1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设：x 2+y2+z2=a2(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( )2 已知封闭曲面取外侧，若 所围立体的体积为 V，则 V=( )二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 计算 ，其中 L 为 x2+y2=ax(a0)的下半部分4 计算 I=(x2+y2)zds，其中 为锥面螺线 x=tcos t，y=tsin t,z=t 上相应于 t 从 0 变到1 的一段弧5 设 ，其周长记为 a，求6 计算 其中 L 为球面 x2+y2+z2=R2 与平面 x+y+
2、z=0 的交线7 计算 其中 L 是双纽线(x 2+y2)2=a(x2 一 y2)(a0)8 计算圆柱面 x2+y2=R2 介于 xOy 平面及柱面 之间的一块面积，其中R09 设曲线 L 是 在第一象限内的一段(1)求 L 的长度 s；(2)当线密度 =1时，求 L 的质心 (3)当线密度 =1 时，求 L 关于 z 轴和 y 轴的转动惯量10 计算 Ly2dx，其中 L 为半径为 a，圆心为原点，方向取逆时针方向的上半圆周11 计算 x2dx+y2dy+z2dz，其中 是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的直线段12 计算 ，其中 L 是由曲线x2+y2=2y，x 2+y2=4y， 所围
3、成的区域的边界，按顺时针方向13 计算 其中 L 是以(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1)，取逆时针方向积分曲线如图 6-914 设 (1)验证它是某个二元函数 u(x，y) 的全微分；(2)求出 u(x，y)；(3)计算15 计算 (y2-z2)dx+(2z2 一 x2)dy+(3x2 一 y2)dz，其中 L 是 x+y+z=2 与|x|+|y|=1 的交线，从 z 轴正向看 L 为逆时针方向16 在过点 O(0，0) 和 A(，0)的曲线族 y=asin x(a 0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的曲线积分 L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小17 在变力
4、 F=yzi+zxj+xyk 的作用下，质点由原点 O 沿直线运动到椭球面上第一卦限的点 M(x0，y 0，z 0)，问当 x0，y 0，z 0 取何值时，力 F 所做的功 W 最大 ?并求出 W 的最大值18 计算 被柱面 x2+y2=2x 所截得的部分19 计算 的边界曲面20 计算 其中：x 2+y2+z2=a221 计算 在第一卦限的部分22 计算 其中的方程为|x|+|y|+|z|=1 23 计算 ，其中 t024 曲面 z=13 一 x2 一 y2 将球面 x2+y2+z2=25 分成三部分，求这三部分曲面面积之比25 求抛物面壳 的质量，此抛物面壳的面密度为 z26 曲面为锥面
5、z2=x2+y2(0z1)的下侧，计算27 计算 +y3dzdx+(z3+x2+y2)dxdy，其中为上半球面 (a0)的上侧28 计算 其中为下半球面 的上侧，a 为大于零的常数29 设对于半空间 x0 内的任意光滑有向封闭曲面，都有 xf(x)dydz 一 xyf(x)dzdx 一 e2xdxdy=0，其中函数 f(x)在(0，+) 内具有连续的一阶导数，且 ，求 f(x)30 设 F(x，y，z)=zarctan y2i+z3ln(x2+1)j+zk，求 F 通过抛物面 x2+y2+z=2 位于平面z=1 的上方的那一块流向上侧的流量考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 8 答案与解析
6、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于关于 yOz 平面对称，而(A)、(D) 的被积函数关于 x 是奇函数，所以 所以(A)、(D) 不正确由于关于zOx 平面对称，而(B) 的被积函数关于 y 是奇函数，所以 故(B)也不正确由于关于 yOz 平面与 zOx 平面对称，而(C)的被积函数关于 x 和 y 都是偶函数，故 而 1：关于 x，y，z 具有轮换对称性，即【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 利用高斯公式，(A)中的曲面积分 (B)中的曲面积分(C)中的曲面积分 而 (D)中的曲面积分 ，故应选
7、(D)【知识模块】 多元函数微积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 所以【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 由于积分曲线 关于 x 轴对称，而 xy 关于 y 是奇函数，因此 又 故【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 由于 L 具有轮换对称性，所以【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 由对称性，有 其中 L1 为 L 在第一象限部分，将 L1 的方程化为极坐标方程，即 r4=a2(r2cos2r2sin2)，r 2=a2cos 2，其中【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答
8、案】 此柱面是以 xOy 平面上的圆周 x2+y2=R2 为准线，母线平行于 z 轴，以 为顶的柱面，由第一类曲线积分的几何意义知【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 设 L 的参数方程为 x=acos3t，y=asin 3t， (1)(2)由曲线的对称性知 即 L 的质心为 (3)由对称性知【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 设 L 的参数方程为 x=acos ，y=asin ，：0 则 Ly2dx=0a2sin2(一 asin )d=-a30sin3d=【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 设 的参数方程为 x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t ：
9、01则 x2dx+y2dy+z2dz=01(t+1)2d(t+1)+(2t+1)2d(2t+1)+(3t+1)2d(3t+1) =01t2+2t+1+2(4t2+4t+1)+3(9t2+6t+1)dt =01(36t2+28t+6)dt =(12t3+14t2+6t)|01 =32【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 积分曲线如图 6-8【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 由于 故此曲线积分与路径无关取l：4x 2+y2=1，取逆时针方向，则【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 (1) 故当x2+y20 时, 为某个二元函数的全微分(2)不定积分法，设 则
10、(y)=0，即 (y)=C (3) =u(0，4)一 u(一 3，0)=4-3=1【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 取：x+y+z=2，取上侧，D xy：|x|+|y|1 由斯托克斯公式，得【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 取 L：y=asin x,x：0(a 0) 则 I(a)= L(1+y3)dx+(2x+y)dy =0(1+a3sin3x)dx+(2x+asin x)d(asinx) =0(1+a3sin3x+2axcos x+a2sinx cosx)dx =0dx+a30sin3xdx+2a0xcosxdx+a20sinxcosxdx = 令 I(a)=
11、0，则 4a2-4=0，得 a=1，a=一 1(舍去)I“(a)=8a，I“(1)=80，从而当 a=1 时，曲线积分取得最小值【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 设由 O(0，0，0)到 M(x0，y 0,z0)的直线 的参数方程为x=mt，y=nt ， z=pt，t：0t 0，其中 x0=mt0，y 0=nt0，z 0=pt0 W= yzdx+zxdy+xydz下面利用拉格朗日乘数法求 W=xyz 的最大值【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 设= 1+2，其中2：z=1 ，D xy：x 2+y21，ds=dxdy
12、则【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 利用对称性，记 1 为上半球面【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 显然关于三个坐标平面都对称，而被积函数关于 x，y，z 都是偶函数，故 其中 1：x+y+z=1 即 z=1xy，D xy：x+y1 ，x0 ，y0则【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 曲面 z=13 一 x2 一 y2 与球面 x2+y2+z2=25 的交线方程为这两条曲线将球面依次分割为 S1，S 2，S 3 三部分，其面积分别记为 A1，A 2，
13、A 3从而A2=4.52 一 10 一 20=70因此这三部分面积之比为A1：A 2：A 3=10：70 ：20=1：7：2【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 取下侧，D xy:x2+y21则【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 设 1：z=0D xy：x 2+y2a2，取下侧【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 设 1：z=0 取下侧，D xy：x 2+y2a2，则+ 1 为封闭曲面，取内侧由高斯公式，【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 由的任意性，有 f(x)+xf(x)一 xf(x)一 e2x=0【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 记这块曲面为，则 在 xOy 平面上的投影域为 Dxy：x 2+y21设 1：z=1，取下侧，Dxy：x 2+y21，则由高斯公式，【知识模块】 多元函数微积分学
