1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设区域 D=(x，y) x 2+y24，x0，y0f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 =( )（A）ab（B）（C） (a+b)（D）2 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0 已知(x 0，y 0)gf(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y
2、0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)03 设函 f(x)连续，若 其中区域 Dw 为图 41 中阴影部分，则 =( )（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）4 设函数 f(x， y)连续，则 12dxx2f(x,y)dy+12dyy4-yf(x,y)dx=( ).（A） 12dx14-xf(x,y)dy（B） 12dxx4-xf(x,y)dy（C） 12dx14-yf(x,y)dy（D） 12dxyyf(x,y)dy5 =( )（A）（B）（C）（D）6 设 其中D=(x，y) x 2+y21，则 ( )（A）I 3I 2
3、I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I27 已知 则( )（A）f x(0，0),f y(0，0)都存在（B） fx(0， 0)不存在 fy(0，0)存在（C） fx(0， 0)不存在,f y(0，0)不存在（D）f x(0，0),f y(0，0)都不存在8 设函数 f(t)连续，则二重积分 =( )（A）（B）（C）（D）9 设 S：x 2+y2+z2=a2(z0)，S 1 为 S 在第一象限中的部分，则有 ( )（A）（B）（C）（D）10 考虑二元函数 f(x，y)的四条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续， f(x，y)在点(x 0， y
4、0)处的两个偏导数连续， f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在 则有( )（A）（B） （C） （D）11 极限 ( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 0（D）等于 212 设函数 f(x)，g(x) 均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0)=g(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0) 处取得极小值的一个充分条件是 ( )（A）f(0)0，g(0)0（B） f(0)0，g(0)0（C） f(0)0，g(0)0（D）f(0)0，g(0)0二、填空题13 已知极坐标系下的累次积分 其中 a0 为常数，
5、则 I 在直角坐标系下可表示为_14 设 f(x，y)连续，且 ,x=1，y=2 所围区域，则 f(x，y)=_15 设连续函数 z=f(x，y)满足=_.16 设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) 2=xy 确定，则 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 D=(x， y)x 2+y2 ，x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数计算二重积分18 设区域 D=(x，y) x 2+y21，戈0 ，计算二重积分19 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0，其中 D=(x，y)0x1，0y1，计算二
6、重积分 I=20 设 D=(x， y)axb，cyd，若 fxy与 fyx在 D 上连续，证明21 设 D=(x， y)(x 一 1)2+(y 一 1)2=2，计算二重积分22 计算 其中 D=(x，y)0yminx，1 一 x23 求二重积分 其中 D 是由曲线 r=2(1+cos)的上半部分与极轴所围成的区域24 计算25 求下列积分(1)设 (2)设函数 f(x)在0，1连续且26 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0x1，0y127 设二元函数 计算二重积分28 求二重积分 ，其中 D=(x，y)(x 一 1)2+(y1)22，yx 29 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x
7、及 x+y=8 围成计算30 计算二重积分 其中区域 D 由曲线 r=1+cos(0)与极轴围成31 计算二重积分 其中 D 由曲线 与直线 及围成.32 已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数 f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，已知z=f(x+y)f(x， y)求考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由根据轮换对称性可得因此正确选项为 D【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 F=f(x，y)+(x，y)若 fx(x0，y 0)=0，由(1
8、)得 =0 或 x(x0，y 0)=0当 =0 时，由(2)得 fy(x0，y 0)=0，但 0 时，由(2)及y(x0,y0)0 得 fy(x0，y 0)0因而 A、B 错误若 fx(x0，y 0)0，由(1)，则 0，再由(2)及 y(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 题设图像中所示区域用极坐标表示为 0v1ru因此可知【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 12dxx2f(x,y)dy+12dyy4-yf(x,y)dx 的积分区域为两部分 (如图 48)：D1=(x，y)1x2 ，xy2；D
9、 2=(x，y)1y2 ，yx4 一 y，将其写成一个积分区域为 D=(x，y)1y2，1x4 一 y故二重积分可以表示为 12dy14-yf(x,y)dx,故答案为 C.【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 结合二重积分的定义可得【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D=(x，y)x 2+y21上，有 0x2+y21，从而有故应选 A【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 故 fx(0，0)不存在 所以fy(0，0)存在故选 B【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r=2
10、在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4，而 r=2cos 在直角坐标中的方程为 x2+y2=2x，即(x 一 1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 C【试题解析】 经过分析可知，答案的四个选项右端均大于零，而 S 关于平面 x=0和 y=0 是对称的，因此 A，B，D 三项中的左端均为零，因此 C 一定为正确选项事实上，有【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查二元函数 f(x，y)的连续性，可偏导性，可微性及偏导数的连续性之间的关系由于 f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件
11、，而f(x，y)可微是其连续的充分条件，因此正确选项为 A【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 C【试题解析】 由于 0xyln(x 2+y2) (x2+y2)ln(x2+y2)(当 x2+y21 时)，令x2+y2=r，则【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f(x)g(y)，得当f(0)0，g(0) 0 时，B 2 一 AC0，且 A0，此时 z=f(x)g(y)在点(0，0) 处取得极小值因此正确选项为 A【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查把极坐标系下的累次积分转化为直角坐标系下的累次积分
12、 如果按照先 y后 x 的积分次序，则有【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 2dx 一 dy【试题解析】 根据 以及函数 z 的连续性可知 f(0，1)=1 ，从而已知的极限可以转化为【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 22ln2【试题解析】 把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得到 z(1，2)=0 在(x+y) n=xy 两边同时对x 求偏导数，【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 积
13、分区域 D 如图 419 所示因为区域 D 关于 x 轴对称，函数是变量 y 的偶函数，函数 是变量 y 的奇函数则取 D1=Dy0，【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 将二重积分【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 积分区域如图 420 所示，在极坐标中【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 积分区域 D 如图 421，D 的极坐标表示是：【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 令【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元
14、函数微积分学26 【正确答案】 记 D 1=(x，y)x 2+y21，(x，y)D，D2=(x，y) x 2+y21，(x，y) D，因此【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 其中 D1 为 D 在第一象限内的部分【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 由已知条件，积分区域 D=(x，y)(x 一 1)2+(y 一 1)22，yx 1由(x 一 1)2+(y 一 1)22，得 r2(sin+cos)，于是【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学31 【正确答案】 积分区域如图 422 所示 D=D1D2，【知识模块】 多元函数微积分学32 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学
