1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 2及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P( 1 ，2 3 ， 2 )，则 P -1 AP( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.已知 P -1 AP （分数：2.00）A.( 1 ， 2 ， 3 )B.( 1 ， 2 3 ， 2 2 3 )C.( 1 ， 3 ， 2 )D.( 1 2 ， 1 2 ， 3 )4.设 A
2、为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. -1 A nB. -1 AC.AD.A n5.已知 A是 3阶矩阵，r(A)1，则 0( )（分数：2.00）A.必是 A的二重特征值B.至少是 A的二重特征值C.至多是 A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能6.设 2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.7.3阶矩阵 A的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)0B.秩 r(A)1C.秩 r(A)2D.条件不足，不能确定8.设 n阶矩阵 A与 B相似，E 为 n阶单位
3、矩阵，则( )（分数：2.00）A.EAEBB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A和 B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似9.n阶矩阵 A和 B具有相同的特征值是 A和 B相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0和 1对应的特征向量分别为 1 (1，2，1) T ， 2 (1，一 1，1) T ，则特征值 2对应的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A为 2阶
4、矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2维列向量，A 1 0，A 2 2 1 2 ，则 A的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 n阶可逆矩阵 A的一个特征值是3，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 3维列向量 ， 满足 T 2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 (1，1，a) T 是 A （分数：2.00）填空项 1:_15.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤。（分数：2.00）_18.已知 A是 3阶实对称矩阵，满足 A 4 2A 3 A 2 2AO，且秩 r(A)2，求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(AE)（分数：2.00）_19.设 A是 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且 A 1 1 2 3 3 ，A 2 4 1 3 2 5 3 ，A 3 0 求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_20.设 A是 n阶矩阵，AEy T ， 与 y都是 n1矩阵，且 y T 2，求 A的特征值、特征向量（分数：2.00）_21.设矩阵 A （分数：2.00）_22.已知 A （分数：2.00）_23.已知矩阵 A与
6、B相似，其中 （分数：2.00）_24.设矩阵 A （分数：2.00）_25.已知 A （分数：2.00）_26.已知 A （分数：2.00）_27.设矩阵 A 可逆，向量 （分数：2.00）_考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 2答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是三阶矩阵，其特征值是 1，3，2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P( 1 ，2 3 ， 2 )，则 P -1 AP( )（分数：2.00）A. B.C
7、.D.解析：解析：由 A 2 3 2 ，有 A( 2 )3( 2 )，即当 2 是矩阵 A属于特征值 3 的特征向量时， 2 仍是矩阵 A属于特征值 3 的特征向量同理，2 3 仍是矩阵 A属于特征值2 的特征向量 当 P -1 AP时，P 由 A的特征向量所构成，由 A的特征值所构成，且 P与的位置是对应一致的，已知矩阵 A的特征值是 1，3，2，故对角矩阵应当由 1，3，2 构成，因此排除选项 B、C由于 2 3 是属于 2 的特征向量，所以2 在对角矩阵中应当是第 2列，所以应选A3.已知 P -1 AP （分数：2.00）A.( 1 ， 2 ， 3 )B.( 1 ， 2 3 ， 2 2
8、 3 )C.( 1 ， 3 ， 2 )D.( 1 2 ， 1 2 ， 3 ) 解析：解析：若 P -1 AP 4.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则 A的伴随矩阵 A * 的特征值之一是( )（分数：2.00）A. -1 A nB. -1 A C.AD.A n解析：解析：设向量 (0)是与 对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 A 上式两边左乘 A * ，并考虑到 A * AAE 得 A * AA * () 即AA * ， 从而 A * ，(因 0) 可见 A * 有特征值 5.已知 A是 3阶矩阵，r(A)1，则 0( )（分数：2.00）A.必是 A的二重特征值B.至
9、少是 A的二重特征值 C.至多是 A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能解析：解析：A 的对应 的线性无关特征向量的个数特征值的重数r(A 33 )1，即 r(OEA)1，(OEA)0 必有两个线性无关特征向量故 0 的重数2至少是二重特征值，也可能是三重例如 A 6.设 2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 A为 A的非零特征值，所以 2 为 A 2 的特征值， 为(A 2 ) -1 的特征值因此 的特征值为 3 7.3阶矩阵 A的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)0B.秩 r(A)1C.秩 r(A
10、)2D.条件不足，不能确定 解析：解析：本题考查下列矩阵8.设 n阶矩阵 A与 B相似，E 为 n阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.EAEBB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A和 B都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似 解析：解析：因为由 A与 B相似不能推得 AB，所以选项 A不正确 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B也不正确 对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C也不正确 综上可知选项 D正确事实上，因 A与 B相似，故存在可逆矩阵 P，使 P -1 APB 于
11、是 P -1 (tEA)PtEP -1 APtEB 可见对任意常数 t，矩阵tEA 与 tEB 相似所以应选 D9.n阶矩阵 A和 B具有相同的特征值是 A和 B相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件 C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P -1 APB，故 EBEP -1 APP -1 (EA)P P -1 EAPEA， 即 A与 B有相同的特征值 但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B不一定相似，例如 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特
12、征值 0和 1对应的特征向量分别为 1 (1，2，1) T ， 2 (1，一 1，1) T ，则特征值 2对应的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(1，0，1) T ，t0）解析：解析：设所求的特征向量为 ( 1 ， 2 ， 3 )，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有 11.设 A为 2阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的 2维列向量，A 1 0，A 2 2 1 2 ，则 A的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得 A( 1 ， 2 )(A 1 ，A 2 )(0，2 1
13、2 )( 1 ， 2 ) 记 P( 1 ， 2 )，因 1 ， 2 线性无关，故 P( 1 ， 2 )是可逆矩阵因此APP ，从而 P -1 AP 记 B ，则 A与 B从而有相同的特征值 因为 B 12.设 n阶可逆矩阵 A的一个特征值是3，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据矩阵特征值的特点，A 有特征值3，所以 A 2 有特征值 (3) 2 3，故 有特征值 13.若 3维列向量 ， 满足 T 2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 T 2，所以
14、T ( T )2，故 T 的非零特征值为 214.设 (1，1，a) T 是 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：口 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * 0 ，该等式两端同时左乘 A，即得 AA * A 0 A，即 展开成方程组的形式为 15.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此 a3(1) i 3，所以 a1又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有 16.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正
15、确答案：正确答案：2 或*）解析：解析： 如果 2 是二重根，则有 2 的时候， 2 22(a2)的值为 0，可得 a的值为 2 如果 2 22(a2)0 是完全平方，则有(1) 2 0，满足 1 是一个二重根，此时2(a2)1，即 a 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知 A是 3阶实对称矩阵，满足 A 4 2A 3 A 2 2AO，且秩 r(A)2，求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(AE)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，A(0)
16、，于是 A n n 那么用 右乘 A 4 2A 3 A 2 2A0，得( 4 2 3 2 2)0 因为特征向量 0，故 4 2 3 2 2( 3 2 2 2)(2)( 2 1)0由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A的特征值是 0或2 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)r(A)2，所以 A的特征值是 0，2，2 因A，则有 AEE )解析：19.设 A是 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且 A 1 1 2 3 3 ，A 2 4 1 3 2 5 3 ，A 3 0 求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 3 00 3
17、，知 0 是 A的特征值， 3 是 0 的特征向量 由已知条件有 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 3 3 ，4 1 3 2 5 3 ，0)， ( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P( 1 ， 2 ， 3 )，由 1 ， 2 ， 3 线性无关，则矩阵 P可逆，故 P -1 APB，其中 B ，因此 AB 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B的特征多项式 EB (1) 2 ， 所以矩阵 B，也即 A的特征值为1，1，0 对于矩阵 B， 所以矩阵 B对应于特征值 1 的特征向量是 (2，1，1) T ，若 B，则有(P -1 AP)，即 A(PB)(P)，那么矩阵 A关于特征值 1 的特征向量
18、是 P( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：20.设 A是 n阶矩阵，AEy T ， 与 y都是 n1矩阵，且 y T 2，求 A的特征值、特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 By T (y 1 ，y 2 ，y n )，则 B 2 (y T )(y T )(y T )y T 2y T 2B，可见 B的特征值只能是 0或 2 因为 )解析：21.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A的特征多项式为 EA (2)( 2 8183a)， 如果 2 是单根，则 2 8183a 是完全平方，那么有 183a16，即 a 则矩阵A的特征值是 2，4，4，而 r(4E
19、A) 2，故 4 只有一个线性 无关的特征向量，从而 A不能相似对角化 如果 2 是二重特征值，则将 0 代入 2 8183a0，则有 183a12，即 a2于是 2 8183a(2)(6) 则矩阵 A的特征值是 2，2，6，而 r(2EA) )解析：22.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 A的特征值、特征向量矩阵 A的特征多项式，有 EA (1)( 2 )， 于是 A的特征值是1(二重)，0 对 1，解齐次方程组(EA)0，由系数矩阵 得特征向量 1 (2，1，0) T ， 2 (1，0，1) T 对 0，解方程组 A0，由系数矩阵 ，得特征向量 3 (2， 0，1)
20、 T 令 P( 1 ， 2 ， 3 ) ，则有 P -1 AP )解析：23.已知矩阵 A与 B相似，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，得 解得 a7，b2 由矩阵 A的特征多项式EA 4 2 5，得 A的特征值是 1 5， 2 1它们亦是矩阵 B的特征值 分别解齐次线性方程组(5EA)0，(EA)0，可得到矩阵 A的属于 1 5， 2 1 的特征向量依次为 1 (1，1) T ， 2 (2，1) T 解齐次线性方程组(5EB)0，(EB)0，可得到矩阵 B的特征向量分别是 1 (7，1) T ， 2 (1，1) T 那么，令 即 P 2 P 1 -1 AP 1 P 2
21、 -1 B 于是，取 PP 1 P 2 -1 )解析：24.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：据已知，有 AA * AEE对于 A * 0 ，用 A左乘等式两端，得 (1)(3)得 0 1将 0 1 代入(2)和(1)，得 b3，ac 由A1 和 ac，有 )解析：25.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A )解析：26.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由矩阵 A特征多项式 EA (1) 2 (2)， 知矩阵 A的特征值为 1 2 1， 3 2 因为矩阵 A可以相似对角化，故 r(EA)=1而 EA 所以 6 当 1 时，由(EA)0，得基础解系 1 (2，1，0) T ， 2 (0，0，1) T 当 2 时，由(2EA)0，得基础解系 3 (5，1，3) T 令 P( 1 ， 2 ， 3 ) ，则有 P -1 AP )解析：27.设矩阵 A 可逆，向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A * ，由 AA * AE，有AA，即 )解析：
