1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中函数 f 可微，则 =( )（A）2yf(xy)。（B）一 2yf(xy)。（C）（D）2 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数大于零。（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零。（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零。（D）f(x 0，y)在 y=yo0 处的导数不存在。3 设函数 f(x， y)可微，且对任意 x，y 都有 则使不等式f(x1，y 1
2、)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是( )（A）x 1x 2，y 1y 2。（B） x1x 2，y 1y 2。（C） x1x 2，y 1y 2。（D）x 1x 2，y 1y 2。4 设函数 f(x)，g(x) 均有二阶连续导数，满足 f(0) 0，g(0)0，且 f(0)=g(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0) 处取得极小值的一个充分条件是 ( )。（A）f(0)0，g(0)0。（B） f(0)0，g(0)0。（C） f(0)0，g(0)0。（D）f(0)0，g(0)0。5 设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )（A）不是 f(x
3、，y)的连续点。（B）不是 f(x，y) 的极值点。（C）是 f(x，y) 的极大值点。（D）是 f(x， y)的极小值点。6 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0 。已知(x 0,y0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0。（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0。（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0。（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0。7 =( )（A）（B）（C）（D）8 设 其
4、中 D=(x，y)|x2+y21，则( )（A）I 3I 2 I1。（B） I1I 2I 3。（C） I2I 1I 3。（D）I 3I 1 I2。9 设平面 D 由 及两条坐标轴围成则( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 1I 2。（C） I1I 3I 2。（D）I 3I 2 I1。10 设 D 为单位圆则( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 1I 2。（C） I3I 2I 1。（D）I 1I 3 I2。二、填空题11 设函数 z=z(z，y)由方程 z=e2x-3y+2y 确定，则 =_。12 设函数 ，则 dz|(1,1)=_。13 设 =_。14 设函数 z=f(x，
5、y)(xy0)满足 ，则 dz=_。15 设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x=xy 确定，则 =_。16 设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，则在点(0，一1，1)的全微分 dz=_。17 设 ，则 df(x，y，z)| (1.1,1)=_。18 设 ，且 f(u)及 g(u)具有二阶连续导数，则=_。19 设 具有二阶连续导数，则 =_。20 设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g， 具有二阶连续导数，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数,f(1 ，1)=2 是 f(u，v)的极值，已知z=f(x
6、+y),f(x，y) 。求22 设 z=fxy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处取得极值 g(1)=1，求23 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数且 一 1。记 设对任意的 x 和 y，有用变量代换 将 f(x，y)变换成 g(u，v)，试求满足的常数 a 和 b。24 设函数 u=f(x，y) 具有二阶连续偏导数，且满足等式确定 a，b 的值，使等式通过变换 =x+ay，=x+by 可化简为25 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 ，求 f(u)。2
7、6 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式(I)验证 (II)若 f(1)=0,f(1)=1，求函数 f(u)的表达式。27 求 的极值。28 设函数 f(x，y)=3x+4y 一 ax2 一 2ay22xy。试问参数 ， 满足什么条件时，函数有唯一极大值? 有唯一极小值 ?29 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y22yzz2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。30 已知 求 u(x，y)及 u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由。考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选
8、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 先根据函数求出偏导数的表达形式，再将结果代入应该选 A。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，故有 fx(x0，y 0)=0,fy(x0，y 0)=0。又由 。可知 B 正确。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由 ，需对 x 和 y 分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数 f(x，y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变量 y 是单调递减的。因此，当 x1x 2，y 1y 1 时，必有 f(x1，y 1)f(x 2
9、， y1)f(x 2，y 3)，故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f(x)g(y)，得当 f(0)0，g(0)0 时，B2 一 AC0，且 A0，此时 x=f(x)g(y)在点(0 ，0) 处取得极小值。因此正确选项为A。【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 根据 dz=xdx+ydy 可得 ，则又在(0，0)处根据二元函数极值点的判断方法可知，(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点。因此正确选项为 D。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 令 F=f(x，y)+(x，y)，若 fx(x
10、0，y 0)=0，由(1)得 =0 或 x(x0，y 0)=0 当 =0 时，由(2)得 fy(x0， y0)=0，但 0 时，由(2) 及y(x0，y 0)0 得 fy(x0，y 0)0 因而 A,B 错误。若 fx(x0，y 0)0，由(1)，则 0，再由(2)及 y(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 结合二重积分的定义可得【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D=(x，y)|x 2+y21上，有 0x2+y21，从而有【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 C【试题解析】
11、 故选C。【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，y 3 是 y的奇函数，则 积分区域关于 y=x 对称，从而由轮换对称性可知 由于在 D内x1，y1，则 x6+y6x4+y4，则 从而有 I2I 3I 2。故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 偏导数法。在 z=e2x-3z+2y 的两边分别对 x，y 求偏导，z 为 x，y 的函数。【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 (1+21n2)dx 一(1+2ln2)dy【试题解析】 【知识模块】
12、多元函数微积分学13 【正确答案】 【试题解析】 设 则 z=uv，所以【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 (2xy)dx 一 xdy【试题解析】 利用变量替换，设 ，则有即 f(x，y)=x 2 一 xy，因此 dz=(2xy)dx 一 xdy。【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 22ln2【试题解析】 把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得到 z(1，2)=0 。在(z+y) z=xy 两边同时对x 求偏导数，有 将 x=1，y=2 ，z(1，2)=0 代入上式得【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 2dx+dy【试题解析】 方程两边微分，有 将
13、x=0，y=一 1，z=1 代入上式，得 即有 dz=2dx+dy。【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 dx 一 dy【试题解析】 由 有 两边分别对 x,y、z 求偏导，得 代入点(1，1，1)，得fx=1，f y=1,fz=0故 df(1,1,1)=dx 一 dy。【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 0【试题解析】 由复合函数求导法则【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 yf(xy)+(x+y)+y(x+y)【试题解析】 由题干可得：【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 g(x+y)+xg(x+y)+2y(xy)+xy 2(xy)【试题解
14、析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 (I)对方程两端同时求导得 2xdx+2ydy 一 dz=(x+y+z).(dx+dy+dz)，()由第(I)问可知 ，所以【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 根据已知【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 由题意【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 先求函数 的驻点，f x(x，y)=e 一
15、x=0,fy(x，y)=一 y=0，解得函数 f(x，y)的驻点为(e ，0)。又 A=fxx(e，0)=一 1，B=f xy(e，0)=0，C=f yy(e，0)=一 1，所以 B2 一 AC0，A0。故 f(x，y) 在点(e ，0)处取得极大值【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 根据取得极值的必要条件，得方程组 系数行列式=4(2 2 一 2)，所以当0 时 f(x，y) 有唯一驻点，即B2 一 AC=42 一 82=一 4(22一 2)。当 B2 一 AC0，即 22 一 20 时 f(x，y)有极值，且当 A=一 20 时，即 a2 一 20 且 0 时有唯一极小值；当
16、 22 一 20 且 0 时有唯一极大值。【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 在方程 x26xy+10y22yz 一 z2+18=0 的两端分别对 x，y 求偏导数，因此有 将上式代入 x2 一 6xy+10y22yzz2+18=0，解得类似地，由又故点(一 9，一 3)是 z(x，y)的极大值点，极大值为 z(一 9，一 3)=一 3。【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 由有 x+(y)有x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2+3y+C。于是 u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由 u(0，0)=1 得 C=1，因此 u(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1。【知识模块】 多元函数微积分学
