1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 D=(x,y)|x2+y21，则( )（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I22 设平面区域 D 由直线 及两条坐标轴所围成记则有( )（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 1I 3 I23 下列不等式中正确的是( )4 设 ，则 I，J ，K的大小关系是( )（A）IJK（B） JKI（C） KI J（D）KJI5 设 f(x，y)= 设平面区域 D：x 2+y2
2、a2，则 =( )（A）（B）（C） 0（D）6 设函数 f(x， y)连续，则 等于( )7 设 f(x，y)连续，则 f(rcos ，rsin )rdr 等于( )8 设 D 是 xOy 平面上以 A(1，1)，B(一 1，1) 和 C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D1 是 D 在第一象限部分，则 =( )9 设 (x)为区间0，1上的正值连续函数，a ，b 为任意常数，区域 D=(x，y)|0x1，0y1，则（A）a（B） b（C） a+b（D）二、填空题10 设11 设 是 f(x)的一个原函数，F(t)= 0tdx0xxf(y)dy，则 F“(t)=_三、解答题解答应写出文字
3、说明、证明过程或演算步骤。12 已知三角形周长为 2p，试求次三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体的体积的最大值13 已知 x，y，z 为实数，且 ex+y2+|z|=3证明 exy2|z|114 确定积分 的符号15 估计积分 其中 D：(x，y)|0x2，0y216 设 f(x，y)连续，改变下列二次积分的积分次序：17 计算 其中 D 是以(0，0)，(1，1) ，(0，1)为顶点的三角形18 计算19 改变二次积分 的积分次序，并求积分 I 的值20 计算 其中 D=(x，y)|x 2+y21，x+y121 求 ，其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的
4、平面区域22 计算 其中 D 是由 y=x3， y=1 及 x=一 1 所围成23 计算 D=(x，y)|x 2+y22x24 计算 其中 D=(x，y)|x 2+y2325 计算 其中 D=(x，y)|0x1，0y126 计算 其中 D=(x，y)|0x1，0y127 设 D= ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数计算28 设 f(x+y2)dxdy，其中 D：x 2+y21629 设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=xy+ 其中 D 是由y=0，y=x 2， x=1 所围成的区域，求 f(x，y)30 设 f(u)有连续的一阶导数，且 f(0)=0，求 ，其中
5、D=(x，y)|x 2+y2t2考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 在积分区域 D=(x，y)|x 2+y21上，有 (x2+y2)2x2+y2 从而有且等号仅在区域 D 的边界上成立。故由二重积分的性质， 即I3I 2I 1，故应选 (A)【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 在区域 有 ln(x+y)sin(x+y)x+y 1从而有ln(x+y) 9sin(x+y) 9(x+y) 9，故即 I3I 2I 1，应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学3
6、【正确答案】 C【试题解析】 在区域 D=(x，y)|x|1，|y|1上，显然 x-10，y 一 10 并不总成立，故(A)， (B)错误而 x+10(只有当 x=一 1 时等号成立)总成立，故(C) 正确 在 D1=(x，y)|x 2+y21上，一 x2 一 y20，故(D)错误总之，应选(C)【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 先比较 K 和 I 的大小因为被积函数相等，所以比较积分区域的包含关系即可显然|x|+|y|1 是 x2+y21 的内接正方形，故 KI 再比较 J 和 K 的大小因为 J 和 K 有相同的积分区域，所以比较|x|+|y|1 时被积函数的
7、大小即可显然当|x|+|y|1 时 sin(x2+y2)x2+y2，所以 JK 综上所得，JKI，应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 故f(x，y)在(0，0)点连续，从而 f(x，y)在区域 D 上连续从而由积分中值定理，存在点(，) D，使得【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由所给累次积分可得积分区域 其边界曲线分别为 y=1，y= 一 1， 画出积分区域 D，如图51，故有 应选(D)【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 给定的累次积分的边界曲线分别为 及 r=1，转化为直角坐标系下的方程分别为
8、 y=0，y=x 及 x2+y2=1，画出积分区域如图 52，故有f(x，y)dx，应选(C)【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 如图 510，将积分区域 D 分成 D1，D 2，D 3，D 4则 D1D2 关于 y轴对称，应考虑被积函数关于 x 的奇偶性，而 D3D4 关于 x 轴对称，应考虑被积函数关于 y 的奇偶性则故应选(A)【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分区域 D 关于 y=x 对称，则故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 显然被积函数在 D 上连续，则由积分中值定理
9、，至少存在一点(，) D，使得 由于当 r0 时，(，)(0，0)，于是【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 cos t 一 1【试题解析】 由于 F(t)=0tdx0xxf(y)dy=0t0xxf(y)dydx 则 F(t)= 0ttf(y)dy=t0tf(y)dy F“(t)=0tf(y)dy+tf(t)【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设三角形的三个边长分别为 BC=x，AC=y ，AB=z ，不妨设它绕AC 边旋转，AC 边上的高为 h，三角形的面积为 S，于是而旋转体的体积为其中 x+y+z=2p 为了计算
10、简便，对上述的 V 取对数以后再求最大值点即求 u(x，y，z)=ln(p 一 x)+ln(py)+ln(pz)一 ln y 在条件 x+y+z=2p 之下的最大值点 设 L(x，y，z，)=ln(p 一 x)+ln(p 一 y)+ln(pz)一 ln y+(x+y+z 一 2p)故由实际意义它就是 u(x，y，z) 的最大值点，也就是 V 的最大值点因此所求的体积的最大值为【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 设 f(x，y)=e xy2(3 一 ex 一 y2) 由 ex+y2+|z|=3 知 ex+y23即为了证明不等式，只需证明 f(x，y)=e xy2(3-ex-y2)在
11、 D=(x，y)|e x+y23上的最大值为 1即可令 ，得 D 的内部的驻点 (0，1)以及(x，0) 由于f(0，1)=1 ， f(x，0)=0，且在 D 的边界 ex+y2=3 上的所有函数值均为零，f(x，y)=exy2(3 一 ex 一 y2)在 D=(x，y)|e x+y23上的最大值为 1 故 exy2|z|1【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 在区域 D 上，0x+y4，0xy4，所以 ，即【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 (1)积分区域 D：0y1，1 一 yx1+y2，如图 5-3将 D 分成
12、D1 和 D2 两个区域，其中D1：0x1，1 一 xy1， D2：1x2 ， ，从而由 y=a 将 D分成三个部分，其中(3)积分区域D：1x2，2-xy 如图 55，将 D 写成 D：【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 积分区域如图 5-6 所示【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 积分区域 D 如图 57，将 D 分成 D1，D 2【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 积分区域 D 如图 5-8【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 积分区域 D 如图 5-9 令D1=(x，y)|x 2+y
13、24，D 2=(x，y)|(x+1) 2+y21【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 积分区域 D 如图 511，将 D 由曲线 y=x3 分成 D1，D 2 两个部分，则有【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 记 D=(x，y)|1x2 ，0yx 设 D1=D D，如图 512则【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 如图 513，将 D 分成 D1，D 2 两个部分【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 如图 5-14，将积分区域 D 由 y=x 分成 D1 与 D2 两个部分，则【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 如图 5-15，
14、用 y=x2，y=x 将 D 分成 D1，D 2，D 3 三个部分，则【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 由于 f(y+1)= 所以 I 的被积函数 f(y+1)f(x+y2)的非零值区域 D1 为 D 1=(x，y)|1x+y 23，0y2 =(x，y)|1一 y2x3 一 y2，0y2，故【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 积分区域 D 如图 5 一16 在给定的等式两边取 D 上的二重积分，得【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 先将给定的二重积分化为极坐标下的二重积分，得【知识模块】 多元函数微积分学
