1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 5及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，一 2 )，则 P 一 1 AP=( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2
2、， 3 )。4.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。5.已知三阶矩阵 A的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 一 2A 2 ，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.不能确定。6.设 A为 n阶实对称矩阵，则( )（分数：2.00）A.A的 n个特征向量两两正交。B.A的 n个特征向量组成单位正交向量组。C.对于 A的 k重特征值 0 ，有 r( 0 E一 A)=n-k。D.对于 A的 k重特征值 0 ，有 r(
3、0 EA)=k。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.已知 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_9.设三阶方阵 A的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ，令 P=(3 3 , 1 , 2 )，则 P 一 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特
4、征值 0和 1对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，一 1，1) T ，则特征值 2对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设二阶实对称矩阵 A的一个特征值为 1 =1，属于 1 的特征向量为(1，一 1) T ，若A=一 2，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：42.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_某试验性生产线每年 1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n
5、年 1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：6.00）(1).求 的关系式并写成矩阵形式： （分数：2.00）_(2).验证 （分数：2.00）_(3).当 （分数：2.00）_14.在某国，每年有比例为 P的农村居民移居城镇，有比例为 q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。 (I)求关系式 中的矩阵 A； ()设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_设三阶矩阵 A的特征值 1 =1， 2 =2， 3
6、=3对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T 。（分数：4.00）(1).将向量 =(1，1，3)T 用 1 , 2 , 3 线性表示；（分数：2.00）_(2).求 A n 。（分数：2.00）_15.已知 A是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(A+E)。（分数：2.00）_设 A，B 为同阶方阵。（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_(2).举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不成立；（
7、分数：2.00）_(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立。（分数：2.00）_A为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：4.00）(1).求 A的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_设三阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0的两个解。（分数：4.00）(1).求 A的特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 Q和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分数：2.00）_16.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1
8、 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求 A。（分数：2.00）_17.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =一 1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为p 1 =(1，2，2) T ，p 2 =(2，1，一 2) T ，求 A。（分数：2.00）_18.设三阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_设三阶实对称矩阵 A的特征值 1 =1，
9、2 =2， 3 =一 2， 1 =(1，一 1，1) T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E为三阶单位矩阵。（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 B。（分数：2.00）_19.已知矩阵 （分数：2.00）_20.设 且存在正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵。若 Q的第一列为 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 5答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出
10、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，一 2 )，则 P 一 1 AP=( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 A 2 =3 3 ，有 A(一 2 )=3(一 2 )，即当 2 是矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量时，一 2 仍是矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A属于特征值 =一2的特征向量。当 P 一 1 AP=A时，P 由 A的特征向量构成，A 由 A的特征值构成，且 P与 A的位置是对应一致
11、的，已知矩阵 A的特征值是 1，3，一 2，故对角矩阵 A应当由 1，3，一 2构成，因此排除选项B、C。由于 2 3 是属于 =一 2的特征向量，所以一 2在对角矩阵 A中应当是第二列，所以应选 A。3.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ， 3 )。 解析：解析：若 4.已知 （分数：2.00）A.( 1 ，一 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 一 2 ，
12、3 )。 解析：解析：由题意可得 A 1 =2 1 ，A 2 =6 2 ，A 3 =6 3 。因 2 是属于特征值 =6 的特征向量，所以一 2 也是属于特征值 =6 的特征向量，故选项 A正确。同理，选项 B，C 也正确。由于 1 ， 2 是属于不同特征值的特征向量，所以 1 + 2 ， 1 一 2 均不是矩阵 A的特征向量，故选项 D一定错误。5.已知三阶矩阵 A的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 一 2A 2 ，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.1。 B.2。C.3。D.不能确定。解析：解析：因为矩阵 A有三个不同的特征值，所以 A必能相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 于
13、是 P 一 1 BP=P 一 1 (A 3 一 2A 2 )P=P 一 1 A 3 P一 2P 一 1 A 2 P=(P 一 1 AP) 3 一 2(P 一 1 AP) 2 6.设 A为 n阶实对称矩阵，则( )（分数：2.00）A.A的 n个特征向量两两正交。B.A的 n个特征向量组成单位正交向量组。C.对于 A的 k重特征值 0 ，有 r( 0 E一 A)=n-k。 D.对于 A的 k重特征值 0 ，有 r( 0 EA)=k。解析：解析：实对称矩阵 A必可相似对角化，A 的属于 k重特征值 0 的线性无关的特征向量必有 k个，故 r( 0 E一 A)=n一 k。选项 C正确。需要注意的是：
14、实对称矩阵 A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n 个特征向量不一定是单位正交向量组。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A的特征方程 可得 A的特征值是 =1(二重)，=一 1。因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 =1 必有两个线性无关的特征向量，因此 r(E一 A)=32=1，根据8.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：因为 所以矩阵 A的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3有两个
15、线性无关的特征向量，即(3E 一 A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵 3E一 A的秩为 1。9.设三阶方阵 A的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ，令 P=(3 3 , 1 , 2 )，则 P 一 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 3 ， 1 ，2 2 分别为 A的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 10.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T ，则 A= 1。（分数：2.00）
16、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A i =i i (i=1，2，3)可知 A的特征值为 1，2，3。令 11.设 A是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0和 1对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，一 1，1) T ，则特征值 2对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(一 1，0，1) T ，t0）解析：解析：设所求的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 12.设二阶实对称矩阵 A的一个特征值为 1 =1，属于
17、 1 的特征向量为(1，一 1) T ，若A=一 2，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设矩阵 A的特征值 1 =1和 2 对应的特征向量分别为 1 =(1，一 1) T 和 2 =(x 1 ，x 2 ) T 。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵 Q，使得 ，而相似矩阵的行列式相等，所以 即 2 =一 2。又实对称矩阵 A的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1 T 2 =0，即x 1 一 x 2 =0.方程组 x 1 一 x 2 =0的基础解系为 2 =(1，1) T 。令 则 三、解答题(总题数：14，分数：42.00)13.解答题
18、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：某试验性生产线每年 1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n年 1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：6.00）(1).求 的关系式并写成矩阵形式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 化成矩阵形式为 可见 )解析：(2).验证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为行列式 所以 1 ， 2 线性无关。 又 故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值 1
19、=1。 ，故 2 为 A的特征向量，且相应的特征值 )解析：(3).当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.在某国，每年有比例为 P的农村居民移居城镇，有比例为 q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。 (I)求关系式 中的矩阵 A； ()设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，人口迁移的规律不变 x n+1 =x n +qy n 一 px n =(1一 p)x n +qy n ，y n+1 =y
20、n +px n 一 qy n =px n +(1一 q)y n ，用矩阵表示为 得 A的特征值为 1 =1， 2 =r，其中 r=1一 Pq。 当 1 =1时，解方程(AE)x=0，得特征向量 当 2 =r时，解方程(ArE)x=0，得特征向量 令 P=(P 1 ，P 2 )= ，则 于是 )解析：设三阶矩阵 A的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T 。（分数：4.00）(1).将向量 =(1，1，3)T 用 1 , 2 , 3 线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设
21、x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 )解析：(2).求 A n 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=2A 1 2A 2 +A 3 ，则由题设条件可得 A n =2A n 1 2A n 2 +A n 3 =2 1 22 n 2 +3 n 3 = )解析：15.已知 A是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(A+E)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A的任一特征值，(0)是属于特征值 的特征向量，则A=，于是 A n = n 。用 右乘 A 4 +2A 3 +A 2 +2
22、A=O，得( 4 +2 3 + 2 +2)=0。因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=(+2)( 2 +1)=O。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A的特征值是 0或一 2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A的特征值是 0，一 2，一 2。因 AA，则有 )解析：设 A，B 为同阶方阵。（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P 一 1 AP=B，则EB=EP 一 1 AP=P 一 1 EPP 一 1 AP=P 一 1
23、(E 一 A)P=P 一 1 EAP=E 一 A。所以A、B 的特征多项式相等。)解析：(2).举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不成立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 所以存在可逆矩阵 P，Q，使 )解析：A为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：4.00）(1).求 A的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得
24、 即特征值 1 =一 1， 2 =1对应的特征向量为 又由r(A)=23 可知，A 有一个特征值为 0。设 3 =0对应的特征向量为 与 )解析：(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设三阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0的两个解。（分数：4.00）(1).求 A的特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A的各行元素之和均为 3，所以有 )解析：(2).求正交矩阵 Q和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分数：2.00）_正确
25、答案：(正确答案：因为 A是实对称矩阵，所以 与 1 ， 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。由施密特正交化法，取 )解析：16.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A的属于特征值 =1 的特征向量为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 。实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1 T x=0，即 x 2 +x 3 =0。方程组 x 2 +x 3 =0的基础解系为 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，一 1，1) T 。 )解析：
26、17.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =一 1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为p 1 =(1，2，2) T ，p 2 =(2，1，一 2) T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=(q 1 ，q 2 ，q 3 )，使 将对应于特征值 1 、 2 的特征向量 单位化，得 由正交矩阵的性质，q 3 可取为 的单位解向量，则由 可知 因此 )解析：18.设三阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一
27、3) T 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2知，A=0，所以 =0 是 A的另一特征值。因为 1 = 2 =6是实对称矩阵的二重特征值，故 A属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1 , 2 , 3 必线性相关，显然 1 , 2 线性无关。设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解得此方程组的基础解系 =(一 1，1，1) T 。根据A( 1 ， 2 ，)=(6 1 ，6 2 ，0)得 A=(6 1 ，6 2 ，0)( 1 ， 2 ，
28、0) -1 )解析：设三阶实对称矩阵 A的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 2， 1 =(1，一 1，1) T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E为三阶单位矩阵。（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得 A 2 1 =A 1 = 1 ，依次递推，则有 A 3 1 = 1 ，A 3 1 = 1 ，故 B 1 =(A 5 一 4A 3 +E) 1 =A 5 1 一 4A 3 1 + 1 =一 2 1 ，即 1 是矩阵 B的属于特
29、征值一 2的特征向量。由关系式 B=A 5 一 4A 3 +E及 A的三个特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 2得 B的三个特征值为 1 =一 2， 2 =1， 3 =1。设 2 , 3 为 B的属于 2 = 3 =1的两个线性无关的特征向量，又由 A为对称矩阵，则 B也是对称矩阵，因此 1 , 2 , 3 正交，即 1 T 2 =0， 1 T 3 =0。因此 2 , 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为 B的全部特征向量为 )解析：(2).求矩阵 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
30、：因 =5 是矩阵 A的特征值，则由 可得 a=2。当 a=2时，矩阵 A的特征多项式 矩阵 A的特征值是 1，2，5。由(EA)x=0 得基础解系 1 =(0，1，一 1) T ；由(2EA)x=0得基础解系 2 =(1，0，0) T ：由(5E 一 A)x=0得基础解系 3 =(0，1，1) T 。即矩阵 A属于特征值1，2,5 的特征向量分别是 1 , 2 , 3 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则 )解析：20.设 且存在正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵。若 Q的第一列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A的特征向量，设特征值是 1 ，那么 知矩阵 A的特征值是 2，5，一 4。 对 =5，由(5EA)x=0 得基础解系 2 =(1，一 1，1) T 。 对 =一 4，由(一 4E一 A)x=0得基础解系 3 =(一 1，0，1) T 。 因为 A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2 , 3 ，即 )解析：
