1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 ( )（A）（B）（C）（D）2 已知 fx(x0， y0)存在，则 =( )（A）f x(x0， y0)（B） 0（C） 2fx(x0，y 0)（D） (x0,y0)3 设 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）两个偏导数都不存在（B）两个偏导数存在但不可微（C）偏导数连续（D）可微但偏导数不连续4 已知 为某二元函数 u(x，y)的全微分，则 a 等于( )（A）0（B） 2（C） 1（D）一 15 函数
2、 f(x， y)在(0，0)点可微的充分条件是 ( )（A）（B）（C）（D）6 设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )（A）不是 f(x，y)的连续点（B）不是 f(x，y) 的极值点（C）是 f(x，y) 的极大值点（D）是 f(x， y)的极小值点7 设函数 z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则=( )（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z8 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点(x0，y 0)处( )（A）z=dz（B） z=fx(x0，y
3、0)Ax+fy(x0，y 0)y（C） z=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy（D）z=dz+o(p)9 设 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但两个偏导数不存在（C）两个偏导数存在但不可微（D）可微10 已知 du(x，y)=(axy 3+cosx(x+2y)dx+(3x2y2+bcos(x+2y)dy，则( )（A）a=2 ，b=一 2（B） a=3，b=2（C） a=2，b=2（D）a=2 ，b=2二、填空题11 设 f(x，y， z)=ex+y2z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 fx(0，1，一 1
4、)=_.12 设 在点(0，0)处连续，则 a=_13 设 =_14 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz=_15 设 z=z(x，y)由方程 z+ez=xy2 所确定，则 dz=_16 设函数 f(u)可微，且 f(2)=2，则 z=f(x2+y2)在点 (1，1) 处的全微分 dz (1,1)=_17 设函数 f(u)可微，且 ，则 z=f(4x2 一 y2)在点(1，2)处的全微分dz (1,2)=_18 设 具有二阶连续导数，则 =_.19 设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g， 具有二阶连续导数，则 =_20 设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x2
5、+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 u=f(x， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且22 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 求 f(u)23 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求24 设 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求.25 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并
6、且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 上的最大值和最小值26 设曲线 L 的方程为 (1)求 L 的弧长；(2)设 D 是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标27 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值28 设函数 f(u)在(0，+)内有二阶导数，且 (1)验证 (2)若 f(1)=0,f(1)=1，求函数 f(u)的表达式29 求 其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域(如图 42)30 设 z=f(xy，yg(
7、x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 z=1处取得极值考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 按可微性定义 f(x，y)在(0 ，0)可微题中的 C 项即 A=B=0 的情形故选 C【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数定义，有故 f(x，y)在(0， 0)点不可微应选 B【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 多元
8、函数微积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由 可知 f(x，y)的两个一阶偏导数fx(x，y)和 fy(x，y) 在(0，0)点可微，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 为函数 z=f(x，y)的一个极小值点因此正确选项为 D【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 即正确选项为 B【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处可微，则 z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y+o(p)=dx+o(p)，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】
9、 D【试题解析】 由微分的定义可知 f(x，y)在点(0， 0)处可微，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=(axy 3+cos(x+2y)dx+(3x2y2+bcos(x+2y)dy 知以上两式分别对 y，x 求偏导得即 3axy 2 一 2sin(x+2y)6xy2 一 bsin(x+2y)，得 a=2，b=2，故选 C【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 已知 f(x，y，z)=e x+y2z，那么有 fx(x，y，z)=e x+y2zx在等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1
10、+zx+yz+xyzx=0由 x=0，y=1，z=一 1，可得zx=0故 fe(0，1，一 1)=e0=1【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知：【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试题解析】 由已知 因此 dz (1,0)=2edx+(e+2)dy【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 4(dx+dy)【试题解析】 由题干可知，dz=f(x 2+y2)(2xdx+2ydy)，
11、则 dz (0,0)=f(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 4dx 一 2dy【试题解析】 直接利用微分的形式计算，因为【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 yf(xy)+(x+y)+y(x+y)【试题解析】 由题干可得：【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 g(x+y)+xg(x+y)+2y(xy)+xy 2(xy)【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 在等式 u
12、=f(x，y，z)的两端同时对 x 求导数，得到如下等式因此，可得【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 由题意【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 下面讨论其在边界曲线 上的情形，令拉格朗日函数为【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 (1)曲线的弧微分为【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 在方程 x26xy+10y2 一 2yzz2+18=10 的两端分别对 x，y 求偏导数，因此有【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 f(u)=lnu+C2，由 f(1)=0可得 C2=0，故 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y24，D 2=(x，y)(x+1) 2+y21，(如图 415)【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学
