填空题16 【正确答案】 或 1【试题解析】 3 个 3 维向量 1， 2， 3 线性相关 行列式 1， 2， 3=(-1)(+)2=0， 或 =1【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 对下列矩阵作初等变换： 1， 2， 3=，由阶梯形矩阵可见，r=( 1， 2， 3)=【知识模块】 向量18 【正确答案】 3【试题解析】 由条件知 3=r()r()3， r()=3【知识模块】 向量19 【正确答案】 2【试题解析】 因为 B 是满秩方阵，所以 r(AB)=r(A)，而由 A 的初等变换：知 r(A)=2，故 r(AB)=2【知识模块】 向量20 【正确答案】 2【
18、试题解析】 由条件知方程组系数矩阵 A 的秩小于 3，而由 A 的初等变换：【知识模块】 向量21 【正确答案】 【试题解析】 以 1， 2， 3， 4 为行向量组构成 4 阶方阵 A，则有A=(a-1)(2a-1)=0，又 a1，故 a= .【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (1) 1 可由 2， 3 线性表示，由 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关即可证明 (2) 4 不能由 1， 2， 3 线性表示，否则，因 1 可由 2， 3 线性表示，得 4 可由 2， 3 线性表示，这与 2， 3， 4 线性无关矛盾。【知识模块】
19、 向量23 【正确答案】 设 B 按列分块为 B=1， 2， n，设有一组数x1，x 2，x n使 x11+x22+xnn=0，即 BX=0，其中 X=x1，x 2，x nT，两端左乘 A，得 ABX=0，即 X=0故 1， 2， n 线性无关【知识模块】 向量24 【正确答案】 设有一组数 1， 2， n，使 1+2A+ nAk-1=0两端左乘Ak-1，得 1Ak-1=0因 Ak-10，得 1=0类似可得 2= k=0故，A， Ak-1线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案】 令矩阵 A=1， 2， n，则向量组 1， 2， n 线性无关A0，而 ATA= 1， 2， n= 两端取行列式
20、，得A=D，故 1， n 线性无关 D0【知识模块】 向量26 【正确答案】 n 个 n 维列向量 P1，P 2，P n 线性无关 行列式P 1，P 2，P n0，而P 1，P 2，P n=P1， 2， n，两端取行列式，得P 1，P n=P 1， n，又由已知条件知行列式 1， n0 ，故行列式P 1，P n0 P0【知识模块】 向量27 【正确答案】 由行列式( 1， 2， 3)T=t-5 ，知当 t5时， 1， 2， 3 线性无关，当 t=5 时， 1， 2， 3 线性相关当 t=5 时，由解方程组 x11+x22=3，得3=-1+22【知识模块】 向量28 【正确答案】 线性无关证明如
21、下：由题设条件有b1ai1+b2ai2+bnam=Ti=0(i=1，2，r) 设 k11+krr+kr+1=0，用 T 左乘两端并利用 Ti=0 及 T=20，得 kr+1=0， k1i+krr=0，又 1， r 线性无关， k1=kr=0故 1， r， 线性无关【知识模块】 向量29 【正确答案】 方法 1：由于行列式 1， 2， 3=a+1，故当 a-1时，秩1， 2， 3=3方程组 x11+x22+x33=i(i=1，2，3)有解(且有唯一解)，所以向量组()可由向量组 ()线性表示；又由行列式 1， 2， 3=60，同理可知向量组()可由() 线性表示故当 a-1时()与()等价当 a
22、=1 时，由于秩1， 2， 3秩 1， 2， 31，故方程组 x11+x22+x33=1 无解，即 1 不能由向量组( )线性表示，所以 () 与()不等价方法 2：若( )与()等价，则秩()=秩()，而秩 ()=3，故秩()=3， 1， 2， 3=a+10 ， a-1；反之，若a-1，则()和() 都是线性无关组，而 1， 2， 3， i 线性相关(4 个 3 维向量必线性相关)， i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1 ，2，3)，同理知 j 可由 1， 2， 3 线性表示(j=1，2，3)，故( )与()等价综上可知，()与()等价 a-1【知识模块】 向量30 【正确答案】 令矩阵 A=1， 2， 3， 4，由A=0 或由初等行变换，可得：当 a=0 或 a=-10 时，()线性相关当 a=0 时， 1 为()的一个极大无关组，且2=21， 3=31， 4=41；当 a=-10 时，对 A 施行初等行变换： A，可知 2， 3， 4 为()的一个极大无关组，且 1=-2-3-4【知识模块】 向量
