1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 19 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX0 与 BX0 同解的充分必要条件是 r(A)r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAEB3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.0
2、0）A.B.C.AD.A n-14.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 0， 3 1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 2 为 A 的一个特征值其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 3B.3 3 1C. 1 2 2 3 3D.2 1 3 2二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数
3、2.00）填空项 1:_7.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 3A * 2E 有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.求矩阵 A （分数：2.00）_12.设 A ， （分数：2.00）_13.设 A （分数：2.00）_14.设
4、 A （分数：2.00）_15.设 A T AE，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_16.设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A 2 2A3E 的特征值； (3)若A0，求 A -1 ，A * ，EA -1 的特征值（分数：2.00）_17.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_18. ， T （分数：2.00）_19.设向量 (a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a0，A T (1)求方程组 AX0 的通解； (2)
5、求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ， 向量 （分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_23.设 A，B 为 n 阶矩阵 (1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_24.设 为 n 维非零列向量，AE （分数：2.00）_25.设矩阵 A （分数：2.00）_
