1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 14 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线
2、性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 B -1C.A * B *D.AB二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 3， 2 3 5，且 1 3 对应的线性无关的特征向量为 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 ， 为三维非
3、零列向量，(，)3，A T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 A （分数：2.00）_12.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k O证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_13.设 A 为三阶矩阵 A i i i (i1，2，3)， 1 ， 2 ， 3 （分数：2.00）_14.设 为 A （分数：2.00）_15.设 A ，A1， （分数：2.00）_16.
4、设 AB， （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设 A （分数：2.00）_19.设 A，B 为 n 阶矩阵，EAEB且 A，B 都可相似对角化，证明：AB（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_22.设 A （分数：2.00）_23.设方程组 有无穷多个解， （分数：2.00）_24.设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 1 2 是 A 的特征值，对应特征向量为(1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_25
5、.设 （分数：2.00）_26.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 2 ，A 2 3 ，A n-1 n ，A n 0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_28.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 设 （分数：2.00）_29. （分数：2.00）_30.设 A （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 14 答案解析(总分：6
6、0.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵解析：解析：根据实对称矩阵的性质，显然选项 B、C、D 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 A3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）
7、A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件也非其可对角化的必要条件，选 C4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为 ， 为非零向量，所以 A T O，则 r(A)1， 又因为 r(A)r(
8、 T )r()1，所以 r(A)1 令 AXX，由 A 2 X T . T XO 2 X 得 0， 因为r(0EA)r(A)1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选 C5.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 B -1C.A * B *D.AB 解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A -1 ，B -1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X(CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正
9、定矩阵，同样用定义法可证 A -1 B -1 与 A * B * 都是正定矩阵，选 D二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：因为 AB，所以7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 3， 2 3 5，且 1 3 对应的线性无关的特征向量为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 3 5 对应的特征向量为 ， 由 1 T 0 得 2 3 5 对应的线性无关的特征向量为 8.设 ，
10、为三维非零列向量，(，)3，A T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 3， 2 3 0）解析：解析：因为 A 2 3A，令 AXX，因为 A 2 X 2 X，所以有( 2 3)X0，而 X0，故A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 2 3 tr(A)(，)，所以 1 3， 2 3 09.设 是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：由 A 得三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.
11、设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA (1)(1) 2 0 得 1 1， 2 3 1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)1， 由 EA )解析：12.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k O证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 AXX(X0)，则有 A k X k X，因为 A k O，所 k X0，注意 到X0，故 k 0，从而 0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(OEA)r(A)1，所以方程组(OEA)X0 的基础解系至多含 n1 个线性 无关的解向量，故矩阵 A 不可对
12、角化)解析：13.设 A 为三阶矩阵 A i i i (i1，2，3)， 1 ， 2 ， 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 为 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：今 A 0 ，即 ， 解得 0 4，1 0，y9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 )解析：15.设 A ，A1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * 的特征向量也是 A 的特征向量， 因为A1，所以 a2，于是 a2，b3，c2， )解析：16.设 AB， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 2 2，因为
13、 A 相似于对角阵，所以 r(2EA)一 1， 而 2EA 于是 a5，再由 tr(A)tr(B)得 b6 (2)由(2EA)0得 2 对应的线性无关的特征向量为 由(6EA)X0 得 6 对应的线性无关的特征向量为 3 令 P )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 AB，所以 tr(A)tr(B)，即 2a01(1)2，于是 a0 (2)由EA (1)(1)(2)0 得 A，B 的特征值为 1 1， 2 1， 3 2 当 1 时，由(EA)X0 即(EA)X0 得 1 (0，1，1) T ； 当 1 时，由(EA)X0 得 2 (0，1，1) T ； 当 2
14、 时，(2EA)X0 得毒 3 (1，0，0) T ，取 P 1 ，则 P 1 -1 AP 1 当 1 时，由(EB)X0 即(EB)X0 得 1 (0，1，2) T ； 当 1 时，由(EB)X0 得 2 (1，0，0) T ； 当 2 时，由(2EB)X0 得 3 (0，0，1) T ，取 P 2 ，则 P 1 -1 BP 2 由 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 BP 2 得(P 1 P 2 -1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )B， 取 PP 1 P 2 -1 )解析：18.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由EA (2)(1) 2 0 得矩阵 A 的特
15、征值 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(EA)1， 由 EA 得 a1 (2)将2 代入(EA)X0，即(2EA)X0， 由 2EA 得 2 对应的线性无关的特征向量为 1 将 1 代入(EA)X0，即(EA)X0， 由 EA 得 1 对应的线性无关的特征向量为 )解析：19.设 A，B 为 n 阶矩阵，EAEB且 A，B 都可相似对角化，证明：AB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为EAEB所以 A，B 有相同的特征值，设为 1 ， 2 ， n ，因为 AB 可相似对角化。所以存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 )解析：20.设 （分数：2
16、.00）_正确答案：(正确答案：由EA (1) 2 (2)0 得 A 的特征值为 1 2， 2 3 1； 由EB (1) 2 (2)0 得 B 的特征值为 1 2， 2 3 1 由 EA 得 r(EA)1，即 A 可相似对角化； 再由 EB 得 r(EB)1，即 B 可相似对角化，故 AB 由 2EA 得 A 的属于 1 2 的线性无关特征向量为 A 的属于 2 3 1 的线性无关的特征向量为 由 2EB 得 B 的属于 1 2 的线性无关特征向量为 B 的属于 2 3 1 的线性无关的特征向量为 再令 PP 1 P 1 -1 )解析：21.若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分
17、数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P -1 APB，即APPB， 于是 APPBPP -1 P(BP)P -1 ，故 APBP)解析：22.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA 0，得 1 2 1， 3 2 因为矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)1， 即 a1，故 A 由 1时，由(EA)X0，得 由 2 时，由(2EA)X0，得 3 令 P( 1 ， 2 ， 3 ) ，则 P -1 AP ，两边 n 次幂得 )解析：23.设方程组 有无穷多个解， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
18、1)因为方程组有无穷多个解，所以 D a 2 2a10，解得 a1 令 P( 1 ， 2 ， 3 ) (2)A2，A * 对应的特征值为 )解析：24.设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 1 2 是 A 的特征值，对应特征向量为(1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ， 即 A 有特征值 2 5，对应的特征向量为 又因为 AX0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ， 根据不同特征值对应的特征
19、向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)tr(B)，AB，即 ，解得 a1，b0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 1， 2 0， 3 6 当 1 时，由(EA)X0，得 1 当 0 时，由(0EA)X0，得 2 当 6 时，由(6EA)X0，得 3 再令 P( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：26.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 0
20、 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 AX0 的非零解； B 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 BX0 的非零解， 因为 r(A)r(B)n，所以方程组 )解析：27.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 2 ，A 2 3 ，A n-1 n ，A n 0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 1 1 2 2 n n 0，则 1 A 1 2 A 2 n A n 0 1 2 2 3 n-1 n 0 1 A 2 2 A
21、3 n-1 A n 0 1 3 2 4 n-2 n 0 1 n 0 因为 n 0，所以 1 0，反推可得 2 n 0，所以 1 ， 2 ， n 线性无关 (2)A( 1 ， 2 ， n )一( 1 ， 2 ， n ) 令 P( 1 ， 2 ， n )， 则 P -1 AP B， 则 A 与 B 相似，由EB0 )解析：28.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ， 即 A 有一个特征值为 1 5，其对应的特征向量为 1 ，A 1 5 1 又 AX0 的通解为 ， 则 r(A)1 2
22、3 0， 其对应的特征向量为 ，A 2 0，A 3 0 今 1 1 2 2 3 3 ，解得 1 8， 2 1， 3 2， 则 A8A 1 A 2 2A 3 8A 1 40 )解析：29. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EB0，得 1 1， 2 1， 3 2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 1， 2 1， 3 2 由 tr(A) 1 2 3 ，得 a1，再由Ab 1 2 3 2，得 b2， 即 A 由(EA)X0，得 1 (1，1，0) T ； 由(EA)X0，得 2 (2，1，1) T ； 由(2EA)X0，得 3 (2，1，0) T ， 由(EB)X0，得 1 (1，0，
23、1) T ； 由(EB)X0，得 n 2 (1，0，0) T ； 由(2EB)X0，得 3 (8，3，4) T ， 由 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 BP 2 ，得(P 1 P 2 -1 ) -1 AP 1 P 2 -1 B， 令 PP 1 P 2 -1 )解析：30.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EA 0， 得矩阵 A 的特征值为 1 1a， 2 a， 3 1a (1)当 1aa，1a1a，a1a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 1a 时，由(1a)EAX0 得 1 ； 2 a 时， 由(aEA)X0 得考 2 ； 3 1a 时， 由(1a)EAX0 得 3 (2)当 a0 时， 1 3 1，因为 r(EA)2，所以方程组(EA)X 一 0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 a 时， 1 2 ，因为 r( EA)2，所以方程组( )解析：
