1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）两个偏导数都不存在。（B）两个偏导数存在但不可微。（C）偏导数连续。（D）可微但偏导数不连续。2 已知 ，则( )（A）f x(0，0)f y(0，0)都存在。（B） fx(0， 0)不存在 fy(0，0)存在。（C） fx(0， 0)不存在 fy(0，0)不存在。（D）f x(0，0)f y(0，0)都不存在。3 已知 fx(x0，y 0)存在，则 =( )（A）f(x 0，y 0)。（B） 0。（C） 2fx(x0， y
2、0)。（D）4 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点(x0，y 0)处( )（A）z=dz。（B） z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。（C） z=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy。（D）z=dz+o()。5 设 ，则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）不连续。（B）连续但两个偏导数不存在。（C）两个偏导数存在但不可微。（D）可微。6 考虑二元函数 f(x，y)的四条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y)在点(x 0， y0)处的两个偏导数连续； f(x
3、，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在。 则有( )（A）。（B） 。（C） 。（D）。7 函数 f(x， y)在(0，0)点可微的充分条件是 ( )（A）（B）（C）（D）8 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 ( )（A）（B）（C）（D）9 设函数 z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则=( )（A）x。（B） z。（C）一 x。（D）一 z。10 设函数 u(x，y)=(x+y)+(x 一 y)+x-yx+y(t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( )（A）（B）（C）
4、（D）二、填空题11 设 在点(0，0)处连续，则 a=_。12 设连续函数 z=f(x，y)满足 则出 dz|(0.1)=_。13 设 f(x，y， z)=ex+y2z，其中 z：z(x ，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 fy(0，1，一 1)=_。14 设 =_。15 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1,0)=_。16 设 z=z(x，y)由方程 z+ez=xy2 所确定，则 dz=_。17 设函数 f(u)可微，且 f(2)=2，则 z=f(x2+y2)在点 (1，1) 处的全微分 dz|(1,1)=_。18 设函数 f(u)可
5、微，且 ，则 z=f(4x2 一 y2)在点(1，2)处的全微分 dz|(1,2)=_。19 设 其中函数 f(u)可微，则 =_。20 设 z=(x+ey)x，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 证明可微的必要条件：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与fy(x0，y 0)都存在，且 dz|(x0,y0)=fy(x0，y 0)x+fy(x0， y0)y。22 设 u=f(x， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 0。求23 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=x
6、f(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求24 设 z=f(x,y)， ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求25 设26 设27 设28 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求29 设 z=f(x2 一 y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求30 设 z=f(x+y，x 一 y，xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数定义，有
7、由对称性知 fy(0，0)=0 ，而上式极限不存在。事实上，故 f(x，y)在(0，0)点不可微。应选 B。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 所以 fy(0，0)存在。故选 B。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C。【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处可微，则 z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y+0()=dz+o()，故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 f(x，y)一 f(0，0)+2x 一y=o(p
8、)(当(x ，y)(0 ，0)时 )，即得 f(x，y)一 f(0， 0)=一 2x+y+o(p)，由微分的定义可知 f(x，y)在点(0，0)处可微，故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，而 f(x，y)可微是其连续的充分条件，因此正确选项为 A。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 由 且有 可知f(x，y)的两个一阶偏导数 fx(x，y)和 fy(x，y)在(0，0)点连续，因此 f(x，y)在(0，0)点可微。故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 C【试
9、题解析】 按可微性定义，f(x，y)在(0 ，0)处可微其中 A，B 是与 x，y无关的常数。题中的 C 项即 A=B=0 的情形。故选 C。【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 对已知的等式 两边求全微分可得即正确选项为B。【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 先分别求出 再进一步比较结果。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 根据 以及函数 z 的连续性可知 f(0，1)=1 ，从而已知的极限可以转化为 或者根据可微的定义
10、 f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有 fx(0，1)=2,f y(0，1)=一 1，dz| (0,1)=2dxdy。【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 1【试题解析】 已知 f(x，y，z)=e x+y2z，那么有 fx(x，y，z)=e x+y2zx。在等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+zx+yz+xyzx=0。由 z=0，y=1，z=一 1，可得zx=0。故 fx=(0，1，一 1)=e0=1。【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知：【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试
11、题解析】 由已知 因此 dz|(1,0)=2edx+(e+2)dy。【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【试题解析】 方程两端对 x 求偏导,故【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 4(dx+dy)【试题解析】 由题干可知，dz=f(x 2+y2)(2xdx+2ydy)，则 dz|(1,1)=f(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 4dx 一 2dy【试题解析】 直接利用微分的形式计算，因为【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 2l
12、n2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x，故 z(x，0)=(x+1) x，则代入 x=1 得，【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则等式成立。令y=0 ，于是令x0，有于是证明了 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在，并且dz|(x0,y0)=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 在等式 u=f(x，y，z)的两端同时对 x 求导数，得到如下等式而 ，再在等式 (x2，e y，z)=0 的两端同时对x 求
13、导数，得到【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得整理后得 解得【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 由 z=f(x，y)，有 dz=f1dx+f2dy。【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 由已知【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 先求 而且 f(x)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u是中间变量；(xy)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量。由于 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 因为由已知条件可得【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 由题意【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学
