1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 21 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.n 阶方阵 A 有 n 个互不相同特征值是 A 与对角矩阵相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要的条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件3.设 A、B 都是 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的一个充分条件是（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.A 与 B 有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， n ，且 1
2、， n 互不相同4.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 都相似5.与矩阵 D= 相似的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 1 =(1，0，-2) T 和 2 =(2，3，8) T 都是 A 的属于特征值 2 的特征向量，又向量 =(0，-3，-10) T ，则 A= 1.（分数：2.00）填空项 1:_7.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1
3、:_8.设向量 =(1，0，-1) T ，矩阵 A= T ，a 为常数，n 为正整数，则行列式aE-A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设可逆方阵 A 有一个特征值为 2，则( （分数：2.00）填空项 1:_10.设可逆方阵 A 有特征值 ，则(A * ) 2 +E 必有一个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：28，分数：56.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 为可逆方阵 A 的特征值，且 x 为对应的特征向量，证明：(1)0；(2) 为 A -1 的特征值，且 x 为对应的特征向量；(3) （分
4、数：2.00）_13.设 3 阶方阵 A 的特征值为 2，-1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 B=A 3 -2A 2 +4E，试求 B -1 的特征值与特征向量（分数：2.00）_14.已知向量 =(1，k，1) T 是 A= （分数：2.00）_15.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 1 = ， 2 ， 3 = ，又向量 = （分数：2.00）_16.设矩阵 A= （分数：2.00）_17.已知 = 是矩阵 A= （分数：2.00）_18.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的两个不同特征值，x 1 ，x 2 分别是
5、属于 1 ， 2 的特征向量证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_19.设 A= （分数：2.00）_20.设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为 1 =(1，-1，1) T ， 2 =(1，0，-1) T ， 3 =(1，2，-4) T ，求 A 100 （分数：2.00）_21.设 3 阶矩阵 A 与对角阵 D= （分数：2.00）_22.设矩阵 A= （分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.已知矩阵 A= （分数：2.00）_25.下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么? （分数：2.00）_26.设 n 阶矩阵 A0
6、，存在某正整数 m，使 A m =O，证明：A 必不相似于对角矩阵（分数：2.00）_27.设 A 为 3 阶矩阵，3 维列向量 ，A，A 2 线性无关，且满足 3A-2A 2 -A 3 =0，令矩阵P=，A，A 2 ， (1)求矩阵 B，使 AP=PB； (2)证明 A 相似于对角矩阵（分数：2.00）_28.设 A 为 3 阶矩阵，A=6，A+E=A-2E=A+3E=0，试判断矩阵(2A) * 是否相似于对角矩阵，其中(2A) * 是(2A)的伴随矩阵（分数：2.00）_29.设 A、B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A-B，A 有 n 个互不相同的特征值 1 ， 2 ， n ，证明： (1
7、) i -1(i=1，2，n)； (2)AB=BA； (3)A 的特征向量都是 B 的特征向量； (4)B 可相似对角化（分数：2.00）_30.设 A= （分数：2.00）_31.设矩阵 A= （分数：2.00）_32.设矩阵 A= （分数：2.00）_33.设矩阵 A= 可逆，向量 = （分数：2.00）_34.设 =(a 1 ， 2 ，a n ) T 是 R n 中的非零向量，方阵 A= T (1)证明：对正整数 m存在常数 t使 A m =t m-1 A，并求出 t；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P -1 AP=A 为对角矩阵（分数：2.00）_35.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）
8、_36.设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_37.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ， 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B； ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P，
9、使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_38.设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解，求出矩阵 A 及(A- （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 21 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.n 阶方阵 A 有 n 个互不相同特征值是 A 与对角矩阵相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非
10、必要的条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：当 A nn 有 n 个互不相同特征值时A 必相似于对角矩阵，但与对角矩阵相似的矩阵也可能存在重特征值例如单位矩阵 E n 的特征值为 1 = 2 = n =1，而对任何 n 阶可逆方阵 P，有 P 4 EP=E 为对角矩阵所以(B)正确3.设 A、B 都是 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的一个充分条件是（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.A 与 B 有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， n ，且 1 ， n 互不相同 解析：解析：当 N 阶方阵有 N 个互不相同特征值时，它必相似于对角矩阵
11、故在选项(D)的条件下存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P -1 AP=D，Q -1 BQ=D，其中 D=diag( 1 ， 2 ， n )为对角矩阵故有 P -1 AP=Q -1 BQ， 4.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 都相似 解析：解析：当 A 与 B 相似时，有可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，故 P -1 (tE-A)P=P -1 tEP-P -1 AP=tE-B，即 tE-A 与 tE-B 相似，故选项(D)正确实际上
12、，若 A 与 B 相似，则对任何多项式 f，f(A)与 f(B)必相似5.与矩阵 D= 相似的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：A 与对角矩阵 D 相似 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 1 =(1，0，-2) T 和 2 =(2，3，8) T 都是 A 的属于特征值 2 的特征向量，又向量 =(0，-3，-10) T ，则 A= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，-6，-20) T）解析：解析：因 =2 1 - 2 ，故 也是 A 的属于特征值 2 的特征向量，所以，A=2=(0，-6，-20) T 7.设 4 阶矩阵 A
13、 与 B 相似，A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：解析：B 的特征值为 8.设向量 =(1，0，-1) T ，矩阵 A= T ，a 为常数，n 为正整数，则行列式aE-A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 (a-2 n )）解析：解析：A n =( T )( T )( T )=( T )( T ) T =2 n-1 T = ，aE-A n = 9.设可逆方阵 A 有一个特征值为 2，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： A 2 有特征值 有特征值 10.设可逆方阵
14、 A 有特征值 ，则(A * ) 2 +E 必有一个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： +1，A * 有特征值 ，故(A * ) 2 +E 有特征值 三、解答题(总题数：28，分数：56.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 为可逆方阵 A 的特征值，且 x 为对应的特征向量，证明：(1)0；(2) 为 A -1 的特征值，且 x 为对应的特征向量；(3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 =0，则有0E-A=0，即(-1) n A=0， A=0，这与 A 可逆矛盾，故必有 0
15、；由 Ax=x 两端右乘 A -1 ，得 A -1 x=x，两端同乘 ，得 A -1 x= x，故 为 A -1 的一个特征值，且 c 为对应的特征向量；因 A -1 =AA * ，代入 A * x= x，得 A * x= )解析：13.设 3 阶方阵 A 的特征值为 2，-1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 B=A 3 -2A 2 +4E，试求 B -1 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=f(A)，其中 f(x)=x 3 -2x 2 +4由 A 1 =2 1 ，两端左乘 A，得 A 2 1 =2A 1 ，将 A 1 =2 1 代入，得 A 2
16、 1 =2 2 1 =4 1 ，类似可得 A 2 1 =2 3 1 =8 1 ， B 1 =(A 3 -2A 2 +4E) 1 =A 3 1 -2A 2 1 +4 1 =2 3 1 -2.2 2 1 +4 1 =(2 3 -2.2 2 +4) 1 =f(2) 1 =4 1 ，类似可得 B 2 =f(-1) 2 = 2 ，B 3 =f(0) 3 =4 3 ，所以，B 的特征值为 4，1，4，对应特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以矩阵 P= 1 ， 2 ， 3 可逆，且有 P -1 BP= 为对角矩阵，两端取逆矩阵，得 P -1 B -1 P= ，由此知
17、B -1 的特征值为 )解析：14.已知向量 =(1，k，1) T 是 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 A * =，两端左乘 A，并利用 AA * =AE=4E，得 A=4，即 ，对比两端对应分量得 )解析：15.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 1 = ， 2 ， 3 = ，又向量 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，得线性方程组 ，解此方程组得x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，故 =2 1 -2 2 + 3 (2)A n =A n (2 1
18、-2 2 + 3 )=2A n 1 -2A n 2 +A n 3 ， 由于 A i = i i ，A n i = i n i n i ，i=1，2，3 故 A n =2 1 n 1 -2 2 n 2 + 3 n 3 )解析：16.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 A * = 0 ，两端左乘 A并利用 AA * =AE=-E，得-= 0 A， 即 由此解得 0 =1，b=-3，a=c再由A=-1 和 a=c，有 =a-3=-1， )解析：17.已知 = 是矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由(E-A)= =0 即 ，解得 a=-3，b=0，=
19、-1 (2)A= 的特征值为 1 = 2 = 3 =-1，但矩阵-E-A= )解析：18.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的两个不同特征值，x 1 ，x 2 分别是属于 1 ， 2 的特征向量证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法：若 x 1 +x 2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量则有 A(x 1 +x 2 )= 0 (x 1 +x 2 )，即 Ax 1 +Ax 2 = 0 x 1 + 0 x 2 ，因 Ax i =A i x i (i=1，2)，得( 1 - 0 )x 1 +( 2 - 0 )x 2 =0，由于属于不同特征值
20、的特征向量 x 1 与 x 2 线性无关，得 1 - 0 =0= 2 ， 0 ， )解析：19.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-1，由题设条件 A 有 3 个线性无关特征向量，知 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的线性无关特征向量有 2 个 齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3-r(E-A)=2 r(E-A)= )解析：20.设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为 1 =(1，-1，1) T ， 2 =(1，0，-1) T ， 3 =(1，2，-4) T ，求 A 100 （分
21、数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 A 相似于对角阵，令 P= 1 ， 2 ， 3 ，则有 P -1 AP= )解析：21.设 3 阶矩阵 A 与对角阵 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知，存在可逆矩阵 P，使 A= P -1 ，故 同理有 )解析：22.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由条件有E-A=E-B，即 (-2) 2 -(3+a)+3a-3=(-a) 2 (-6) 得 a=5，b=6亦可直接利用特征值的性质，得 ，解得 a=5，b=6 (2) )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答
22、案：(正确答案：由E-A= =(+1) 2 (-1)=0，得 A 的全部特征值为 1 = 2 =-1， 3 =1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1 = 2 =-1 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(-E-A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3-r(-E-A)=2 =0当 k=0 时，可求出 A 的对应于特征值-1，-1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(-1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ， 3 =(1，0，1) T ，故令 P= 1 ， 2 ， 3 = )解析：24.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(2E-A)=1， x
23、=2，y=-2；A 的特征值为 2，2，6 P= ，P -1 AP= )解析：25.下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)是，因该方阵的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 互不相同； (2)因 A 的特征值为 1 = 2 = 3 = 4 =1，但 r(E-A)=2， )解析：26.设 n 阶矩阵 A0，存在某正整数 m，使 A m =O，证明：A 必不相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可用反证法：设 为 A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则有 Ax=x， A 2 x=Ax= 2 x， )解析：27.设 A 为 3
24、 阶矩阵，3 维列向量 ，A，A 2 线性无关，且满足 3A-2A 2 -A 3 =0，令矩阵P=，A，A 2 ， (1)求矩阵 B，使 AP=PB； (2)证明 A 相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)AP=A，A，A 2 =A，A 2 ，A 3 =A，A 2 ，3A-2A 2 =，A，A 2 =PB，其中 B= )解析：28.设 A 为 3 阶矩阵，A=6，A+E=A-2E=A+3E=0，试判断矩阵(2A) * 是否相似于对角矩阵，其中(2A) * 是(2A)的伴随矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件有，-E-A=(-1) 3 E+A=0，2E-A
25、=(-1) 3 -2E+A=0，-3E-A=(-1) 3 3E+A=0， A 有特征值-1，2，-3，从而是 A 的全部特征值，A -1 的全部特征值为 而(2A) * =2A(2A) -1 =2 3 A A -1 =24A -1 ， )解析：29.设 A、B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A-B，A 有 n 个互不相同的特征值 1 ， 2 ， n ，证明： (1) i -1(i=1，2，n)； (2)AB=BA； (3)A 的特征向量都是 B 的特征向量； (4)B 可相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)即证-E-A0，或E+A0 或 E+A 可逆，这可由 AB=A-B
26、(A+E)(E-B)=E， A+E 可逆，且(A+E) -1 =E-B (2)由(1)的(A+E) -1 =E-B， (A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)，即 A-AB+E-B=A+E-BA-B， )解析：30.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=-2，Q= ，Q -1 AQ=Q -1 AQ= )解析：31.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7，A 的对应于特征值 1 的线性无关特征向量可取为 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T ；对应于特征值 7 的特征向量可取为 3 =(1，1
27、，1) T 由 A 的特征值得 A * 的特征值为 7，7，1， B 的特征值为 7，7，1， )解析：32.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 + 2 + 3 =a+2+(-2)=1， 1 2 3 =A=2(-2a-b 2 )=-12，解得 a=1，b=2 P= ，可使 P -1 AP= )解析：33.设矩阵 A= 可逆，向量 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 可逆知 A * 可逆，于是有 0，A0由题设，有 A * =，两端左乘 A 并利用 AA * =AE，得A=A，或 A= ，解得 a=2，b=1 或 b=-2，将 a=2 代人矩阵 A
28、得A=4，于是得 )解析：34.设 =(a 1 ， 2 ，a n ) T 是 R n 中的非零向量，方阵 A= T (1)证明：对正整数 m存在常数 t使 A m =t m-1 A，并求出 t；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P -1 AP=A 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A m =( T )( T )( T )=( T ) m-1 T =( T ) m-1 ( T )=( a i 2 ) m-1 A=t m-1 A，其中 t= a i 2 (2)AO， 秩(A)=秩( T )秩()=1， 秩(A)=1，因实对称矩阵 A 的非零特征值的个数等于它的秩，故 A 只有一
29、个非零特征值，而有 n-1 重特征值 1 = 2 = n-1 =0设 a 1 0，由 0E-AA= ，得属于特征值 0 的特征值可取为： 1 = 由特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 0+0+0+ n = a 1 2 ，得 n = a i 2 = T ，由 A=( T )=( T )= n = n 及 0，得与 n 对应特征向量为 ，令 P= 1 ， 2 ， n-1 ，则有 P -1 AP=diag(0，0，0， )解析：35.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)1当 b0 时， E-A= =-1-(n-1)b-(1-b) n-1 故 A的特征值为 1 =1
30、+(n-1)n， 2 = n =1-b 对于 1 =1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为 1 ，则 1 =1+(n-1)b 1 解得 1 =(1，1，1) T ，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1 =k(1，1，1) T ，其中 k 为任意非零常数 对于 2 = n =1-b，解齐次线性方程组(1-b)E-Ax=0，由 )解析：36.设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的
