1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 22 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶方阵，且 A+E 与 AE 均可逆，则下列等式中不成立的是( )（分数：2.00）A.(A+E) 2 (AE)=(AE)(A+E) 2 。B.(A+E) 1 (AE)=(AE)(A+E) 1 。C.(A+E) T (AE)=(AE)(A+E) T 。D.(A+E)(AE) * =(AE) * (A+E)。3.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（分数
2、：2.00）A.A+B 是对称矩阵。B.AB 是对称矩阵。C.A * +B * 是对称矩阵。D.A 一 2B 是对称矩阵。4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=E。B.CBA=E。C.BAC=E。D.BCA=E。5.设 A=E 一 2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，且有 T =1。则 A 是对称矩阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。6.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A
3、 ij =a ij (i=1，2，3，j=1，2，3)，则2A T =( )（分数：2.00）A.0。B.2。C.4。D.8。7.设 A= ，那么(P 1 ) 2010 A(Q 2011 ) 1 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 。B.rr 1 。C.r=r 1 。D.r 与 r 1 的关系依 C 而定。9.设 A= （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2。B.a=1 时，B 的秩必为 1。C.a1 时，B 的秩必为 1。D.
4、a1 时，B 的秩必为 2。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设 为三维列向量，且 T = （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= ，B= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知三阶矩阵 A 的行列式A=一 3，A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵。如果 kA 的逆矩阵为 A * 一 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，一 1) T ， 3 =(一 1，1，0) T
5、，且 A 1 =(2，1) T ，A 2 =(一 1，1) T ，A 3 =(3，一 4) T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.已知 A= （分数：2.00）_22.已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 （分数：2.00）_23.已知 AB=A 一 B，证明：A，B 满足乘法交换律。
6、（分数：2.00）_已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x。（分数：4.00）(1).记 p=(x，Ax，A 2 x)。求三阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ；（分数：2.00）_(2).计算行列式A+E。（分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶方阵，且 n2。证明：A * =(一 A) * 。（分数：2.00）_已知 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，证明：（分数：4.00）(1).a ij （分数：2.00）_(2).a ij =一 A ij （分数：2.00）_
7、25.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，其中 A= （分数：2.00）_26.设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）模拟试卷 22 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶方阵，且 A+E 与 AE 均可逆，则下列等式中不成立的是( )（分数：2.00）A.(A+E) 2 (AE)=(AE)(A+E) 2 。B.(A
8、+E) 1 (AE)=(AE)(A+E) 1 。C.(A+E) T (AE)=(AE)(A+E) T 。 D.(A+E)(AE) * =(AE) * (A+E)。解析：解析：由 A 与 E 可交换可得，A+E 与 AE 可交换，进而(A+E) 2 与 AE 也可交换，故选项 A 正确。显然，(AE)(A+E)=(A+E)(AE)。若在等式两边同时左、右乘(A+E) 1 ，可得 (A+E) 1 (AE)=(AE)(A+E) 1 ；若先在等式两边同时左、右乘(AE) 1 ，可得(A+E)(AE) 1 =(AE) 1 (A+E)，再在所得的等式两边同时乘以AE，即得(A+E)(AE) * =(AE)
9、 * (A+E)。故选项 B，D 正确。 事实上，只有当 A T A=AA T 时，(A+E) T (AE)=(AE)(A+E) T 才成立。而 A T A=AA T 不一定成立。例如：取 3.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵。B.AB 是对称矩阵。 C.A * +B * 是对称矩阵。D.A 一 2B 是对称矩阵。解析：解析：由题设条件，则 (A+B) T =A T +B T =A+B，(kB) T =kB T =kB， 所以有 (A 一 2B) T =A T 一(2B T )=A 一 2B， 从而选项 A，D 是正确的。 首先来证明
10、(A * ) T =(A T ) * ，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A * ) T 在位置(i，j)的元素等于 A * 在(j，i)位置的元素，且为元素 a ij 的代数余子式 A ij 而矩阵(A T ) * 在(i，j)位置的元素等于 A T 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 a ji =a ij 则该元素仍为元素 a ij 的代数余子式 A ij 。从而(A * ) T =(A T ) * =A * ，故A * 为对称矩阵，同理，B * 也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项 C 是正确的。 因为(AB) T =B T A T =BA，从而选项 B
11、 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA。 所以应选 B。4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=E。B.CBA=E。C.BAC=E。D.BCA=E。 解析：解析：由题设 ABC=E，可知 A(BC)=E 或(AB)C=E，即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E，比较四个选项，应选 D。5.设 A=E 一 2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，且有 T =1。则 A 是对称矩
12、阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。 解析：解析：A T =(E 一 2 T ) T =E T 一(2 T ) T =E 一 2 T =A，成立。 A 2 =(E 一2 T )(E 一 2 T )=E 一 4 T +4 T T =E 一 4 T +4( T ) T =E，成立。由、，得 A 2 =AA T =E，故 A 是正交矩阵，成立。 由知正交矩阵是可逆矩阵，且 A 1 =A T ，成立。 故应选 D。6.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij (i=1，2，3
13、，j=1，2，3)，则2A T =( )（分数：2.00）A.0。B.2。C.4。D.8。 解析：解析：2A T =2 3 A T =8A，且由已知 A= 7.设 A= ，那么(P 1 ) 2010 A(Q 2011 ) 1 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P、Q 均为初等矩阵，因为 P 1 =P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的第一、三两行，所以 P 2010 A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而(P 1 ) 2010 A=P 2010 A=A。 又(Q 2011 ) 1 =(Q 1 ) 2011 ，且 Q 1 = 8.设 A 是 mn 矩阵
14、，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 。B.rr 1 。C.r=r 1 。 D.r 与 r 1 的关系依 C 而定。解析：解析：因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)。所以应选 C。9.设 A= （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2。B.a=1 时，B 的秩必为 1。C.a1 时，B 的秩必为 1。 D.a1 时，B 的秩必为 2。解析：解析：当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时
15、，则 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设 为三维列向量，且 T = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： T 等于矩阵 T 的对角线元素之和，即 T =1+43=2。11.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= ，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA 一 2AB=CB，得 2CAC=2ABB，因此有 C(2AE)=(2AE)B。 因为 2AE= 可逆， 所以 C=(2AE)B(2AE) 1 ，于是 C 3 =(2AE)B 2 (2AE) 1 12.设 A= （分数：2.00）填空项 1
16、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(EB 1 A) T B T X=E，得 B(EB 1 A) T X=E，即(BA) T X=E，因此 X 1 =(BA) T = 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =AA 1 可得(A * ) 1 = 14.已知三阶矩阵 A 的行列式A=一 3，A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵。如果 kA 的逆矩阵为 A * 一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由A=一 3 可知 ，A * =AA 1 =一 3A 1 ，即 kA 的逆矩
17、阵为 A * 一 。而(kA) 1 A 1 ，所以 k= 15.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，一 1) T ， 3 =(一 1，1，0) T ，且 A 1 =(2，1) T ，A 2 =(一 1，1) T ，A 3 =(3，一 4) T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分块矩阵，得 A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )= ，那么 16.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=10，在等式 A 2 一 AB=E 两边同时左乘 A 1 得 AB
18、=A 1 ，则 17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变换，则有18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB+2A=A(B+2E)，且 B+2E= ， 是可逆矩阵，所以 r(AB+2A)=r(A)。 对 A 作初等行变换，则 A=19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 BA T =O 可知，r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3。又因为 BO，因此 r(B)1， 从而有 r(A)3，即A=0，因此 A= =3(
19、一 2a 一 3)=0， 于是可得 a= 三、解答题(总题数：9，分数：20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将矩阵 A 分块，即 。 将 B 改写成 B=3E+P，于是 B n =(3E+P) n =3 n E+C n 1 3 n1 P+C n 2 3 n2 P 2 ， 其中 ，P i =O(i=3，4，n)。 将 C 改写成 C= ，则 C 2 =6C，C n =6 n1 C，所以 A n = )解析：22.已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
20、2CA 一 2AB=CB 得 2CAC=2ABB，且 C(2AE)=(2AE)B。 因为 2AE= ，且2AE=1，所以 2AE 可逆，于是 C 3 =(2AE)B 3 (2AE) 1 = )解析：23.已知 AB=A 一 B，证明：A，B 满足乘法交换律。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即(E+A)(EB)=E，这说明 E+A 与 EB 互为逆矩阵，所以(EB)(E+A)=E，将括号展开得 BA=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。)解析：已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A
21、3 x=3Ax 一 2A 2 x。（分数：4.00）(1).记 p=(x，Ax，A 2 x)。求三阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令等式 A=PBP 1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即 A(x，Ax，A 2 x)=(Ax，A 2 x，A 3 x)=(Ax，A 2 x，3Ax 一 2A 2 x) =(x，Ax，A 2 x) ， 所以 B= )解析：(2).计算行列式A+E。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)知 AB，那么 A+EB+E，从而 A+E=B+E= )解析：24.设 A 为 n 阶方阵，且 n2。证明：A * =(一
22、 A) * 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(a ij )，A中元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，则A中一 a ij 的代数余子式 B ij =(一 1) n1 A ij 。于是，(一 A) * =(一 1) n1 A * 。所以 (一 A) * =(一 1) n1 A * =(一 1) n1 n A * =A * 。 (一 A) * =A(一 A) 1 =(一 1) n A(一 1)A 1 =(一 1) n1 A * ， 故有(一 A) * =(一 1) n1 A * =(一 1) (n1)n A * =A * 。)解析：已知 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A
23、 ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，证明：（分数：4.00）(1).a ij （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a ij =A ij 时，有 A T =A * ，则 A T A=A * A=AE。由于 A * 为 n 阶非零实矩阵(a ij 不全为零)，所以 tr(A t A)= )解析：(2).a ij =一 A ij （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a ij =A ij 时，有 A T =一 A * ，则 A T A=一 A * A=一AE，此时nA=tr(一 A T A)= )解析：25.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，其中 A=
24、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=一 2，利用恒等式 AA * =AE，在等式 A * BA=2BA 一 8E 两边同时左、右分别乘 A、A 1 得AB=2AB 一 8E，移项合并得(A+E)B=4E，则 B=4(A+E) 1 = )解析：26.设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一： r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )r()+r()2。 方法二：因为 A= T + T ，A 为 33 矩阵，所以 r(A)3。 因为 ， 为三维列向量，所以存在三维列向量 0，使得 T =0， T =0， 于是 A= T + T =0， 所以Ax=0 有非零解，从而 r(A)2。)解析：
