1、矩阵的特征值和特征向量及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：40，分数：100.00)1.设 （分数：2.50）A.B.C.D.2.设 A*是 （分数：2.50）A.B.C.D.3.矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.4.设 ，则 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.5.已知三阶矩阵 M 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，它们所对应的特征向量为 1=(1，0，0)T， 2=(0，2，0) T， 3=(0，0，1) T，则矩阵 M 是_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.6.四阶矩阵
2、A 的元素均为 1，则 A 的特征值为_。A1，1，1，1 B1，0，0，0 C1，1，0，0 D4，0，0，0（分数：2.50）A.B.C.D.7.设 x=(1，-1，2) T是矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.8.已知 A 是 n 阶可逆矩阵， 0是 A 的特征值，则 A-1的特征值为_。AB2 0 C 0 D （分数：2.50）A.B.C.D.9.已知 A2=A，则 A 的特征值为_。A1 B2 C1 或 2 D1 或 0（分数：2.50）A.B.C.D.10.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 有一个特征值是_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.11.A 是三阶
3、矩阵，A，A+E，E-2A 均不可逆，则矩阵 A 的三个特征值是_。A0，1，2 B0，-1，2 C0，-1， D0，-1， （分数：2.50）A.B.C.D.12.设 是矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.13.矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.14.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的属于特征值 的特征向量，那么矩阵(P -1AP)T属于特征值 的特征向量是_。A BP T CP -1 DP（分数：2.50）A.B.C.D.15.矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.16.设 x0是矩阵 A 的特征向量，那么不以 x0为特征向量的矩阵是_。AA-2
4、E B3A CA T DA 2（分数：2.50）A.B.C.D.17.设 x1、x 2是三阶矩阵 A 的属于特征值 1的两个线性无关的特征向量，x 3是 A 的属于特征值 2的特征向量，且 1 2，则_。Ak 1x1+k2x2是 A 的特征向量 Bk 1x1+k2x3是 A 的特征向量Cx 1+x2是 2A-E 的特征向量 Dx 2+x3是 2A-E 的特征向量（分数：2.50）A.B.C.D.18.设 3 阶矩阵 A 满足|A-2E|=0，|2A+3E|=0，|3A-E|=0，则 A 的 3 个特征值是_。A-2，3，-1BCD （分数：2.50）A.B.C.D.19.已知 （分数：2.50
5、）A.B.C.D.20.向量 =1，1，-1 T是 3 阶矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.21.已知向量 =1，1，2 T是矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.22.n 阶矩阵 A 满足 A3-2A2+A=0，则正确的结论是_。AA 的特征值至少有一个为 0BA 的特征值至少有两个为 1CA 的特征值为 0，1，1 及其他DA 的特征值只能是从 0，1 中取（分数：2.50）A.B.C.D.23.已知 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值全为零，则正确的结论是_。AA=0 Br(A)=0Cr(A)n-1(n2) D|A|=0（分数：2.50）A.B.C.D.24. （分数：2.50）A
6、.B.C.D.25.已知 n 阶矩阵 A 每一行元素之和为 k，则 A 至少有一个特征值为_。An Bk C-k D0（分数：2.50）A.B.C.D.26. （分数：2.50）A.B.C.D.27.设 （分数：2.50）A.B.C.D.28.矩阵 A （分数：2.50）A.B.C.D.29. （分数：2.50）A.B.C.D.30.设 0是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)x=0 的基础解系为 1， 2，则 的属于 0的全部特征向量为_。A 1和 2 B 1或 2Cc 1 1+c2 2(c1，c 2全不为零) Dc 1 1+c2 2(c1，c 2不全为零)（分数：2.
7、50）A.B.C.D.31.n 阶矩阵 A 的行列式|A|=a0(n2)， 是 A 的一个的特征值，记 A*为 A 的伴随矩阵，则 A*的伴随矩阵(A *)*的一个特征值是_。A -1an-1 B -1an-2 Ca n-2 Da n-1（分数：2.50）A.B.C.D.32. （分数：2.50）A.B.C.D.33.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_。Aa5 Ba=-4Ca=-3 Da=-3 且 a-4（分数：2.50）A.B.C.D.34.设矩阵 （分数：2.5
8、0）A.B.C.D.35.矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D.36.已知 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值全为零，则下列结论正确的是_。A|A|=0 BA=0CA 不能与对角矩阵相似 DA 能与对角矩阵相似（分数：2.50）A.B.C.D.37.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是_。AQ=AB-BA BP=AT(B+B T)ACR=BAB DW=BA-2AR（分数：2.50）A.B.C.D.38.设 （分数：2.50）A.B.C.D.39.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D.40
9、.设矩阵 A 相似于 B，且 （分数：2.50）A.B.C.D.矩阵的特征值和特征向量答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：40，分数：100.00)1.设 （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 令 ，则矩阵 A 的三重特征值 =-1。因为特征值 =-1 对应两个线性无关的特征向量，所以 r(-1，E-A)=3-2=1，即2.设 A*是 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 矩阵 A 是上三角矩阵，其特征值即为对角线上的数值，即其特征值为 1，3 和 5。矩阵 A 的行列式|A|=135=15。伴随矩阵 A*=|A|A-1=15A-1，则
10、 A*A=15E。设矩阵 A 的特征向量为 x，则有Ax=x(=1，3，5)，两边同时左乘 A*得，A *Ax=15x=A *x，则 ，A *的特征值为3.矩阵 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 矩阵 B 已经是对角矩阵，故其特征值为 2，y 和-1。|E-A|=4.设 ，则 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由 A=， 为 的特征向量。将5.已知三阶矩阵 M 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，它们所对应的特征向量为 1=(1，0，0)T， 2=(0，2，0) T， 3=(0，0，1) T，则矩阵 M 是
11、_。ABCD （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 6.四阶矩阵 A 的元素均为 1，则 A 的特征值为_。A1，1，1，1 B1，0，0，0 C1，1，0，0 D4，0，0，0（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 7.设 x=(1，-1，2) T是矩阵 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 利用定义，设 Ax=x，即 ，则 ，则 ，进而得 ，解得故正确答案为 C。8.已知 A 是 n 阶可逆矩阵， 0是 A 的特征值，则 A-1的特征值为_。AB2 0 C 0 D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 用定义法，设矩阵 A 属于特征值 0的特征向量是
12、X0，则AX0= 0X0，X 00等式两边乘以 A-1，有 0A-1X0=X0，故按定义，9.已知 A2=A，则 A 的特征值为_。A1 B2 C1 或 2 D1 或 0（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 设 是 A 的任一特征值，X 是 所属的特征向量，按定义有AX=X两边同用矩阵 A 左乘，有 A2X=A(X)=AX= 2x利用已知条件 A2=A，有 A2X=AX=X，故 2X 一 X，故 ( 2-)X=0因为 X 是特征向量，按定义 X0，故有 2-=O故矩阵 A 的特征值只能是 0 或 1。故正确答案为 D。10.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 有一个特征值是_
13、。ABCD （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由 AX=2X 知 ，得又 ，故11.A 是三阶矩阵，A，A+E，E-2A 均不可逆，则矩阵 A 的三个特征值是_。A0，1，2 B0，-1，2 C0，-1， D0，-1， （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 按定义，若|E-A|=0，则 是 A 的特征值。因为矩阵 A，A+E，E-2A 均不可逆，故|0E-A|=(-1)3|A|=0|-E-A|=(-1)3|A+E|=0于是矩阵 A 的特征值为 0，-1，12.设 是矩阵 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 由 A= 0，有得 解得13.矩阵 （分数：2.50
14、）A.B.C.D. 解析：解析 由于 i=a ii，已知 1+ 2+ 3=0，故可排除选项 A、C，对于选项 B 和 D，因为14.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的属于特征值 的特征向量，那么矩阵(P -1AP)T属于特征值 的特征向量是_。A BP T CP -1 DP（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 AT=A，有(P -1AP)T=PTAT(PT)T=PTA(PT)-1，由于 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A=故(P -1AP)T(PT)=P TA(PT)-1PT=P TA=P T即 PT 是(P -1AP)T属于特征值 的特
15、征向量。故正确答案为 B。15.矩阵 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 易见|A|=0，0 必是 A 的特征值，可排除 D；由 i=a ii=5，可排除 C；对于选项 A 和 B可任选一个不同的特征值试算，由于知 =1 必是特征值。亦可求出|2E-A|=-40，知 =2 不是特征值。故正确答案为 A。16.设 x0是矩阵 A 的特征向量，那么不以 x0为特征向量的矩阵是_。AA-2E B3A CA T DA 2（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 对 Ax0=x 0，有(A-2E)x 0=Ax0-2Ex0=( 0-2)x0(3A)x0=3Ax0=3 0x0可知 A-2E
16、，3A，A 2的特征值分别是 0-2，3 0，17.设 x1、x 2是三阶矩阵 A 的属于特征值 1的两个线性无关的特征向量，x 3是 A 的属于特征值 2的特征向量，且 1 2，则_。Ak 1x1+k2x2是 A 的特征向量 Bk 1x1+k2x3是 A 的特征向量Cx 1+x2是 2A-E 的特征向量 Dx 2+x3是 2A-E 的特征向量（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由于(2A-E)(x 1+x2)=(2 1-1)(x1+x2)，故选项 C 正确。现说明选项 A、B、D 都不正确。只有当 k1与 k2不同时为零时，k 1x1+k2x2才是 A 的特征向量，因此选项 A
17、不正确；由于 1 2，即便kl、k2 不同时为零，由 A(k1x1+k2x3)=k1 1x1+k2 2x3(k 1x1+k2x3)，知选项 B 不正确；类似地，由(2A-E)(x2+x3)=(2 1-1)x2+(2 2-1)x3(x 2+x3)，知选项 D 不正确。故正确答案为 C。18.设 3 阶矩阵 A 满足|A-2E|=0，|2A+3E|=0，|3A-E|=0，则 A 的 3 个特征值是_。A-2，3，-1BCD （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由于|A-2E|=0，故 A 有特征值满足 1-2=0由于|2A+3E|=0，故 A 有特征值满足 2 2+3=0由于|3A-E
18、|=0，故 A 有特征值满足 3 3-1=0于是 1=2，19.已知 （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 20.向量 =1，1，-1 T是 3 阶矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由 A= 得此即21.已知向量 =1，1，2 T是矩阵 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 设 A-1=，则 ，故 也是 A 的特征向量，于是设 A=，比较上式两端得22.n 阶矩阵 A 满足 A3-2A2+A=0，则正确的结论是_。AA 的特征值至少有一个为 0BA 的特征值至少有两个为 1CA 的特征值为 0，1，1 及其他DA 的特征值只能是从 0，1 中取（分数：2
19、.50）A.B.C.D. 解析：解析 由题意知 A 的任何特征值 必满足 3-2 2+=0，知 =0，1，1，但究竟每一个特征值是几重根无法判断，故正确答案为 D。23.已知 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值全为零，则正确的结论是_。AA=0 Br(A)=0Cr(A)n-1(n2) D|A|=0（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 A 的 n 个特征值 1= 2= 0=0，故|A|= 1 2 n=0，因此选项 D 正确。取24. （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 属于特征值 =0 的线性无关特征向量应是方程组(0E-A)X=0 的基础解系中向量的个数，它应等于 3
20、-r(0E-A)=3-r(-A)=3-r(A)25.已知 n 阶矩阵 A 每一行元素之和为 k，则 A 至少有一个特征值为_。An Bk C-k D0（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 设且 ai1+ai2+ain=k(i=1，2，n)26. （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 A 的特征多项式|E-A|= 2(-1)特征值 1= 2=0， 3=1当 1= 2=0 时27.设 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 因为 则凡28.矩阵 A （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 A 的特征多项式A 的特征值 1= 2=1， 3=-5故 A 的最小特征值
21、为 =-5，它的特征向量可由特征矩阵求得。29. （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 因为，30.设 0是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)x=0 的基础解系为 1， 2，则 的属于 0的全部特征向量为_。A 1和 2 B 1或 2Cc 1 1+c2 2(c1，c 2全不为零) Dc 1 1+c2 2(c1，c 2不全为零)（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 因为 A 的属于 0的全部特征向量为方程组( 0E-A)x=0 的通解，即 c1 1+c2 2，且 c1，c 2应不全为 0。故正确答案为 D。31.n 阶矩阵 A 的行列式|A|=a0(n
22、2)， 是 A 的一个的特征值，记 A*为 A 的伴随矩阵，则 A*的伴随矩阵(A *)*的一个特征值是_。A -1an-1 B -1an-2 Ca n-2 Da n-1（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 因为 A*=|A|A-1故 (A *)*=|A*|(A*)-1=|A|A-1|(|A|A-1)-1=|A|n|A-1|(|A|-1A)=|A|n-2A=an-2A又 是 A 的一个特征值，故(A *)*=a n-2A=a n-2，即 a n-2是(A *)*的一个32. （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 33.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5
23、，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_。Aa5 Ba=-4Ca=-3 Da=-3 且 a-4（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 因为 1， 2， 3是 A 的属于三个不同特征值的特征向量，故它们必线性无关。即 r( 1， 2， 3)=3由34.设矩阵 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 设 B=P-1AP，则 r(B)=r(A)，即相似矩阵有相同的秩，现据已知，有 r(A)=2，r(B)=1，r(C)=1，故 A 不与 B 相似，A 也不与 C 相似。再看 B 与 C 是否相似，r(B)=r(C)只是
24、 B，C 相似的必要条件，还不足以判断 BC，现判断 B 与 C 是否都相似于同一对角矩阵。对于矩阵 B，|I-B|= 2(-1)=0，故 1=0(二重)， 2=1，而 1=0 时，r(0I-B)=r(B)=1，故 =0 可对应两个线性无关的特征向量，而 2=1 是一重特征值，它必有一个线性无关的特征向量，故 B 可对角化，且再看矩阵 C，|I-C|= 2(-1)=0，得 1=0(二重)， 2=1(一重)，而 r(0I-C)=r(C)=1，与 B 的讨论一样，C 也可对角化，且35.矩阵 （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 当 A 与 B 相似时，tr(A)=tr(B)，|A|=|
25、B|即 2+x+1=3+3y+1，36.已知 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值全为零，则下列结论正确的是_。A|A|=0 BA=0CA 不能与对角矩阵相似 DA 能与对角矩阵相似（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 由于 A 的 n 个特征值 1= 2= n=0，故|A|= 1 2 n=0，故正确答案为 A。37.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是_。AQ=AB-BA BP=AT(B+B T)ACR=BAB DW=BA-2AR（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 因为(BA-2AB) T=(BA)T-2(AB
26、)T=ATBT-2BTAT=-AB+2BA它不是对称矩阵，故它不一定能化成对角矩阵，当然就不一定能用正交变换化为对角矩阵了。故正确答案为 D。38.设 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 因为|E-A|=(-4) 3=0 1=4， 2= 3= 4=0AB A、B 有相同的特征值及重数且都能对角化，故 AB，又 AB39.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是_。ABCD （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 设四个选项中的矩阵依次为 A、B、C、D，则得 1=1， 2=2， 3=3，又因为它有三个不同的特征值，则必可对角化，故可排除 A；又得 1= 2=1， 3=2，B 是否可对角化取决于对 1= 2=1，方程组(E-B)X=0 的基础解系是否含两个解向量，由40.设矩阵 A 相似于 B，且 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 因为 A 相似于 B，则存在可逆矩阵 P，使 P-1BP=A故 A-2E=P-1BP-2P-1P=P-1(B-2E)P即矩阵(A-2E)相似于(B-2E)，同理(A-E)相似于(B-E)，又 r(B-2E)=3，秩(B-E)=1，且相似矩阵的秩相等，故 r(A-2E)+r(A-E)=3+1=4，故正确答案为 C。
