1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x， y)可微，且对任意 x，y 都有 则使不等式f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是( )（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 22 交换积分次序 1edx0lnxf(x，y)dy 为( )（A） 0edy0lnxf(x,y)dx（B） eyedy01f(x,y)dx（C） 0lnxdy1ef(x,y)dx（D） 01dyeyef(x,y)dx3 设
2、 f(x，y)连续，且 其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于( )（A）xy（B） 2xy（C）（D）xy+14 则积分域为( )（A）x 2+y2a2（B） x2+y2a2(x0)（C） x2+y2ax（D）x 2+y2ax(y0)5 设 f(x，y)在 D：x 2+y2a2 上连续，则 ( )（A）不一定存在（B）存在且等于 f(0，0)（C）存在且等于 f(0，0)（D）存在且等于 6 设区域 D 由曲线 =( )（A）（B） 2（C）一 2（D）一 7 设平面 D 由 及两条坐标轴围成，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C）
3、 I1I 3I 2（D）I 3I 2 I18 设 D 为单位圆 x2+y21，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I3I 2I 1（D）I 1I 3 I29 设 其中函数 f 可微，则 =( )（A）2yf(xy)（B）一 2yf(xy)（C）（D）10 设 Dk 是圆域 D=(x，y)x 2+y21位于第 k 象限的部分，记(k=1，2，3，4) ，则( )（A）I 10（B） I20（C） I30（D）I 40二、填空题11 D 是圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域，则 =_12 积分 02dxx2e-y2dy=_13 交换积分次序 -10dy21-yf(x
4、,y)dx=_14 积分 =_15 D 是顶点分别为(0，0)，(1，0) ，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则=_16 交换积分次序 =_17 设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 =_.18 设 f(u，v)是二元可微函数， =_.19 设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 ，则 dz=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设21 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值22 设函数 f(u)具有二阶连续导数，函数 z=f(exsin y)满足方程 ，若 f(0)=0，f(0)=0 ，求函数 f
5、(u)的表达式23 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数且 一 1(1)求 dz；(2)记24 设25 求二重积分 ，其中 D=(x，y)0x2，0y226 计算二重积分 其中27 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，且 求01dxx1f(x)f(y)dy28 计算二重积分 其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线所围成29 计算积分30 计算二重积分 其中 D=(x，y)0x1，0y1考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】
6、由 则需对 x 和 y 分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数 f(x，y) 关于变量戈是单调递增的，关于变量 y 是单调递减的因此，当 x1x 2，y 1y 2 时，必有 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)f(x 2，y 2)，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=acos 知 r2=arcos，即 x2+y2=ax(a0)，故选 C【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中
7、值定理知【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 区域 D 如图 47 中阴影部分所示，引入曲线 y=一 sinx 将区域分为D1，D 2，D 3，D 4 四部分由于 D1，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D1D2 上关于 x 的奇函数积分为零，故 ；又由于 D3， D4 关于 x 轴对称，可知在D3D4 上关于 y 的奇函数为零，故 因此，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D 上 0x+y1，则 ln(x+y)30，0sin(x+y) 3(x+y) 3，从而有 ，故选 C【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 D【
8、试题解析】 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，y 3 是 y的奇函数，则 由于在D 内x1，y1，则 x6+y6x4+y4，则从而有 I1I 3I 2故选 D【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 A【试题解析】 先根据函数求出必要偏导数的表达形式，将结果代入应该选 A【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 根据极坐标系下二重积分的计算可知【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【试题解析】 如
9、图 4 一 10 积分区域，则【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D(如图 4 一 11)：一1y0，1 一 yx2则有【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 1 一 sin1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 积分区域可以表示为 D=(x，y)0y1+x ，0x1 ，则利用换元法，令 1+x=t，x0，1时，t1，2 ，则【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，积分区域如图 413 所示，则有【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案
10、】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 【试题解析】 本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可利用求导公式可得【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 (2x 一 y)dx 一 xdy【试题解析】 利用变量替换，设 ，则有即 f(x，y)=x 2 一 xy，因此出=(2x 一y)dx 一 xdy【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由已知【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 可以利用拉格朗日乘数法求极值两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数 F(x，y，z，)=x 2+y2
11、+z2+(x2+y2 一 z)+(x+y+z 一 4)，令解方程组得 (x 1，y 1，z 1)=(1，1，2)，(x 2，y 2，z 2)=(一 2，一 2，8) 代入原函数，求得最大值为 72，最小值为 6【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 先求 而且 f(x)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u是中间变量；(xy)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由于 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 曲
12、线 xy=1 将区域分成两个区域 D1 和 D2+D3(如图 4 一 16)【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 417 所示【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 引入极坐标(r，) 满足 x=rcos， y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 D 是正方形区域(如图 418)因在 D 上被积函数分块表示【知识模块】 多元函数微积分学
