1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 13 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAEB3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.0
2、0）A.B.C.AD.A n-14.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 0， 3 1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 3B.3 3 1C. 1 2 2 3 3D.2 1 3 2二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分
3、数：2.00）填空项 1:_7.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 3A * 2E 有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.求矩阵 A （分数：2.00）_12.设 （分数：2.00）_13.设 A （分数：2.00）_14.设 A
4、（分数：2.00）_15.设 A T AE，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_16.设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A 2 2A3E 的特征值； (3)若A0，求 A -1 ，A * ，EA -1 的特征值（分数：2.00）_17.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_18. ， T （分数：2.00）_19.设向量 (a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A T (1)求方程组 AX0 的通解； (2)
5、求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，向量 （分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_23.设 A，B 为 n 阶矩阵 (1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_24.设
6、为 n 维非零列向量，AE （分数：2.00）_25.设矩阵 A （分数：2.00）_26.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)1，A 2 3AO，设(1，1，1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_27.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 8， 2 3 2，矩阵 A 的属于特征值 1 8 的特征向量为 1 属于特征值 2 3 2 的特征向量为 2 （分数：2.00）_28.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_29.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A T 证明：A 不
7、可以相似对角化（分数：2.00）_30.设 A （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 13 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAEB 解析：解析：若 AB，则
8、存在可逆矩阵 P，使得 P -1 APB， 于是 P -1 (EA)PEP -1 APEB，即 EAEB； 反之，若 EAEB，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (EA)PEB， 整理得 EP -1 APEB，即 P -1 APB，即 AB，应选 D3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A.B. C.AD.A n-1解析：解析：因为 A 可逆，所以 0，令 AXX，则 A * AXA * X，从而有 A * X 4.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 0， 3 1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A
9、不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析：由 1 1， 2 0， 3 1 得A0，则 r(A)3，即 A 不可逆，A 正确；又 1 2 3 tr(A)0，所以 B 正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)2，从而 AX0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，D 是正确的；C不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 2 为 A 的一
10、个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 3B.3 3 1C. 1 2 2 3 3D.2 1 3 2 解析：解析：因为 AX0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A( 1 3 )( 1 3 )，注意到 A( 1 3 )0 1 2 3 2 3 ，故2 3 0 ( 1 3 )或 0 1 ( 0 2) 3 0， 因为 1 ， 3 线性无关，所以有 0 0， 0 20，矛盾，故 1 3
11、不是特征向量，同理可证 3 3 1 及 1 2 2 3 3 也不是特征向量，显然 2 1 3 2 为特征值 0 对应的特征向量，选 D二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：A ，A * 的特征值为 7.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 3A * 2E 有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 A 可逆，所以 0 0，A * 对应的特征值为 ，于是(A * ) 2 3A * 2E 对应的特征值为
12、8.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：因为 A 的各行元素之和为 4，所以 ，于是 A 有特征值 4，对应的特征向量为9.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 63a36a0，a3三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.求矩阵 A （分数
13、：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA(1) 2 (4)0 得 1 2 1， 3 4 当1 时，由(EA)X0 得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ，全部特征向量为 k 1 1 k 2 2 (k 1 ，k 2 不同时为 0)； 当 4 时，(4EA)X0 得属于特征值 4 的线性无关的特征向量为 3 )解析：12.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 得 解得 a1，b1，3 由EA (2)(3)0 得 1 0， 2 2， 3 3 (2)因为 A 的特征值都是单值，所以A 可相似对角化 将 1 0 代入(EA)X0 得 1 0 对应的线性无关特征向量
14、为 1 将 2 2 代入(EA)X0 得 2 2 对应的线性无关特征向量为 2 将 3 3代入(EA)X0 得 3 3 对应的线性无关特征向量为 3 令 P ，则 P -1 AP )解析：13.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA )解析：14.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 7， 由EA (7)(1) 2 0 得 1 7， 2 3 1，A * 对应的特征值为 )解析：15.设 A T AE，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AXX，则 X T A T X T ，从而有 X T A T AXX T AX 2
15、 X T X，因为 A T AE， 所以( 2 1)X T X0，而 X T XX 2 0，所以 2 1，于是1)解析：16.设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A 2 2A3E 的特征值； (3)若A0，求 A -1 ，A * ，EA -1 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为EA T (2EA) T EA，所以 AT 与 A 的特征值相等 (2)因为 A 0 (0)， 所以 A 2 0 A 0 2 ，(A 2 2A3E)( 0 2 2 0 3)， 于是 A 2 ，A 2 2A3E 的特征值分别为 0 2 ， 0 2
16、 2 0 3 (3)因为A 1 2 n 0，所以 0 0，由 A 0 得 A -1 ， 由 A * AA 得 A * ，又(EA -1 )(1 )， 于是 A -1 ，A * ，EA -1 的特征值分别为 )解析：17.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 X 1 X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 X 2 )(X 1 X 2 )， 因为 AX 1 1 X 1 ，AX 2 2 X 2 ，所以( 1 )X 1 ( 2 )X 2 0， 而 X 1
17、，X 2 线性无关，于是 1 2 ，矛盾，故 X 1 X 2 不是 A 的特征向量)解析：18. ， T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T k，则 A 2 kA， 设 AXX，则 A 2 X 2 XkX，即 (k)X0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 或 k 由 1 n tr(A)且 tr(A)k 得 1 n-1 0， n k 因为 r(A)1，所以方程组(0EA)X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量， 即 0 有 n1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化)解析：19.设向量 (a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A T (1)求方程
18、组 AX0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)1，所以 AX0 的基础解系含有 n1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 1 ( ，1，0，0) T ， 2 ( ，0，1，0) T ， n-1 ( ，0，0，1) T ， 则方程组 AX0 的通解为 k 1 2 k 2 2 k n-1 n-1 (k 1 ，k 2 ，k n-1 为任意常数) (2)因为 A 2 kA，其中 k(，) )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A T ，由EA 2 (2)0 得 1 2 0， 3 2， 因为 6E
19、A n 的特征值为 6，6，62 n ，所以6EA n 6 2 (62 n )解析：21.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 1 1 2 2 3 3 ，解得 1 2， 2 2， 3 1，则 A n 2A n 1 2A n 2 A n 3 )解析：22.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_正确答案
20、：(正确答案：由 AXX 得 A 2 XA(AX)A(X)AX 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 XX，其中 A ，A 2 O，A 2 的特征值为 0，取 X ，显然A 2 X0X，但 AX )解析：23.设 A，B 为 n 阶矩阵 (1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)一般情况下，AB 与 BA 不相似，如 )解析：24.设 为 n 维非零列向量，AE （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 2 所以 A 可逆且 A -1 A (2)因为 A(E )解析：2
21、5.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 3 为 A 的特征值，所以3EA0，解得 y2 (2)(AP) T (AP)P T A T APP T A 2 P， A 2 ，令 A 1 ，EA 1 0 得 1 1， 2 9， 当1 时，由(EA 1 )X0 得 1 ； 9 时，(9EA 1 )X0 得 2 ， )解析：26.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)1，A 2 3AO，设(1，1，1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 3AO A3EA0 0，3，因为 r(A
22、)1，所以 1 3， 2 3 0 (2)设特征值 0 对应的特征向量为( 1 ， 2 ， 3 ) T ，则 1 2 3 0，则 0 对应的特征向量为 2 (1，1，0) T ， 3 (1，0，1) T ，令 )解析：27.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 8， 2 3 2，矩阵 A 的属于特征值 1 8 的特征向量为 1 属于特征值 2 3 2 的特征向量为 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1 T 2 1k0 1 1 8 对应的特征向量为 1 令 2 3 2 对应的另一个特征向量为 3 ， 由不同特征值对应的特征向量正交，
23、得 1 2 3 0 )解析：28.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aEA)(bEA)O，得aEA.bEA0，则aEA0 或者 bEA0又由(aEA)(bEA)O，得 r(aEA)r(bEA)n 同时 r(aEA)r(bEA)r(aEA)(bEA)r(ab)En 所以 r(aEA)r(bEA)n (1)若aEA0，则r(aEA)n，所以 r(bEA)0，故 AbE (2)若bEA0，则 r(bEA)n，所以 r(aEA)0，故 AaE (3)若aEA0 且bEA0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(
24、aEA)X0 的基础解系含有 nr(aEA)个线性无关的解向量，即特征值 a 对 应的线性无关的特征向量个数为nr(aEA)个； 方程组(bEA)X0 的基础解系含有 nr(bEA)个线性无关的解向量，即特征值 b 对 应的线性无关的特征向量个数为 nr(bEA)个 因为 nr(aEA)nr(bEA)n，所以矩阵 A 有 n个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：29.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AXX，显然 A 2 X 2 X， 因为 ， 正交，所以 A 2 T . T O，于是 2 X0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 2 n 0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(OEA)r(A)1，所以 nr(OEA)n1n，所以 A 不可相似对角化)解析：30.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由EA(1) 2 (2)0 得 1 2 1， 3 2 当1 时，由(EA)X0 得 1 对应的线性无关的特征向量为 当 2 时，由(2EA)X0得 2 对应的线性无关的特征向量为考 3 ， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以A 可以对角化 )解析：
