1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 2及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A为 n阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A的秩与矩阵 A的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A与矩阵 B相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则 A经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A可对角化，则 A的秩与其非零特征值的个数相等4.设 A，B 为 n阶可逆矩阵
2、，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设二维非零向量 不是二阶方阵 A的特征向量（分数：4.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：2.00）_(2).若 A 2 +A-6=0，求 A的特征值，讨论 A可否对角化；
3、（分数：2.00）_设 A是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2（分数：4.00）(1).求矩阵 A的特征值；（分数：2.00）_(2).判断矩阵 A可否对角化（分数：2.00）_设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_(2).存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP同时为对角矩阵（分数：2.00）_8.若 A可逆且 AB，证明：A * B * ；（分数：2.0
4、0）_9.若 Ab，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_10.设 A= （分数：2.00）_设方程组 有无穷多个解， 1 = （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_(2).求A * +3E（分数：2.00）_设 A为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2是 A的特征值，对应特征向量为(-1，9，1) T （分数：4.00）(1).求 A的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求 A（分数：2.00）_11.设 A= （分数：2.00）_12.设 A，B 为 n阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共
5、的特征向量（分数：2.00）_设 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_(2).求 A的特征值与特征向量（分数：2.00）_13.设 A为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k 1 （分数：2.00）_14.A= （分数：2.00）_15.设 A= （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 2答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数
6、：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值；所以 A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A相同且可以对角化，所以选(D)3.设 A为 n阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A的秩与矩阵 A的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A与矩阵 B相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则 A经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A可对角化，则 A的秩与其非零
7、特征值的个数相等 解析：解析：(A)不对，如 A= ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如 A= ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 因为 A可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP= ，于是 r(A)= 4.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即
8、存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由E-A= 6.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由E-A=0 得 A的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =6因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 A可以对角化，从而 r(6E-A)=1，解得 a=0三、解答题(总题数：15，分数：40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设二维非零向量 不是二阶方阵 A的特征向量（分数：4.00）(1).证明
9、 ，A 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 A=0，可设 k 2 0，所以 A= )解析：(2).若 A 2 +A-6=0，求 A的特征值，讨论 A可否对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +A-6=0，得(A 2 +A-6E)=0， 因为 0，所以 r(A 2 +A-6E)2，从而A 2 +A-6E=0，即 3E+A.2E-A=0，则3E+A=0 或2E-A=0 若3E+A0，则 3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)=0，得 (2E-A)=0，即 A=2，矛盾； 若
10、2E-A0，则 2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=-3，矛盾，所以有3E+A=0 且2E-A=0，于是二阶矩阵 A有两个特征值-3，2，故 A可对角化)解析：设 A是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2（分数：4.00）(1).求矩阵 A的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0，由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，得 A的一个特征值 1 =2；
11、又由 A( 1 - 2 )=-( 1 - 2 )，A( 2 - 3 )=- ( 2 - 3 )，得 A的另一个特征值为 2 =-1.因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 - 2 与 2 - 3 也线性无关，所以 2 =-1为矩阵 A的二重特征值，即 A的特征值为2，-1，-1)解析：(2).判断矩阵 A可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 - 2 ， 2 - 3 为属于二重特征值一 1的两个线性无关的特征向量，所以 A一定可以对角化)解析：设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).
12、AB=BA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=A-B得 A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E， 即 E-B与 E+A互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)， 故 AB=BA)解析：(2).存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A可以对角化，设 A的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，BA( 1 ， 2 ， 3
13、 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 ) diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i =AB i ，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有B i = i i ； 若 B i =0，则 i 是 B的属于特征值 0的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B的特征向量，因此，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP，P -1 BP同为对角阵)解析：8.若 A可逆且 AB，证明：A * B * ；（分数：2.0
14、0）_正确答案：(正确答案：因为 A可逆且 AB 所以 B可逆，A，B 的特征值相同且A=B 因为AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B， 而 A * =AA -1 ，B * =BB -1 ， 于是由 P -1 AP=B，得(P -1 AP) -1 =B -1 ，即 P -1 A -1 P=B -1 ， 故 P -1 AA -1 P=AB -1 或 P -1 A * P=B * ，于是 A * B * )解析：9.若 Ab，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=B，即 AP=PB， 于
15、是 AP=PBPP -1 =P(BP)P -1 ，故 APBP)解析：10.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =0，得 1 = 2 =1， 3 =2E-A= 因为矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 A一定可对角化，从而 r(E-A)=1，即 a=1，故 A= 由 =1 时，由(E-A)X=0，得 3 = 由 =2 时，由(2E-A)X=0，得 3 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= ，两边 n次幂得 P -1 A n P= 从而 A n )解析：设方程组 有无穷多个解， 1 = （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
16、因为方程组有无穷多个解，所以 D= =a 2 -2a+1=0，解得 a=1 令 P( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：(2).求A * +3E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=2，A * 对应的特征值为 )解析：设 A为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2是 A的特征值，对应特征向量为(-1，9，1) T （分数：4.00）(1).求 A的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A有特征值 2 =5，对应的特征向量为 又因为 AX=0有非零解，所以 r(A)3，从而 A有特征值
17、 0，设特征值 0对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0对应的特征向量为 )解析：(2).求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P= )解析：11.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A=B，即 ，解得 a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当 =1 时，由(E-A)X=0，得 1 = 当 =0 时，由(0E-A)X=0，得 2 = 当 =6 时，由(6E-A)X=0，得 3 = )解析：12.设 A，B 为 n阶矩阵，且 r(A)
18、+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值， A的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0的非零解， 因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 )解析：设 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(
19、正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，则 xA+xA+xA=0= x 1 2 +x 2 3 +x n-1 n =0x 1 A 2 +x 2 A 3 +x n-1 A n =0 )解析：(2).求 A的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) ，令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 P -1 AP= =B，则 A与 B相似，由E-B=0 )解析：13.设 A为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A的每行元素之和为 5，所以有
20、 A ，即 A有一个特征值为 1 =5，其对应的特征向量为 1 = ，A 1 =5 1 又 AX=0的通解为 k 1 2 = 3 =0，其对应的特征向量为 2 = ，A 2 =0，A 3 =0 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =-1，x 3 =-2， 则 A=8A 1 -A 2 -2A 3 =8A 1 = )解析：14.A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-B=0，得 1 =-1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2 由 tr(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由A=b=
21、 1 2 3 =-2，得 b=-2，即 A= 由(-E-A)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(E-A)X=0，得 2 =(-2，1，1) T ； 由(2E-A)X=0，得 3 =(-2，1，0) T ， 令 P 1 = 由(-E-B)X=0，得 1 =(-1，0，1) T ； 由(E-B)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2E-B)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 令 P 2 = )解析：15.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A= =(+a-1)(-a)(-a-1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1 =1-a， 2 =a， 3 =1+a (1)当 1-aa，1-a1+a，a1+a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A有三个不同的特征值，所以 A一定可以对角化 1 =1-a时，由(1-a)E-AX=0 得 1 = ； 2 =a时，由(aE-A)X=0 得 2 = ； 3 =1+a时，由(1+a)E-AX=0 得 3 = (2)当 a=0时， 1 = 3 =1，因为 r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A不可以对角化 (3)当 a= )解析：
