1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 3及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶矩阵 A的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE是不可逆矩阵。B.矩阵 A+E和对角矩阵相似。C.矩阵 A属于 1与一 1的特征向量相互正交。D.方程组 Ax=0的基础解系由一个向量构成。3.设 A为 n阶可逆矩阵，A 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. 一 1
2、A n 。B. 一 1 A。C.A。D.A n 。4.已知 A是四阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AE。B.2AE。C.A+2E。D.A一 4E。5.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T 。B.A 2 。C.A 一 1 。D.A一 E。6.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 A是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A的二重特征值。B.至少是 A的二重特征值。C.至多是
3、 A的二重特征值。D.一重、二重、三重特征值都有可能。8.三阶矩阵 A的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足，不能确定。9.已知 1 =(一 1，1，a，4) T ， 2 =(一 2，1，5，a) T ， 3 =(a，2，10，1) T 是四阶方阵 A的三个不同特征值对应的特征向量，则( )（分数：2.00）A.a5。B.a一 4。C.a一 3。D.a一 3且 a一 4。10.设 1 ， 2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件
4、是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。C. 1 =0。D. 2 =0。11.已知 =(1，一 2，3) T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6。B.a=2，b=一 6。C.a=2，b=6。D.a=一 2，b=一 6。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 =12 是 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 （分数：2.00
5、）填空项 1:_19.已知 =(1，3，2) T ，=(1，一 1，一 2) T ，A=E 一 T ，则 A的最大的特征值为 1.（分数：2.00）填空项 1:_20.设 =(1，一 1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A的特征值，则矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 x为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.n阶矩阵 （分数：2.00）_设向量
6、 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0。记 n阶矩阵 A= T 。（分数：4.00）(1).求 A 2 ；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A的特征值和特征向量。（分数：2.00）_24.设矩阵 （分数：2.00）_25.设矩阵 （分数：2.00）_26.已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_27.设 A为正交矩阵，且A=一 1，证明：=一 1是 A的特征值。（分数
7、：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).求参数 a，b 及特征向量 P，所对应的特征值；（分数：2.00）_(2).问 A能不能相似对角化?并说明理由。（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 3答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三阶矩阵 A的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE是不可逆矩阵。B.矩阵 A+E和对角矩阵相似。C.矩阵 A属于 1与一 1的特征向量相互
8、正交。 D.方程组 Ax=0的基础解系由一个向量构成。解析：解析：因为矩阵 A的特征值是 0，1，一 1，所以矩阵 AE的特征值是一 1，0，一 2。由于 =0 是矩阵 AE的特征值，所以 A一 E不可逆。故选 A。因为矩阵 A+E的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E有三个不同的特征值，所以 A+E可以相似对角化。(或由 AAA+EA+E 而知 A+E可相似对角化)。由矩阵 A有一个特征值等于 0可知 r(A)=2，所以齐次线性方程组 Ax=0的基础解系由 nr(A)=32=1个解向量构成。选项 C的错误在于，若 A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n阶矩阵，不同特征值的特
9、征向量仅仅线性无关并不一定正交。3.设 A为 n阶可逆矩阵，A 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. 一 1 A n 。B. 一 1 A。 C.A。D.A n 。解析：解析：设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A * ，结合 A * A=AE得 A * Ax=A * (Ax)，即 Ax=AA * x，从而 可见 A * 有特征值 4.已知 A是四阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AE。B.2AE。C.A+2E。 D.A一 4E。
10、解析：解析：因为 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，所以A * =一 8，又A=A * 4-1 ，因此A 3 =一 8，于是A=一 2。那么，矩阵 A的特征值是：一 2，2，一 1， 。因此，AE 的特征值是一 3，1，一 2， 5.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T 。 B.A 2 。C.A 一 1 。D.A一 E。解析：解析：由于AEA T =(EA)=E 一 A，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以 A与 A T 有相同的特征值。由 A=，0 可得到 A 2 = 2 , 一 1 = 一 1 ，(AE)=( 一 1)，说明
11、A 2 、A 一 1 、AE 与 A的特征值是不一样的(但 A的特征向量也是它们的特征向量)。所以应选A。6.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 为 A的非零特征值，所以 2 为 A 2 的特征值， 为(A 2 ) -1 的特征值。因此 的特征值为 7.已知 A是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A的二重特征值。B.至少是 A的二重特征值。 C.至多是 A的二重特征值。D.一重、二重、三重特征值都有可能。解析：解析：A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。R(A)=1，即 r(
12、OEA)=1，(OE 一 A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故 =0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如8.三阶矩阵 A的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足，不能确定。 解析：解析：考查下列矩阵9.已知 1 =(一 1，1，a，4) T ， 2 =(一 2，1，5，a) T ， 3 =(a，2，10，1) T 是四阶方阵 A的三个不同特征值对应的特征向量，则( )（分数：2.00）A.a5。 B.a一 4。C.a一 3。D.a一 3且 a一 4。解析：解析：矩阵 A的不同特征值对应
13、的特征向量必线性无关，所以 r( 1 , 2 , 3 )=3。由于 10.设 1 ， 2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。 C. 1 =0。D. 2 =0。解析：解析：令 k 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，则(k 1 +k 2 1 ) 1 +k 2 2 2 =0。 因为 1 , 2 线性无关，所以 k 1 +k 2 1 =0，且 k 2 2 =0。 当 2 0 时，显然有 k 1 0，k 2 =0，此时 1 ，A( 1 + 2 )线性无关；反过来
14、，若 1 ，A( 1 + 2 ) 线性无关，则必然有 2 0(否则， 1 与 A( 1 + 2 )= 1 1 线性相关)，故应选 B。11.已知 =(1，一 2，3) T 是矩阵 （分数：2.00）A.a=一 2，b=6。 B.a=2，b=一 6。C.a=2，b=6。D.a=一 2，b=一 6。解析：解析：设 是矩阵 A属于特征值人的特征向量，按定义有 即有二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 或*）解析：解析： 如果 =2 是二重根，则 A=2是 2 2 一 2(a一 2)=0的单根，故 a=2。如果 2 一 2 一
15、 2(a2)=0是完全平方，则有=4+8(a 一 2)=0，满足 =1 是一个二重根，此时 13.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：矩阵 A的特征多项式为14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1；2 或一 2； 2 = 3 =2）解析：解析：由题意可得A=一 4a2b 2 =一 12，所以 2a+b 2 =6。又 A的特征多项式为 15.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1；2，2）解析：解析：因 A有一个零特征值，所以A=2(a1)=0，即 a=1。A 的特征多项式为16.已知 =12
16、是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 =12 是 A的特征值，因此12EA=0，即17.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+(一 1)=3，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：由矩阵 A的特征多项式 可得矩阵 A的特征值为 7，1，1。所以A=711=7。如果 A=，则有 19.已知 =(1，3，2) T ，=(1，一
17、1，一 2) T ，A=E 一 T ，则 A的最大的特征值为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是 T 的特征值为 0，0，tr( T )，其中 tr( T )= T =一 6。所以 A=E一 T 的特征值为 1，1，7，则 A的最大的特征值为 7。20.设 =(1，一 1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A的特征值，则矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，一 1，1) T ，k0）
18、解析：解析：令 B= T ，则矩阵 B的秩是 1，且 T =a+1，由此可知矩阵 B的特征值为a+1，0，0。那么 A=E+B的特征值为 a+2，1，1。因为 A=3是矩阵 A的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是=( T )=( T )=2，即 =(1，一 1，1) T 是矩阵 B属于特征值 =2 的特征向量，也是矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量。21.设 x为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵 xx T 的特征值为 0，0，1，故 E一 xx T 的特征值为 1
19、，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E一 xx T )=2。三、解答题(总题数：8，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.n阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A的特征多项式为 则 A的特征值为 1+(n一 1)b和 1一 b(n一 1重)。 当 b=0时，A 的特征值是 1(n重)，任意 n维非零列向量均为 A的特征向量。 当 b0 时，对方程组(1+n一 1)bEAx=0的系数矩阵作初等行变换得 解得上述方程组的基础解系为 1 =(1，1，1，1) T ,所以 A的属于 =1+
20、(n 一 1)n的全部特征向量为 k 1 =k(1，1，1，1) T ，其中 k0。对方程组(1 一 b)EAx=0的系数矩阵作初等行变换得 )解析：设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0。记 n阶矩阵 A= T 。（分数：4.00）(1).求 A 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 T =0 可知 与 正交，则 A 2 =( T )( T )=( T ) T =O。)解析：(2).求矩阵 A的特征值和特征向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 A的特征值，则 2 为 A 2
21、的特征值。因 A 2 =O，所以 A 2 的特征值全为零，故 =0，即 A的特征值全为零，于是方程组 Ax=0的非零解就是 A的特征向量。不妨设 a 1 0，b 1 0，对 A作初等行变换得 )解析：24.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于A=70，所以 0。又因 A * A=AE，故有 于是有 因此， 为 B+2E的特征值，对应的特征向量为 P 一 1 。 故 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7。当 1 = 2 =1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 当 3 =7时，对应的一个特征向量可取为 由 因此，B+2E
22、 的三个特征值分别为 9，9，3。对应于特征值 9的全部特征向量为 k 1 P -1 1 +k 2 P -1 2 = 其中 k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3的全部特征向量为 k 3 P -1 3 = )解析：25.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =AE=一 E。对于 A * = 0 ，用 A左乘等式两端，得 )解析：26.已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2
23、 + 3 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，则 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 )。又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是有( 1 ) 1 +( 2 ) 2 +( 3 ) 3 =0。因为 1 , 2 , 3 线性无关，故 1 =0， 一 2 =0， 3 =0，即 1 = 2 = 3 。)解析：27.设 A为正交矩阵，且A=一 1，证明：=一 1是 A的特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 =一 1是 A的特征值，需证A+E=0。因为A+E=A+A T A=(E+A T )A=E+A T A=一A+E，所以A+E=0，故 =一 1是 A的特征值。)解析：已知 （分数：4.00）(1).求参数 a，b 及特征向量 P，所对应的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是特征向量 p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A 一 E)p=0，即从而有方程组 )解析：(2).问 A能不能相似对角化?并说明理由。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式 得 A的特征值为 =一 1(三重)。若 A能相似对角化，则特征值 =一 1有三个线性无关的特征向量，而 )解析：
