1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)x 2+y22y，则 ，等于( )（A）（B）（C）（D）2 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数大于零（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在3 设函数 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( )（A）（B）（C）（D）
2、4 设 f(x，y)为连续函数，则 等于( )（A）（B）（C）（D）5 累次积分 可以写成( )（A）（B）（C）（D）6 设 g(x)有连续的导数， g(0)=0，g(0)=a0,f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=( )（A）（B）（C）（D）7 设 f(x)为连续函数， ，则 F(2)等于( )（A）2f(2)（B） f(2)（C）一 f(2)（D）08 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 等于( )（A）（B）（C）（D）9 设有平面闭区域，D=(x，y)axa，xya，D 1=(x，y)0xa ，xya，则 =( )（A）（B）（C）（D）010 累次积分 01dxx
3、1f(x，y)dy+ 12dy12-yf(x，y)dx 可写成( )（A） 02-xdxx2-xf(x,y)dy （B） 01dy02-yf(x,y)dx（C） 01dxx2-yf(x,y)dy （D） 01dyy2-yf(x,y)dx二、填空题11 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数 z=f(x，xy)，则 =_.12 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极小值为_.13 函数 f(x， y)=x2y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最小值是_14 设 其中函数 f(u)可微，则 =_.15 设函数 f(u，v)由关
4、系式 fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_16 设 D=(x， y)x 2+y21，则 =_17 设 =_.18 设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则 =_.19 设函数 =_.20 设 =_21 将 01dy0yf(x2+y2)dx 化为极坐标下的二次积分为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求 的极值23 设 z=f(x2 一 y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求24 求z在约束条件 下的最大值与最小值25 设 z=f(x+y，x 一 y，xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数
5、，求26 证明可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与fy(x0，y 0)都存在，且 dx(x 0,y0)=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y27 设 ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求28 已知 求 u(x，y)及 u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由29 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域D 上的最大值与最小值30 设 的解，求 u31 设函数 u=f(x，y) 具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式通
6、过变换 =x+ay，=x+by 可化简为32 求曲线 x3 一 xy+y3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 D=(x，y)x 2+y22y(如图 43)在直角坐标系下，故排除 A、B 两个选项因此正确答案为 D【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，故有 fx(x0，y 0)=0,fy(x0，y 0)=0又由【知识模块】 多元函数微积
7、分学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知，积分区域 D 如图 44 所示，则【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 可知，积分区域 D 为由 r=cos 为圆心存 x 轴上直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 45 所示该圆的直角坐标方程为 故用直角坐标表示区域 D 为可见A、B、C 均不正确，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序，得 于是 F(t)
8、=(t 一 1)f(t)，从而 F(2)=f(2)故选 B【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知， ，可转化为 0y1，arcsinyx，故应选 B【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 A【试题解析】 将闭区间 D=(x，y)一 axa，xya按照直线 y=一 x 将其分成两部分 D1 和 D2，如图 46 所示，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy关于 x 和 y 均为奇函数，所以在 D，和 D2 上，均有 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D1 积分不为零，在 D2 积分值为零，因此故选
9、项A 正确【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y=2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题11 【正确答案】 xf 12+f2+xyf22【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 一 64【试题解析】 根据题意可知， 得区域 D 内驻点(2， 1)则有 fxx=8y 一 6xy 一 2y2；f xy=8x 一 3x24xy；f yy=一 2x2则 A=一6，B=一 4， C=一 8，有 A
10、CB2=320，且 A0所以，点(2，1)是 z=f(x，y) 的极大值点，且 f(2，1)=4当 y=0(0x6)时，z=0；当 x=0(0y6)时，z=0；当x+y=6(0y6)时，则 z=2x3 一 12x2(0x6)，且 令 ，解得x=4则 y=2,f(4，2)=一 64且由上 f(2，1)=4,f(0，0)=0则 z=f(x，y)在 D 上的最大值为 f(2， 1)=4，最小值为 f(4，2)=一 64【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】
11、【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 2ln2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x，故 z(x，0)=(x+1) x，则【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 (1+2ln2)dx+(一 12ln2)dy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 【试题解析】 如图 49 所示，则有【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 先求函数 。的驻点，f x
12、(x，y)=e 一x=0,fy(x，y)= 一 y=0，解得函数 f(x，y)的驻点为(e，0)又 A=fxx(e，0)=一1，B=f xy(e，0)=0，C=f yy(e，0)= 一 1，所以 B2 一 AC0，A 0故 f(x，y)在点(e， 0)处取得极大值 【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 因为由已知条件可得【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 z 的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z， ，)=z 2+(x2+9y2 一 2x2)+(x+3y+3z 一 5)令【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 由题意【知识模块】
13、多元函数微积分学26 【正确答案】 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则等式成立令y=0，于是【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 由 z=f(x，y)，有代入 dz 表达式中，得【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即再求 f(x，y)在 D 边界上的最值(1)在 x 轴上 y=0，所以 f(x，0)=0 (2) 在 y 轴上 x=0，所以 f(0，y)=0(3)在 x+y=6 上，将 y=6 一 x 代入 f(x，y)中，得 f(x， y)=2x2(x 一 6)，因此 fx=6x224x=0得 x=0(舍)，x=4所以 y=6 一 x=2于是得驻点 相应的函数值f(4，2)=x 2y(4 一 x 一 y) (4,2)=一 64综上所述，最大值为 f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一 64【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 其中 C1， C2 是任意常数【知识模块】 多元函数微积分学31 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学32 【正确答案】 构造函数【知识模块】 多元函数微积分学
