1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)为连续函数，则 ，等于( )（A）（B）（C）（D）2 累次积分 可以写成( )（A）（B）（C）（D）3 ，则积分域为( )（A）x 2+y2a2。（B） x2+y2a2(x0)。（C） x2+y2ax。（D）x 2+y2ax(y0)。4 设函数 f(t)连续，则二重积分 =( )（A）（B）（C）（D）5 设有平面闭区域，D=(x，y)| 一 axa，xya ，D 1=(x，y)|0xa，xya，则=( )（A）（B）（C）（D）06 设区域 D 由曲
2、线 围成，则 =( )（A）。（B） 2。（C）一 2。（D）一 。7 设 f(x，y)连续，且 其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于( )（A）xy。（B） 2xy。（C）（D）xy+1。8 设 f(x，y)连续，且 其中 D 表示区域0x1，0y1，则 =( )（A）（B）（C）（D）9 设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0,y0f(x)为 D 上的正值连续函数， a，b 为常数，则 =( )（A）ab 。（B）（C） (a+b)。（D）二、填空题10 已知极坐标系下的累次积分 其中 a0 为常数，则，在直角坐标系下可表示为_。11 设平面区域
3、 D 由直线 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分=_。12 设 D=(x， y)|x2+y21，则 =_。13 D 是顶点分别为(0，0)，(1，0) ，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则=_。14 设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由所围成的区域，则 f(x，y)=_。15 D 是圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域，则 =_。16 设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 =_。17 其中 D 由 y 轴， 围成。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 计算二重积分 ，其中 D 是由 x 轴， y 轴与曲线 所围成的区域，a 0
4、，b0。19 计算 ，其中 D：x 2+y22x。20 计算二重积分 ，其中区域 D 由曲线 r=1+cos(0)与极轴围成。21 计算二重积分 其中22 设 D=(x， y)|(x 一 1)2+(y1)2=2，计算二重积分 。23 求二重积分 ，其中 D 是由曲线 r=2(1+cos)的上半部分与极轴所围成的区域。24 计算 ，其中 D=(x，y)|0yminx，1 一 x。25 计算 。26 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)|0x1，0y1。27 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)|0x1，0y1。28 设 ，x0，y0，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数。计算二
5、重积分29 设二元函数 计算二重积分30 计算二重积分 ，其中 D 由曲线 与直线 及围成。31 求 其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域(如图 l-4-2)。32 计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线所围成。33 计算积分34 设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0 ，计算二重积分35 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=2，y=2，x+y=1，y+y=3 以及x 轴与 y 所围成的平面区域。36 求下列积分。 (I)设 f(x)=1-xe-y2dy，求 01x2f(x)dx； ()设函数 f(x)在0，1连续且01f(x)
6、dx=A，求 01dxx1f(x)f(y)dy。37 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0，其中 D=(x，y)|0x1，0y1 ，计算二重积分 I=38 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，且 01f(x)dx=A，,求 01dx01f(x)f(y)dy。考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知，积分区域 D 如图 146 所示，则【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 可知，积分区域 D
7、 为由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 147 所示。该圆的直角坐标方程为 故用直角坐标表示区域 D 为可见 A、B、 C 均不正确，故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=acos 知 r2=arcos，即 x2+y2=ax(a0)，故选 C。【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4，而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=2x，即(x 一 1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得【知识模块】
8、多元函数微积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 将闭区间 D=(x，y)| 一 axa，xya用直线 y=一 x 其分成两部分D2 和 D3，如图 1-48 所示，其中 D2 关于 y 轴对称， D3 关于 x 轴对称，xy 关于 x和 y 均为奇函数，所以在 D2 和 D3 上，均有 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D3 积分不为零，在 D2 积分值为零，因此所以故选项 A 正确。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 区域 D 如图 1 一 49 中阴影部分所示，引入曲线 y=一 sinx 将区域分为 D1，D 2，D 3，D
9、4 四部分。由于 D1，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D1D2 上关于x 的奇函数积分为零，故 ；又由于 D3，D 4 关于戈轴对称，可知在D3D4 上关于 y 的奇函数为零，故 。因此故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 等式 两端积分得【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 于是因此应选 C。【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 由根据轮换对称性可得因此正确选项为 D。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 先将 I 表示成 ，用 D 的极坐标表示因此可知区域 如图
10、1415 所示：如果按照先 y 后 x 的积分次序，则有因此可得【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 【试题解析】 本题可以利用极坐标变换， ，因此【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【试题解析】 利用函数奇偶性及轮换对称性【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【试题解析】 积分区域可以表示为 D=(x，y)0y1+x ，0x1 ，则利用换元法，令 1+c=t，x 0，1时，t1，2 ，则【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【试题解析】 首先令 ，则 A 为常数，此时 f(x，y)=x+Ay。【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】
11、【试题解析】 圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 积分区域 D 如图 1417 的阴影部分所示。【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 由于积分区域关于 x 轴对称，3e xsiny 关于 y 为奇函数，故【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 由题意，【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐
12、标，可得积分区域如图 1418 所示。D=(x，y) 0x1 ，0yx，【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 积分区域 D 如图 1 一 419 所示， D 的极坐标表示是：0，0r2(1+cos)，因此【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 积分区域如图 l 一 420 所示，在极坐标中【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 D 是正方形区域(如图 1_421)。因在 D 上被积函数分块表示为于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块：D=D 1D2，D
13、1=Dyx，D 2=Dyz。则有【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 记 D1=(x，y)x 2+y21，(x，y)D，D 2=(x，y)|x2+y21，(x，y)D因此【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 令 D1=(x，y)0x 2+y21，x0，y0，D2=(x，y) 1x 2+y22，x0，y0。则有【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 其中 D1 为 D 在第一象限内的部分。【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 积分区域如图 1-4-22 所示，D=D 1D2
14、，其中【知识模块】 多元函数微积分学31 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y24，D 2=(x，y)(x+1) 2+y21(如图 1423 所示)。【知识模块】 多元函数微积分学32 【正确答案】 引入极坐标(r，) 满足 x=rcos， y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为【知识模块】 多元函数微积分学33 【正确答案】 设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 多元函数微积分学34 【正确答案】 积分区域 D 如图 1424 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 是变量 y 的偶函数，函数 是变量 y 的奇函数。则取
15、D1=Dy0，【知识模块】 多元函数微积分学35 【正确答案】 由题设知，积分区域是如图 1425 所示的六边形区域，且D=D1+D2，其中 D1=(x， y)0x1 ，1 一 x)，2，D 2=(x，y)1x2，0)，3 一 x。于是【知识模块】 多元函数微积分学36 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学37 【正确答案】 将二重积分 ,转化为累次积分可得首先考虑 01xyfxy(x，y)dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 01xyfxy(x，y)dx=y 01xdfy(x， y)=xyfy(x,y) 01 一 01yfy(x,y)dx=yfy(1,y)一 01yfy(x,y)
16、dx。由 f(1，y)=f y(x，1)=0 易知 f(1，y)=f y(x，1)=0 。所以01xyfxy(x,y)dx=一 01yfy(x，y)dx。因此对该积分交换积分次序可得，一 01dyyfy(x，y)dx= 01dx01yfy(x，y)dy。再考虑积分 01yfy(x，y)dy，注意这里把变量 x 看作常数，故有 01yfy(x，y)dy= 01ydf(x，y)=yf(x,y) 01 一 01f(x，y)dy=一 01f(x)dy，因此 =01dx01f(x,y)dy。【知识模块】 多元函数微积分学38 【正确答案】 交换积分次序可得 01dxx1f(x)f(y)dy=01dy0yf(x)f(y)dx=01dx0xf(y)f(x)dy，因此，可得【知识模块】 多元函数微积分学
