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[考研类试卷]考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷5及答案与解析.doc

1、考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x,y)= 则 f(x,y)在点 0(0,0)处 ( )(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可微(D)可微2 二元函数 f(x,y)= 其中 m,n 为正整数,函数在(0,0)处不连续,但偏导数存在,则 m,n 需满足 ( )(A)m2,n2(B) m2, n2(C) m2,n2(D)m2,n23 函数 z=f(x,y)= 在(0 ,0)点 ( )(A)连续,但偏导数不存在(B)偏导数存在,但不可微(C)可微(D)偏导数存在且连续4 函数 z=x3

2、+y3 一 3x2 一 3y2 的极小值点是 ( )(A)(0 ,0)(B) (2,2)(C) (0,2)(D)(2 ,0)5 函数 f(x,y)= ( )(A)等于 1(B)等 =F 2(C)等于 0(D)不存在6 设函数 z=1 一 ,则点(0,0)是函数 z 的 ( )(A)极小值点且是最小值点(B)极大值点且是最大值点(C)极小值点但非最小值点(D)极大值点但非最大值点7 设 f(x,y)=arcsin ,则 fx(2,1): ( )8 zx(x0,y 0)=0 和 zy(x0,y 0)=0 是函数 z=z(x,y)在点 (x0,y 0)处取得极值的( )(A)必要条件但非充分条件(B

3、)充分条件但非必要条件(C)充要条件(D)既非必要也非充分条件9 函数 f(x,y)= 不连续的点集为 ( )(A)y 轴上的所有点(B) x=0,y0 的点集(C)空集(D)x=0,y0 的点集10 函数 f(x, y)= 在(0,0)点 ( )(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在二、填空题11 函数 f(x, y)=ln(x2+y2 一 1)的连续区域是_12 设 u= =_13 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点( 一 2,3)处取得极小值一 3,则常数a、b、c 之积 abc=_14 设 u=x4+y44

4、x2y2,则 =_15 设 u= _16 设 f(x,y)= 则 fx(0,1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f 在点(a,b)处的偏导数存在,求 18 设 f(x)可导,F(x,y)= ,一 x+ ,y0, (1) 求19 试分析下列各个结论是函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 f(x,y)存在; (2)二元函数 z=f(x,y) 在点(x0,y 0)的某个邻域内有界; (3) f(x0,y)=f(x 0,y 0); (4)F(x)=f(x,y 0)在点 x0 处可微,G(y)=f(x 0,y)

5、在点 y0 处可微; (5)fy(x0,y)一 fy(x0,y 0)=0; (6)=020 设 f(x,y)在点(0,0)处连续,且 其中a,b,c 为常数 (1)讨论 f(x,y)在点(0,0) 处是否可微,若可微则求出df(x,y) (0,0); (2)讨论 f(x,y)在点(0,0) 处是否取极值,说明理由21 设函数 f(x,y)可微,又 f(0,0)=0 ,f x(0,0)=a ,f y(0,0)=b,且 (t)=ft,f(t,t 2),求 (0)22 设 z= 23 已知 z= ,其中 a0,a1,求 dz24 求 u=xyzex+y+z 的全微分25 设 z= 26 设 u= 2

6、7 设 z=f(2xy)+g(x,xy),其中函数 f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求 28 设函数 z=f(u),方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 是 x,y 的函数,其中 f(u),(u)可微,P(t),(u)连续,且 (u)1求 29 设 f(x,y)= 考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 所以 f(x,y)在点 O(0,0)处不可微,故应选(C)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当(x,y) 沿 y=kx(k0)趋向点

7、(0,0)时,k 取不同值,上式结果不唯一,所以函数在(0,0)处极限不存在,故函数不连续 又因为同理可得 fy(0,0)=0 ,故偏导数存在 当 n2 时,有 n=1, =xy n=x0 (x0, y0),因而,函数 f(x,y)在(0,0)处连续 同理,当 m2 时,函数f(x,y)在(0,0)处连续综上,应选 (B)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手即 不是 的高阶无穷小,因此 f(x,y)在(0,0)点不可微,故选(B)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 在(0,2)点和(2,0)点,均有 ACB

8、20,因而这两个点不是极值点 在(0,0)点,ACB2=36 0,且 A=一 60,所以(0,0)点是极大值点 在(2 ,2)点,ACB2=360,且 A=120,所以 (2,2)点是极小值点,故选(B)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时,0xsin x+ y,当(x,y)(0, 0)时,由夹逼准则,可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由极值点的判别条件可知【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 f x(2,1)= 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 若 z=z(

9、x,y)= ,则(0 ,0)为其极小值点,但 zx(0,0),zy(0,0)均不存在【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时,f(x,y)为二元连续函数,而当 x0,yy 0 时, =0所以,(0,y 0)为 f(x,y) 的连续点,故此函数的不连续点为空集【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 取 y=kx,可得 f(x,y)在(0,0)处不连续由偏导数定义,可得f(x,y)在(0,0)处的偏导数存在【知识模块】 多元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 x 2+y21【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模

10、块】 多元函数微分学12 【正确答案】 0【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(一 2,3)处,z x=0,z y=0,从而可分别求出 a、b、c 之值【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 12x 28y2【试题解析】 因 =12x2 一 8y2【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 一 sin【试题解析】 由 x=rcos,y=rsin ,得 u=cos, =一 sin。【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确

11、答案】 原式= =fx(a,b)+f x(a,b)=2 x(a, b)【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 结论(1)(4) 中每一个分别都是 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处可微的必要条件,而非充分条件而结论(6)是其充分非必要条件 因 z=f(x,y)在点P0(x0,y 0)处可微,故 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处连续,即f(x,y)必存在,于是 z=f(x,y)在点P0(x0,y 0)某邻域有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x,y 0)在 x0 处连续,G(y)=f(x0, y)在 y0 处连

12、续,它是二元函数 z=f(x,y)在点 P0(x,y 0)处连续的必要条件,而非充分条件而 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处连续又是其可微的必要条件,且非充分条件 只要在 z=f(x,y)在 P0(x0,y 0)的全微分定义 z=Ax+By+o(),=中取特殊情况,分别令y=0 与x=0,即证得结论(4) 结论(5)的fx(x,y 0)一 fx(x0,y 0)=0 表示偏导函数 fx(x,y)在 y=y0 时的一元函数fx(x,y 0)在 x0 处连续,它仅是二元偏导函数 fx(x, y)在 P0(x0,y 0)处连续的一个必要条件,对 fy(x0,y)一 fy(x0,y 0)=0

13、 有类似的结果而 z=f(x,y)在 P0(x0,y 0)处可微又是 fx(x,y),f y(x,y)在 P0(x0,y 0)处连续的另一个必要条件,所以结论(5)既不是充分条件又是非必要条件 结论(6)的等价形式是 z=f(x,y)一 f(x0,y 0)=o(), = ,它是相应全微分定义中 A=0,B=0 的情形,则结论(6)是其可微的充分非必要条件【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 (1)当(x,y)(0 ,0)时 ln(1+x2+y2)x 2+y2,由, 于是 f(x, y)一 f(0,0)一 bx 一 cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)=0() (= 0),即f(x

14、,y)一 f(0,0)=bx+cy+0()(0) 由可微性概念可知, f(x,y) 在点(0,0)处可微且 df(x,y) (0,0)=bdx+cdy (2)由 df(x,y) (0,0)=bdx+cdy 得=c于是当 b,c 不同时为零时 f(x,y)在点(0,0)处不取极值 当 b=c=0 时,由于 因此 f(x,y)在点(0 ,0) 处取极小值【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 在 (t)=ft,f(t,t 2)中令 u=t,u=f(t,t 2),得 (t)=f(u ,u), (t)=f1(u,v) =f1(u,v)1+f 1(u,v)f 1(t,t 2)1+f 1(t,t

15、2)2t =f1t,f(t,t 2)+f2t,f(t , t2)f 1(t,t 2)+f2(t,t 2)2t,所以 (0)=f 1(0,0)+f2(0,0)f 1(0,0)+f 2(0,0)20 =a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 u x=(1+x)yzex+y+z,u y=(1+y)xzex+y+z,u z=(1+z)xyex+y+z, du=ex+y+z(1+x)yzdx+(1+y)xzdy+(1+z)xydz【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 =一 2f“+xg“uv+xyg“vv+gv【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学

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