矩阵的特征值和特征向量

1、2.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AE。
B.2AE。
C.A+2E。
D.A 一 4E。
3.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值。
B.至少是 A 的二重特征值。
C.至多是 A 的二重特征值。
D.一重、二重、三重特征值都有可能。
4.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 B. 2 C. 1 =D. 2 =5.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.。
B.AC.A 2 一 A。
D.A 2 +2A 一 6.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单。

2、2.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。
B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。
C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。
D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。
4.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 2 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 B. 2 C. 1 =D. 2 =5.若 n 阶可逆矩阵 A 的属于特征值 的特征向量是 ，则在下列矩阵中， 不是其特征向量的是( )（分数：2.00）A.(A+E) 2 。
B.-3A。
C.A * 。
D.A T 。
6.。

3、2.设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(EA)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值5.与矩阵 A （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，。

4、2.n 阶方阵 A 有 n 个互不相同特征值是 A 与对角矩阵相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要的条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件3.设 A、B 都是 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的一个充分条件是（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.A 与 B 有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， n ，且 1 ， n 互不相同4.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 都相似5.与矩阵 D= 相似的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 1 =(1，0，-2) T 和 2 =(2，3，8) T 都是 A 的属于特征值 2 的特征向量，又向量 =(0，-3，-10) T ，则 A= 1.（分数：2.00）填空项 1:_。

5、2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAEB3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A.B.C.AD.A n-14.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 0， 3 1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 3B.3 3 1C. 1 2 2 3 3D.2 1。

6、2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 B -1C.A * B *D.AB二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 3， 2 3 5，且。

7、2.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 一 1 。
B.P T 。
C.P。
D.(P 一 1 ) T 。
3.已知三阶矩阵 A与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A属于特征值 =一 3的特征向量是( )（分数：2.00）A.。
B.A+C.A 2 一 A。
D.A 2 +2A 一 4.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P -1 AP； A T ； （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量。
B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A的特征向量。
C.若 是 A 2 的特。

8、2.已知 A是 3阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A的二重特征值B.至少是 A的二重特征值C.至多是 A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能3.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.4.3阶矩阵 A的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0B.秩 r(A)=1C.秩 r(A)=2D.条件不足，不能确定5.设 n阶矩阵 A与 B相似，E 为 n阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.EA=EBB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A和 B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE 一 A与 tE一 B相似6.n阶矩阵 A和 B具有相同的特征值是 A和 B相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件7.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量。

9、2.n阶方阵 A有 n个互不相同特征值是 A与对角矩阵相似的 【 】（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要的条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件3.设 A、B 都是 n阶矩阵，则 A与 B相似的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.r(A)r(B)B.ABC.A与 B有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， n ，且 1 ， n 互不相同4.设 n阶矩阵 A与 B相似，则 【 】（分数：2.00）A.EAEBB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A和 B都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 都相似5.与矩阵 D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 1 (1，0，2) T 和 2 (2，3，8) T 都是 A的属于特征值 2的特征向量，又向量(0，3，10) T ，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 4阶矩阵 A与 B相似，A 。

10、2.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，一 2 )，则 P 一 1 AP=( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。
B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。
C.( 1 ， 3 ， 2 )。
D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。
4.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。
B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。
C.( 1 ， 3 ， 2 )。
D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。
5.已知三阶矩阵 A的特征值为 0，1，设 B=A 3 一 2A 2 ，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.B.C.D.不能确定。
6.设 A为 n阶实对称矩阵，则( )（分数：2.00）A.A的 n个特征向量两两正交。
B.A的 n个特征向量组成单位正交向量组。
C.对于 A的 k重特征值 0 ，有 r。

11、2.设 A为 n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A与单位矩阵 E合同B.矩阵 A的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ为对角阵3.设 n阶矩阵 A与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A的 n个特征值都是单值B.A是可逆矩阵C.A存在 n个线性无关的特征向量D.A一定为 n阶实对称矩阵4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 +B -1C.A * +B *D.A-B二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 A是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3对应的线性无关的特征。

12、2.设矩阵 （分数：2.00）A.1，0，一 2B.1，1，一 3C.3，0，一 2D.2，0，一 33.已知 A是 4阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A+2ED.A一 4E4.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A -1 D.AE5.已知 a=(1，一 2，3) T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6B.a=2，b=一 6C.a=2，b=6D.a=一 2b=一 66.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个7.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 。

13、2.设矩阵 A （分数：2.00）A.1，0，2B.1，1，3C.3，0，2D.2，0，33.已知 A是 4阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A2ED.A4E4.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A -1D.AE5.已知 (1，2，3) T 是矩阵 A （分数：2.00）A.a2，b6B.a2，b6C.a2，b6D.a2，b66.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量口是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4)E （分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个7.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A的特征向量C.。

14、2.设三阶矩阵 A的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE是不可逆矩阵。
B.矩阵 A+E和对角矩阵相似。
C.矩阵 A属于 1与一 1的特征向量相互正交。
D.方程组 Ax=0的基础解系由一个向量构成。
3.设 A为 n阶可逆矩阵，A 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. 一 1 A n 。
B. 一 1 A。
C.A。
D.A n 。
4.已知 A是四阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AE。
B.2AE。
C.A+2E。
D.A一 4E。
5.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T 。
B.A 2 。
C.A 一 1 。
D.A一 E。
6.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 A是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A的二重特征值。
B.至少是 A的二重特征。

15、2.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 3.n阶矩阵 A具有 n个线性无关的特征向量是 A与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件4.则 A与 B( ) （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似5.设三阶矩阵 A的特征值是 0，1，1，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 AE 和对角矩阵相似C.矩阵 A属于 1与1 的特征向量相互正交D.方程组 A0 的基础解系由一个向量构成6.已知 A是一个 3阶实对称正定的矩阵，那么 A的特征值可能是( )（分数：2.00）A.3，i，1B.2，1，3C.2，i，4D.1，3，47.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（分数：2.0。

16、2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAEB3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A.B.C.AD.A n-14.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 0， 3 1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 2 为 A 的一个特征值其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 3B.3 3 1C. 1 2 2 3 3D.2 。

17、2.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P( 1 ，2 3 ， 2 )，则 P -1 AP( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.已知 P -1 AP （分数：2.00）A.( 1 ， 2 ， 3 )B.( 1 ， 2 3 ， 2 2 3 )C.( 1 ， 3 ， 2 )D.( 1 2 ， 1 2 ， 3 )4.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. -1 A nB. -1 AC.AD.A n5.已知 A是 3阶矩阵，r(A)1，则 0( )（分数：2.00）A.必是 A的二重特征值B.至少是 A的二重特征值C.至多是 A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能6.设 2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.7.3阶矩阵 A的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)0B.秩 r。

18、2.设三阶矩阵 A的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对4.设 A是 n阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则-1 一定是矩阵 A的特征值B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A的特征值C.若矩阵 A的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A的特征值D.若 A是正交矩阵，且 A的特征值之积小于零，则-1 一定是 A的特征值二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_6.设三阶矩阵 A的特征值为 1 =-1， 2 = （分数：2.00）填空项 1:_7.设 1 ， 2 ， 3 是三。

19、2.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A为 n阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A的秩与矩阵 A的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A与矩阵 B相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则 A经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A可对角化，则 A的秩与其非零特征值的个数相等4.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
_。

20、M 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，它们所对应的特征向量为 1=(1，0，0)T， 2=(0，2，0) T， 3=(0，0，1) T，则矩阵 M 是_。
ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.6.四阶矩阵 A 的元素均为 1，则 A 的特征值为_。
A1，1，1，1 B1，0，0，0 C1，1，0，0 D4，0，0，0（分数：2.50）A.B.C.D.7.设 x=(1，-1，2) T是矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.8.已知 A 是 n 阶可逆矩阵， 0是 A 的特征值，则 A-1的特征值为_。
AB2 0 C 0 D （分数：2.50）A.B.C.D.9.已知 A2=A，则 A 的特征值为_。
A1 B2 C1 或 2 D1 或 0（分数：2.50）A.B.C.D.10.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 有一个特征值是_。
ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.11.A 是三阶矩阵，A，A+E，E-2A 均不可逆，则矩阵 A 的三个特征值是_。