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[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分学)模拟试卷6及答案与解析.doc

1、考研数学二(多元函数微积分学)模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 D=(x,y)|x2+y21,则( )(A)I 3I 2 I1(B) I1I 2I 3(C) I2I 1I 3(D)I 3I 1 I22 设平面区域 D 由直线 及两条坐标轴所围成记则有( )(A)I 3I 2 I1(B) I1I 2I 3(C) I2I 1I 3(D)I 1I 3 I23 下列不等式中正确的是( )4 设 ,则 I,J ,K的大小关系是( )(A)IJK(B) JKI(C) KI J(D)KJI5 设 f(x,y)= 设平面区域 D:x 2+y2

2、a2,则 =( )(A)(B)(C) 0(D)6 设函数 f(x, y)连续,则 等于( )7 设 f(x,y)连续,则 f(rcos ,rsin )rdr 等于( )8 设 D 是 xOy 平面上以 A(1,1),B(一 1,1) 和 C(一 1,一 1)为顶点的三角形区域,D1 是 D 在第一象限部分,则 =( )9 设 (x)为区间0,1上的正值连续函数,a ,b 为任意常数,区域 D=(x,y)|0x1,0y1,则(A)a(B) b(C) a+b(D)二、填空题10 设11 设 是 f(x)的一个原函数,F(t)= 0tdx0xxf(y)dy,则 F“(t)=_三、解答题解答应写出文字

3、说明、证明过程或演算步骤。12 已知三角形周长为 2p,试求次三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体的体积的最大值13 已知 x,y,z 为实数,且 ex+y2+|z|=3证明 exy2|z|114 确定积分 的符号15 估计积分 其中 D:(x,y)|0x2,0y216 设 f(x,y)连续,改变下列二次积分的积分次序:17 计算 其中 D 是以(0,0),(1,1) ,(0,1)为顶点的三角形18 计算19 改变二次积分 的积分次序,并求积分 I 的值20 计算 其中 D=(x,y)|x 2+y21,x+y121 求 ,其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的

4、平面区域22 计算 其中 D 是由 y=x3, y=1 及 x=一 1 所围成23 计算 D=(x,y)|x 2+y22x24 计算 其中 D=(x,y)|x 2+y2325 计算 其中 D=(x,y)|0x1,0y126 计算 其中 D=(x,y)|0x1,0y127 设 D= ,1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数计算28 设 f(x+y2)dxdy,其中 D:x 2+y21629 设 f(x,y)为连续函数,且 f(x,y)=xy+ 其中 D 是由y=0,y=x 2, x=1 所围成的区域,求 f(x,y)30 设 f(u)有连续的一阶导数,且 f(0)=0,求 ,其中

5、D=(x,y)|x 2+y2t2考研数学二(多元函数微积分学)模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 在积分区域 D=(x,y)|x 2+y21上,有 (x2+y2)2x2+y2 从而有且等号仅在区域 D 的边界上成立。故由二重积分的性质, 即I3I 2I 1,故应选 (A)【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 在区域 有 ln(x+y)sin(x+y)x+y 1从而有ln(x+y) 9sin(x+y) 9(x+y) 9,故即 I3I 2I 1,应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学3

6、【正确答案】 C【试题解析】 在区域 D=(x,y)|x|1,|y|1上,显然 x-10,y 一 10 并不总成立,故(A), (B)错误而 x+10(只有当 x=一 1 时等号成立)总成立,故(C) 正确 在 D1=(x,y)|x 2+y21上,一 x2 一 y20,故(D)错误总之,应选(C)【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 先比较 K 和 I 的大小因为被积函数相等,所以比较积分区域的包含关系即可显然|x|+|y|1 是 x2+y21 的内接正方形,故 KI 再比较 J 和 K 的大小因为 J 和 K 有相同的积分区域,所以比较|x|+|y|1 时被积函数的

7、大小即可显然当|x|+|y|1 时 sin(x2+y2)x2+y2,所以 JK 综上所得,JKI,应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 故f(x,y)在(0,0)点连续,从而 f(x,y)在区域 D 上连续从而由积分中值定理,存在点(,) D,使得【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由所给累次积分可得积分区域 其边界曲线分别为 y=1,y= 一 1, 画出积分区域 D,如图51,故有 应选(D)【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 给定的累次积分的边界曲线分别为 及 r=1,转化为直角坐标系下的方程分别为

8、 y=0,y=x 及 x2+y2=1,画出积分区域如图 52,故有f(x,y)dx,应选(C)【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 如图 510,将积分区域 D 分成 D1,D 2,D 3,D 4则 D1D2 关于 y轴对称,应考虑被积函数关于 x 的奇偶性,而 D3D4 关于 x 轴对称,应考虑被积函数关于 y 的奇偶性则故应选(A)【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分区域 D 关于 y=x 对称,则故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 显然被积函数在 D 上连续,则由积分中值定理

9、,至少存在一点(,) D,使得 由于当 r0 时,(,)(0,0),于是【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 cos t 一 1【试题解析】 由于 F(t)=0tdx0xxf(y)dy=0t0xxf(y)dydx 则 F(t)= 0ttf(y)dy=t0tf(y)dy F“(t)=0tf(y)dy+tf(t)【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设三角形的三个边长分别为 BC=x,AC=y ,AB=z ,不妨设它绕AC 边旋转,AC 边上的高为 h,三角形的面积为 S,于是而旋转体的体积为其中 x+y+z=2p 为了计算

10、简便,对上述的 V 取对数以后再求最大值点即求 u(x,y,z)=ln(p 一 x)+ln(py)+ln(pz)一 ln y 在条件 x+y+z=2p 之下的最大值点 设 L(x,y,z,)=ln(p 一 x)+ln(p 一 y)+ln(pz)一 ln y+(x+y+z 一 2p)故由实际意义它就是 u(x,y,z) 的最大值点,也就是 V 的最大值点因此所求的体积的最大值为【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 设 f(x,y)=e xy2(3 一 ex 一 y2) 由 ex+y2+|z|=3 知 ex+y23即为了证明不等式,只需证明 f(x,y)=e xy2(3-ex-y2)在

11、 D=(x,y)|e x+y23上的最大值为 1即可令 ,得 D 的内部的驻点 (0,1)以及(x,0) 由于f(0,1)=1 , f(x,0)=0,且在 D 的边界 ex+y2=3 上的所有函数值均为零,f(x,y)=exy2(3 一 ex 一 y2)在 D=(x,y)|e x+y23上的最大值为 1 故 exy2|z|1【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 在区域 D 上,0x+y4,0xy4,所以 ,即【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 (1)积分区域 D:0y1,1 一 yx1+y2,如图 5-3将 D 分成

12、D1 和 D2 两个区域,其中D1:0x1,1 一 xy1, D2:1x2 , ,从而由 y=a 将 D分成三个部分,其中(3)积分区域D:1x2,2-xy 如图 55,将 D 写成 D:【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 积分区域如图 5-6 所示【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 积分区域 D 如图 57,将 D 分成 D1,D 2【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 积分区域 D 如图 5-8【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 积分区域 D 如图 5-9 令D1=(x,y)|x 2+y

13、24,D 2=(x,y)|(x+1) 2+y21【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 积分区域 D 如图 511,将 D 由曲线 y=x3 分成 D1,D 2 两个部分,则有【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 记 D=(x,y)|1x2 ,0yx 设 D1=D D,如图 512则【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 如图 513,将 D 分成 D1,D 2 两个部分【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 如图 5-14,将积分区域 D 由 y=x 分成 D1 与 D2 两个部分,则【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 如图 5-15,

14、用 y=x2,y=x 将 D 分成 D1,D 2,D 3 三个部分,则【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 由于 f(y+1)= 所以 I 的被积函数 f(y+1)f(x+y2)的非零值区域 D1 为 D 1=(x,y)|1x+y 23,0y2 =(x,y)|1一 y2x3 一 y2,0y2,故【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 积分区域 D 如图 5 一16 在给定的等式两边取 D 上的二重积分,得【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 先将给定的二重积分化为极坐标下的二重积分,得【知识模块】 多元函数微积分学

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