1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 Dk 是圆域 D=(x，y)|x 2+y21位于第 k 象限的部分，记(k=1，2，3，4) ，则( )（A）I 10。（B） I20。（C） I30。（D）I 40。2 设 f(x，y)在 D：x 2+y2a2 上连续，则 ( )（A）不一定存在。（B）存在且等于 f(0，0)。（C）存在且等于 f(0，0)。（D）存在且等于 。3 设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)x 2+y22y，则 等于( )（A）（B）（C）（D）4 设函数 f(x， y)连续，则二
2、次积分 等于( )（A）（B）（C）（D）5 累次积分 01dx01f(x,y)+11dy12(x，y)dy+ 02-ydyf(x，y)dx 可写成( )（A） 02dxx2-xf(x，y)dy 。（B） 01dy02-yf(x，y)dx。（C） 01dxx2-xf(x，y)dy。（D） 01dyy2-yf(x，y)dx 。6 设函数 f(x， y)连续，则 12dxx2f(x,y)dy+12dy+y4-yf(x，y)dx=( )（A） 12dx14-xf(x，y)dy 。（B） 12dxx4-xf(x，y)dy。（C） 12dy14-yf(x,y)dx。（D） 12dyy2f(x,y)dx。
3、7 交换积分次序 1edx0lnxf(x,y)dy 为( )（A） 0edy0lnxf(x,y)dx。（B） eyedy01f(x,y)dx。（C） 0lnxdy1ef(x,y)dx。（D） 01dyeyef(x,y)dx。8 设函数 f(x)连续，若 ，其中区域 Duv 为图 141 中阴影部分，则 =( )（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）9 设 f(x)为连续函数，F(t)= 1tdyytf(x)dx,则 F(2)等于 ( )（A）2f(2)。（B） (2)。（C） -f(2)。（D）0。10 设 =( )（A）1（B）（C）（D）e 一 1二、填空题11 设函数 f(u
4、，v)具有二阶连续偏导数 z=f(x，xy)，则 =_。12 设函数 f(u，v)由关系式 fxg(y，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_。13 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极小值为=_。14 设 且 z(1，y)=siny ，则 z(x，y)=_。15 积分 02dxx2e-y2dy=_。16 交换积分次序 -10dy21-yf(x，y)dx=_ 。17 积分 =_。18 交换积分次序 =_。19 设 f(x)，g(x) 是连续函数，=_。20 将 01dy0yf(x2+y2)dx 化为极坐标下的二次积分为 _。三、解答题解答应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求曲线 x3 一 xy+y3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。22 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。23 求|z|在约束条件 下的最大值与最小值。24 求原点到曲面(x 一 y)2+z2=1 的最短距离。25 求二元函数 zf(x，y)=x 2y(4 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D上的最大值与最小值。26 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2。求 f(x，y)在椭圆域 上的最大值
6、和最小值。27 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算28 计算 其中 D 是由 所围成的平面区域。29 求二重积分 ，其中 D=(x，y)|(x 一 1)2+(y1)22，)，x。30 求二重积分 ，其中 D=(x，y)|0x2,0y2 。考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据极坐标系下二重积分的计算可知【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 D【试题解析】
7、 积分区域 D=(x，y)|x 2+y22y(如图 143)。在直角坐标系下因此正确答案为 D。【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 可转化为 0y1，arcsinyx，故应选 B。【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y=2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 c【试题解析】 12dxx2f(x,y)dy+12dyy4-yf(x,y)dx 的积分区域为两部分 (如图 1-44)：D1=(x，y)1x2 ，xy2；D 2=(x，y)1y2 ，yx4 一
8、y，将其写成一个积分区域为 D=(x，y)1y2，1x4 一 y。故二重积分可以表示为 12dy14-yf(x,y)dx，故答案为 C。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得 1edx0lnxf(x，y)dy= 01dyeyef(x，y)dx。【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 题设图象中所示区域用极坐标表示为 0v，1ru。因此可知根据变限积分求导可得【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序，得 F(t)= 1tdyytf(x)dx =1tdx1xf(x)dy =1t(x一 1)
9、f(x)dx。 于是 F(t)=(t 一 1)f(t)，从而 F(2)=f(2)。故选 B。【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域如图 14-5故应选 B。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题11 【正确答案】 xf 22+f2+xyf22【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令 u=xg(y)，v=y，则 ，所以，【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，f x=2x(2+y2)，f y=2x2y+lny+1。所以则 A0。【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答
10、案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 如图 1-410 积分区域，则【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 12dx01-xf(x,y)dy【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D(如图 14 一 11)：一1y0，1yx2.则有 交换积分次序 -10dy21-yf(x,y)dx=-10dy1-y2f(x,y)dx=-12dx1-x0f(x,y)dy=12dx01-xf(x,y)dy【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 1 一 sin1【试题解析】 积分区域 D 如图 1412 所示，【知识模块】 多元函数微积
11、分学18 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，积分区域如图 1-4-13 所示，则有【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 【试题解析】 因为 于是【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 【试题解析】 如图 1414 所示，则有【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 构造函数 L(x，y) =x 2+y2+A(x3 一 xy+y3 一 1)，得唯一驻点 x=1，y=1，即 M1(1，1)。考虑边界上的点，M 2(0，1)，M 3(1，0)，距离函数 在三点的取值分别为，因此可知最长距离为 ，最短距离为1。【知识
12、模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数 F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2 一 z)+(x+y+z 一 4)，目令解方程组得 (x 1，y 1，z 1)=(1，1，2)，(x 2，y 2，z 2)=(一2，一 2，8) 。代入原函数，求得最大值为 72，最小值为 6。【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 z 的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z， ，)=z 2+(x2+9y2 一 2z2)+(x+3y+3z 一 5)。且令【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确
13、答案】 根据题意，求曲面上的点(x，y，z)到原点的距离在条件(x 一 y)2+z2=1 下达到最小值，运用拉格朗日函数法。令F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x 一 y)2+z2 一 ，则有 由(3)式，若 =一 1，代入(1)，(2) 得 解得 x=0，y=0。代入曲面方程(xy)2+z2=1，得到 z2=1，d=1。若 一 1，由(3)解得 z=0。由(1)，(2)得到 x=一y。代入曲面方程(x 一 y)2+z2=1，得到 故所求的最短距离为【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即 因此在 D 内只有驻点 相应的函数值为 f(2，1)=4。再求
14、 f(x，y)在 D 边界上的最值在 x 轴上 y=0，所以 f(x，0)=0。 在 y 轴上 x=0，所以 f(0，y)=0。在x+y=6 上，将 y=6 一 x 代入 f(x，y)中，得 f(x，y)=2x 2(x 一 6)，因此 fx=6x2 一24x=0 得 x=0(舍)，x=0 所以 y=6 一 x=2。于是得驻点 ,相应的函数值 f(4，2)=x2y(4 一 x 一 y) (4,2)=一 64。综上所述，最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=一 64。【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 根据题意可知 于是 f(x，y)=x 2+C(y)，且 C(y)=一
15、 2y，因此有 C(y)=一 y2+C，由 f(1，1)=2 ，得 C=2，故 f(x，y)=x 2 一 y2+2。令得可能极值点为 x=0，y=0 且=B2 一 AC=40，所以点(0 ，0) 不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线 上的情形，令拉格朗日函数为 得可能极值点x=0,y=2,A=4；x=0,y=一 2，=4；x=1，y=0,A=一 1；x=一 1，y=0，=一 1。将其分别代入 f(x，y)得 f(0，2)=一 2 f(1，0)=3，因此 z=f(x，y)在区域内的最大值为 3，最小值为一 2。【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 根据已知 则有【知识模块
16、】 多元函数微积分学28 【正确答案】 x 2 一 2x+y2=0(x 一 1)2+y2=1；y=一 x 与 x2+y2=4 的交点为y=-x 与 x22x+y2=0 的交点为(0，0)和(1，一 1)；x 2+y2=4与 x2 一 2x+y2=0 的交点为 (2，0)。【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 由已知条件，积分区域 D=(x，y)(x 一 1)2+(y 一 1)22,yx。由(x 一 1)2+(y 一 1)22，得 r2(sin+cos)，于是【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域分成两个区域 D1 和 D2+D3(如图 1-416)【知识模块】 多元函数微积分学
