1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点 0(0，0)处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可微（D）可微2 二元函数 f(x，y)= 其中 m，n 为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则 m，n 需满足 ( )（A）m2，n2（B） m2， n2（C） m2，n2（D）m2，n23 函数 z=f(x，y)= 在(0 ，0)点 ( )（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续4 函数 z=x3
2、+y3 一 3x2 一 3y2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)5 函数 f(x，y)= ( )（A）等于 1（B）等 =F 2（C）等于 0（D）不存在6 设函数 z=1 一 ，则点(0，0)是函数 z 的 ( )（A）极小值点且是最小值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极大值点但非最大值点7 设 f(x，y)=arcsin ，则 fx(2，1)： ( )8 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点 (x0，y 0)处取得极值的( )（A）必要条件但非充分条件（B
3、）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件9 函数 f(x，y)= 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集10 函数 f(x， y)= 在(0，0)点 ( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在二、填空题11 函数 f(x， y)=ln(x2+y2 一 1)的连续区域是_12 设 u= =_13 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点( 一 2，3)处取得极小值一 3，则常数a、b、c 之积 abc=_14 设 u=x4+y44
4、x2y2，则 =_15 设 u= _16 设 f(x，y)= 则 fx(0，1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f 在点(a，b)处的偏导数存在，求 18 设 f(x)可导，F(x，y)= ，一 x+ ，y0， (1) 求19 试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 f(x，y)存在； (2)二元函数 z=f(x，y) 在点(x0，y 0)的某个邻域内有界； (3) f(x0，y)=f(x 0，y 0)； (4)F(x)=f(x，y 0)在点 x0 处可微，G(y)=f(x 0，y)
5、在点 y0 处可微； (5)fy(x0，y)一 fy(x0，y 0)=0； (6)=020 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 其中a，b，c 为常数 (1)讨论 f(x，y)在点(0，0) 处是否可微，若可微则求出df(x，y) (0,0)； (2)讨论 f(x，y)在点(0，0) 处是否取极值，说明理由21 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2)，求 (0)22 设 z= 23 已知 z= ，其中 a0，a1，求 dz24 求 u=xyzex+y+z 的全微分25 设 z= 26 设 u= 2
6、7 设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求 28 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1求 29 设 f(x，y)= 考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 所以 f(x，y)在点 O(0，0)处不可微，故应选(C)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当(x，y) 沿 y=kx(k0)趋向点
7、(0，0)时，k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续 又因为同理可得 fy(0，0)=0 ，故偏导数存在 当 n2 时，有 n=1， =xy n=x0 (x0， y0)，因而，函数 f(x，y)在(0，0)处连续 同理，当 m2 时，函数f(x，y)在(0，0)处连续综上，应选 (B)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在(0，0)点不可微，故选(B)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 在(0，2)点和(2，0)点，均有 ACB
8、20，因而这两个点不是极值点 在(0，0)点，ACB2=36 0，且 A=一 60，所以(0，0)点是极大值点 在(2 ，2)点，ACB2=360，且 A=120，所以 (2，2)点是极小值点，故选(B)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时，0xsin x+ y，当(x，y)(0， 0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由极值点的判别条件可知【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 f x(2，1)= 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 若 z=z(
9、x，y)= ，则(0 ，0)为其极小值点，但 zx(0，0)，zy(0，0)均不存在【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，f(x，y)为二元连续函数，而当 x0，yy 0 时， =0所以，(0，y 0)为 f(x，y) 的连续点，故此函数的不连续点为空集【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在【知识模块】 多元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 x 2+y21【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模
10、块】 多元函数微分学12 【正确答案】 0【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(一 2，3)处，z x=0，z y=0，从而可分别求出 a、b、c 之值【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 12x 28y2【试题解析】 因 =12x2 一 8y2【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 一 sin【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得 u=cos， =一 sin。【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确
11、答案】 原式= =fx(a，b)+f x(a，b)=2 x(a， b)【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 结论(1)(4) 中每一个分别都是 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的必要条件，而非充分条件而结论(6)是其充分非必要条件 因 z=f(x，y)在点P0(x0，y 0)处可微，故 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续，即f(x，y)必存在，于是 z=f(x，y)在点P0(x0，y 0)某邻域有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，y 0)在 x0 处连续，G(y)=f(x0， y)在 y0 处连
12、续，它是二元函数 z=f(x，y)在点 P0(x，y 0)处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件 只要在 z=f(x，y)在 P0(x0，y 0)的全微分定义 z=Ax+By+o()，=中取特殊情况，分别令y=0 与x=0，即证得结论(4) 结论(5)的fx(x，y 0)一 fx(x0，y 0)=0 表示偏导函数 fx(x，y)在 y=y0 时的一元函数fx(x，y 0)在 x0 处连续，它仅是二元偏导函数 fx(x， y)在 P0(x0，y 0)处连续的一个必要条件，对 fy(x0，y)一 fy(x0，y 0)=0
13、 有类似的结果而 z=f(x，y)在 P0(x0，y 0)处可微又是 fx(x，y)，f y(x，y)在 P0(x0，y 0)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件又是非必要条件 结论(6)的等价形式是 z=f(x，y)一 f(x0，y 0)=o()， = ，它是相应全微分定义中 A=0，B=0 的情形，则结论(6)是其可微的充分非必要条件【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 (1)当(x，y)(0 ，0)时 ln(1+x2+y2)x 2+y2，由， 于是 f(x， y)一 f(0，0)一 bx 一 cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)=0() (= 0)，即f(x
14、，y)一 f(0，0)=bx+cy+0()(0) 由可微性概念可知， f(x，y) 在点(0，0)处可微且 df(x，y) (0,0)=bdx+cdy (2)由 df(x，y) (0,0)=bdx+cdy 得=c于是当 b，c 不同时为零时 f(x，y)在点(0，0)处不取极值 当 b=c=0 时，由于 因此 f(x，y)在点(0 ，0) 处取极小值【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 在 (t)=ft，f(t，t 2)中令 u=t，u=f(t，t 2)，得 (t)=f(u ，u)， (t)=f1(u，v) =f1(u，v)1+f 1(u，v)f 1(t，t 2)1+f 1(t，t
15、2)2t =f1t，f(t，t 2)+f2t，f(t ， t2)f 1(t，t 2)+f2(t，t 2)2t，所以 (0)=f 1(0，0)+f2(0，0)f 1(0，0)+f 2(0，0)20 =a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 u x=(1+x)yzex+y+z，u y=(1+y)xzex+y+z，u z=(1+z)xyex+y+z， du=ex+y+z(1+x)yzdx+(1+y)xzdy+(1+z)xydz【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 =一 2f“+xg“uv+xyg“vv+gv【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学
