1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 则 A，B 的关系为( ) （A）BP 1P2A（B） BP 2P1A（C） BP 2AP1（D）BAP 2P12 设 又， 则( )（A）BP 1AP2（B） BP 2AP1（C） BP 2-1AP1（D）BP 1-1AP2-13 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB04 设 A，B，AB，A -1B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1B -1)-
2、1 等于( )（A）AB（B） A-1B -1（C） A(AB) -1B（D）(AB) -15 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(AB) *A *B *（B） (AB)*B *A*（C） (AB) *A *B *（D）(AB) *一定可逆6 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） knA*（C） kn-1A*（D）k n(n-1)A*7 设 A 为 n 阶矩阵，A 2A，则下列成立的是( )（A）AO（B） AE（C）若 A 不可逆，则 AO（D）若 A 可逆，则 AE8 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)mn，则( )（A）A
3、的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线仕方程组 AXb 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m O)9 设 ，若 P1mAP2n，则 m，n 可取( )（A）m3，n2（B） m3，n5（C） m2，n3（D）m2，n210 设则 B-1 为( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P111 设 P ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQO，则( )（A）当 t6 时，r(Q) 1（B）当 t6 时，r(Q)2（C）当 t6 时，r(Q)1（D）当 t6 时，r(Q)2二、填空题1
4、2 设 n 阶矩阵 A 满足 A2A3E，则(A3E) -1 _13 设 A ，则 _14 设 n 维列向量 (a， 0，0，a) T，其中 a 0，又AE T，BE T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a_15 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A-1BA6ABA，且 A ，则B_ 16 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2，B ，则 r(AB)_17 设 A ，B 为三阶非零矩阵，且 ABO ，则 r(A)_18 ，则 P12009P2-1_19 设 A，B 都是三阶矩阵，A ，且满足(A *)-1BABA2A 2，则B_ 20 设矩阵 A，B 满足 A*BA2BA8E，且 A ，则 B_21
5、 _22 设 A ，B 为三阶矩阵，r(B *)1 且 ABO，则 t_23 设 A ，BO 为三阶矩阵，且 BAO，则 r(B)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一25 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATAO，证明：AO26 设 AE T，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A2A 的充分必要条件是 为单位向量； (2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵27 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P ，Q (1)计算 PQ； (2)证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA-1b28 设矩阵 A 满足(2
6、E C -1B)ATC -1，且求矩阵 A29 设 ， 是 n 维非零列向量，A T T证明： r(A)230 设 是 n 维单位列向量，AE T证明：r(A)n31 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *) ，其中 n232 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量，使得 A T33 设 A 为 n 阶矩阵且，r(A)n1证明：存在常数 k，使得(A *)2kA *34 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*A n-2A35 设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 ABO 证明：r(A) r(B)n考研数学二（矩阵）模拟试卷 19
7、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P 1E 12，P 2E 23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 BAE 23(2)E12AP 2P1，选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B P 1AP2-1， 因为 P1-1P 1，所以应选 D【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(
8、AB)n m，于是AB0，选 B【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 A(AB) -1B(A-1B -1)(AB)A -1-1(BA-1E) (BA -1E) -1(BA-1E)E ， 所以选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *AB(AB) -1ABB -1A-1BB -1.AA -1B *A*，所以选 B【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为，n1 阶子式，所以(kA) *k n-1A*，选 C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2A，所以 A
9、(EA)O，由矩阵秩的性质得 r(A)r(EA)n，若 A 可逆，则 r(A)n，所以 r(EA) 0，A E，选 D【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)mn ，得 r(A)r( )mn，所以方程组 AXb 有无穷多个解 故选 C【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mA2nP 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第1，3 两列对调， 且Eij2E，P 1nAP2nP 1AP2，则 m3，n 5，即选 B【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 C【试题解析】 BAE 14E23 或 BAE 23E14 即 BAP 1P2 或 BAP 2P1，所
10、以 B-1P 2-1P1-1A-1 或 B -1P 1-1P2-1A-1，注意到 Eij-1E ij，于是 B-1P 2P1A-1 或 B-1P 1P2A-1，选 C【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQO 得 r(P)r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)1，选 C【知识模块】 矩阵二、填空题12 【正确答案】 (A4E)【试题解析】 由 A2A3E，得 A2A3EO ，(A3E)(A4E)9E ， (A 3E) (A4E) E，则(A 3E) -1 (A4E)【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解
11、析】 令 A( 1， 2， 3)，因为A2 ，所以 A*AA E2E， 而A*A(A *1，A *2，A *3)，【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB(E T)(E T)E T T2a TE 且TO， 得 12a0，解得 a1【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 由 A-1BA6ABA，得 A-1B6EB，于是(A -1E)B6E， B6(A -1E) -1【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 2【试题解析】 因为B100，所以 r(AB)r(A)2【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 2【试题解析】 因为 ABO，所以 r(A)r(B)3 ，又因为 B
12、O，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)2【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 P 1 E 23，因为 Eij-1E ij，所以 Eij2E，于是【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 A3，A *AA -13A -1，则(A *)-1BABA2A 2 化为 ABABA2A 2，注意到 A 可逆，得 B BA2A 或B3BA 6A，则B 6A(E3A) -1，【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA2BA8E，得 AA*BA2ABA8A ，即2BA2ABA8A， 于是2B2AB8E ，(
13、A E)B4E， 所以 B4(A E) -1【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 因为 Eij-1E ij，所以Eij2E，于是【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*) 1，所以 r(B)2，又因为 ABO，所以 r(A)r(B)3 ，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)1，于是 t6【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB ACE ，于是 A(BC)O，故r(A)r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)n，从而 r(BC
14、)0，BCO，于是BC，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 因为 r(A)r(A TA)，而 ATAO，所以 r(A)0，于是 AO【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 (1)令 Tk，则 A2(E T)(E T)E 2 Tk T，因为 为非零向量，所以 TO，于是 A2A 的充分必要条件是 k1，而T 2，所以 A2A 的充要条件是 为单位向量 (2)当 是单位向量时，由 A2A 得 r(A)r(EA)n，因为 EA TO，所以 r(EA)1，于是 r(A)n1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)(2)PQA 2(b TA-1)，PQ
15、 可逆的充分必要条件是PQ0，即 TA-1b【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由(2E C-1B)ATC -1，得 AT(2EC -1B)-1C-1C(2E C -1B)-1(2CB) -1【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 r(A)r( T T)r(T)r( T)，而 r(T)r()1，r( T)r()1，所 以 r(A)r(T)r( T)2【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 A 2(E T)(E T)E2 T T.T，因为 为单位列向量，所以 T1，于是 A2A 由 A(EA)O 得 r(A)r(EA)n ，又由 r(A)r(E A)rA(EA) r(E)n，得 r(A)r(E A
16、)n 因为 EA T0，所以 r(EA) r( T)r() 1，故 r(A)n1n【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 AA *A *AAE 当 r(A)n 时，A 0，因为A *A n-1，所以A *0，从而 r(A*) n； 当 r(A)n1 时，由于 A至少有一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A*O，故 r(A*)1，又因为 A0，所以 AA*AEO ，根据矩阵秩的性质有 r(A)r(A *)n，而 r(A)n1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)1； 当 r(A)n1 时，由于A 的所有 n1 阶子式都为零，所以 A*O，故 r(A*)0【知识模
17、块】 矩阵32 【正确答案】 设 r(A) 1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，故 A T，显然 ， 为非零向量设A T，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵，于是 r(A)1，又 r(A)r( T)r()1，故 r(A)1【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 因为 r(A)n1，所以 r(A*)1，于是 A* (b1bn) 其中为非零向量，故其中k aibi【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 (A *)*A*A *EA n-1E，当 r(A)n 时，r(A *)n，A *AA -1，则 (A *)*A*(A *)*AA -1A n-1E，故(A *)*A n-2A当 r(A)n1 时，A 0，r(A *)1，r(A *)*0，即(A *)*O，原式显然成立 当 r(A)n1 时， A0，r(A *)0，(A *)*O ，原式也成立【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 令 B( 1， 2， s)，因为 ABO，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX0 的一组解，而方程组 AX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 nr(A) ，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即，r(A)r(B)n【知识模块】 矩阵
