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[考研类试卷]考研数学二(矩阵)模拟试卷19及答案与解析.doc

1、考研数学二(矩阵)模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 则 A,B 的关系为( ) (A)BP 1P2A(B) BP 2P1A(C) BP 2AP1(D)BAP 2P12 设 又, 则( )(A)BP 1AP2(B) BP 2AP1(C) BP 2-1AP1(D)BP 1-1AP2-13 设 A 是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则( )(A)当 mn 时,必有AB0(B)当 mn 时,必有AB0(C)当 nm 时,必有AB0(D)当 nm 时,必有AB04 设 A,B,AB,A -1B -1 皆为可逆矩阵,则(A -1B -1)-

2、1 等于( )(A)AB(B) A-1B -1(C) A(AB) -1B(D)(AB) -15 设 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则( )(A)(AB) *A *B *(B) (AB)*B *A*(C) (AB) *A *B *(D)(AB) *一定可逆6 设 A 为 n 阶矩阵,k 为常数,则(kA) *等于( ) (A)kA *(B) knA*(C) kn-1A*(D)k n(n-1)A*7 设 A 为 n 阶矩阵,A 2A,则下列成立的是( )(A)AO(B) AE(C)若 A 不可逆,则 AO(D)若 A 可逆,则 AE8 设 A 为 mn 阶矩阵,且 r(A)mn,则( )(A)A

3、的任意 m 个列向量都线性无关(B) A 的任意 m 阶子式都不等于零(C)非齐次线仕方程组 AXb 一定有无穷多个解(D)矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m O)9 设 ,若 P1mAP2n,则 m,n 可取( )(A)m3,n2(B) m3,n5(C) m2,n3(D)m2,n210 设则 B-1 为( )(A)A -1P1P2(B) P1A-1P2(C) P1P2A-1(D)P 2A-1P111 设 P ,Q 为三阶非零矩阵,且 PQO,则( )(A)当 t6 时,r(Q) 1(B)当 t6 时,r(Q)2(C)当 t6 时,r(Q)1(D)当 t6 时,r(Q)2二、填空题1

4、2 设 n 阶矩阵 A 满足 A2A3E,则(A3E) -1 _13 设 A ,则 _14 设 n 维列向量 (a, 0,0,a) T,其中 a 0,又AE T,BE T,且 B 为 A 的逆矩阵,则 a_15 设三阶矩阵 A,B 满足关系 A-1BA6ABA,且 A ,则B_ 16 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2,B ,则 r(AB)_17 设 A ,B 为三阶非零矩阵,且 ABO ,则 r(A)_18 ,则 P12009P2-1_19 设 A,B 都是三阶矩阵,A ,且满足(A *)-1BABA2A 2,则B_ 20 设矩阵 A,B 满足 A*BA2BA8E,且 A ,则 B_21

5、 _22 设 A ,B 为三阶矩阵,r(B *)1 且 ABO,则 t_23 设 A ,BO 为三阶矩阵,且 BAO,则 r(B)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一25 设 A 是 mn 阶矩阵,若 ATAO,证明:AO26 设 AE T,其中 为 n 维非零列向量证明: (1)A2A 的充分必要条件是 为单位向量; (2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵27 设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 是 n 维列向量,b 为常数,P ,Q (1)计算 PQ; (2)证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA-1b28 设矩阵 A 满足(2

6、E C -1B)ATC -1,且求矩阵 A29 设 , 是 n 维非零列向量,A T T证明: r(A)230 设 是 n 维单位列向量,AE T证明:r(A)n31 设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A *) ,其中 n232 设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量,使得 A T33 设 A 为 n 阶矩阵且,r(A)n1证明:存在常数 k,使得(A *)2kA *34 设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A *)*A n-2A35 设 A,B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵,且 ABO 证明:r(A) r(B)n考研数学二(矩阵)模拟试卷 19

7、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P 1E 12,P 2E 23(2),显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列,再将第 1 及第 2 列对调,所以 BAE 23(2)E12AP 2P1,选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B P 1AP2-1, 因为 P1-1P 1,所以应选 D【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵,因为 r(A)minm,n,r(B)minm,n,且r(AB)minr(A),r(B),所以 r(AB)minm,n,故当 mn 时,r(

8、AB)n m,于是AB0,选 B【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 A(AB) -1B(A-1B -1)(AB)A -1-1(BA-1E) (BA -1E) -1(BA-1E)E , 所以选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *AB(AB) -1ABB -1A-1BB -1.AA -1B *A*,所以选 B【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式,而余子式为,n1 阶子式,所以(kA) *k n-1A*,选 C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2A,所以 A

9、(EA)O,由矩阵秩的性质得 r(A)r(EA)n,若 A 可逆,则 r(A)n,所以 r(EA) 0,A E,选 D【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)mn ,得 r(A)r( )mn,所以方程组 AXb 有无穷多个解 故选 C【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mA2nP 经过了 A 的第 1,2 两行对调与第1,3 两列对调, 且Eij2E,P 1nAP2nP 1AP2,则 m3,n 5,即选 B【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 C【试题解析】 BAE 14E23 或 BAE 23E14 即 BAP 1P2 或 BAP 2P1,所

10、以 B-1P 2-1P1-1A-1 或 B -1P 1-1P2-1A-1,注意到 Eij-1E ij,于是 B-1P 2P1A-1 或 B-1P 1P2A-1,选 C【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO,所以 r(Q)1,又由 PQO 得 r(P)r(Q)3,当 t6 时,r(P)2,则 r(Q)1,于是 r(Q)1,选 C【知识模块】 矩阵二、填空题12 【正确答案】 (A4E)【试题解析】 由 A2A3E,得 A2A3EO ,(A3E)(A4E)9E , (A 3E) (A4E) E,则(A 3E) -1 (A4E)【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解

11、析】 令 A( 1, 2, 3),因为A2 ,所以 A*AA E2E, 而A*A(A *1,A *2,A *3),【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB(E T)(E T)E T T2a TE 且TO, 得 12a0,解得 a1【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 由 A-1BA6ABA,得 A-1B6EB,于是(A -1E)B6E, B6(A -1E) -1【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 2【试题解析】 因为B100,所以 r(AB)r(A)2【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 2【试题解析】 因为 ABO,所以 r(A)r(B)3 ,又因为 B

12、O,所以 r(B)1,从而有 r(A)2,显然 A 有两行不成比例,故 r(A)2,于是 r(A)2【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 P 1 E 23,因为 Eij-1E ij,所以 Eij2E,于是【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 A3,A *AA -13A -1,则(A *)-1BABA2A 2 化为 ABABA2A 2,注意到 A 可逆,得 B BA2A 或B3BA 6A,则B 6A(E3A) -1,【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA2BA8E,得 AA*BA2ABA8A ,即2BA2ABA8A, 于是2B2AB8E ,(

13、A E)B4E, 所以 B4(A E) -1【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 因为 Eij-1E ij,所以Eij2E,于是【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*) 1,所以 r(B)2,又因为 ABO,所以 r(A)r(B)3 ,从而 r(A)1,又 r(A)1,r(A)1,于是 t6【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 设存在可逆阵 B,C,使得 AB ACE ,于是 A(BC)O,故r(A)r(BC)n,因为 A 可逆,所以 r(A)n,从而 r(BC

14、)0,BCO,于是BC,即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 因为 r(A)r(A TA),而 ATAO,所以 r(A)0,于是 AO【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 (1)令 Tk,则 A2(E T)(E T)E 2 Tk T,因为 为非零向量,所以 TO,于是 A2A 的充分必要条件是 k1,而T 2,所以 A2A 的充要条件是 为单位向量 (2)当 是单位向量时,由 A2A 得 r(A)r(EA)n,因为 EA TO,所以 r(EA)1,于是 r(A)n1n,故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)(2)PQA 2(b TA-1),PQ

15、 可逆的充分必要条件是PQ0,即 TA-1b【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由(2E C-1B)ATC -1,得 AT(2EC -1B)-1C-1C(2E C -1B)-1(2CB) -1【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 r(A)r( T T)r(T)r( T),而 r(T)r()1,r( T)r()1,所 以 r(A)r(T)r( T)2【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 A 2(E T)(E T)E2 T T.T,因为 为单位列向量,所以 T1,于是 A2A 由 A(EA)O 得 r(A)r(EA)n ,又由 r(A)r(E A)rA(EA) r(E)n,得 r(A)r(E A

16、)n 因为 EA T0,所以 r(EA) r( T)r() 1,故 r(A)n1n【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 AA *A *AAE 当 r(A)n 时,A 0,因为A *A n-1,所以A *0,从而 r(A*) n; 当 r(A)n1 时,由于 A至少有一个 n1 阶子式不为零,所以存在一个 Mij0,进而 Aij0,于是 A*O,故 r(A*)1,又因为 A0,所以 AA*AEO ,根据矩阵秩的性质有 r(A)r(A *)n,而 r(A)n1,于是得 r(A*)1,故 r(A*)1; 当 r(A)n1 时,由于A 的所有 n1 阶子式都为零,所以 A*O,故 r(A*)0【知识模

17、块】 矩阵32 【正确答案】 设 r(A) 1,则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例,故 A T,显然 , 为非零向量设A T,其中 , 为非零向量,则 A 为非零矩阵,于是 r(A)1,又 r(A)r( T)r()1,故 r(A)1【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 因为 r(A)n1,所以 r(A*)1,于是 A* (b1bn) 其中为非零向量,故其中k aibi【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 (A *)*A*A *EA n-1E,当 r(A)n 时,r(A *)n,A *AA -1,则 (A *)*A*(A *)*AA -1A n-1E,故(A *)*A n-2A当 r(A)n1 时,A 0,r(A *)1,r(A *)*0,即(A *)*O,原式显然成立 当 r(A)n1 时, A0,r(A *)0,(A *)*O ,原式也成立【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 令 B( 1, 2, s),因为 ABO,所以 B 的列向量组1, 2, s 为方程组 AX0 的一组解,而方程组 AX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 nr(A) ,所以向量组 1, 2, s 的秩不超过 nr(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此 r(B)nr(A),即,r(A)r(B)n【知识模块】 矩阵

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