1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 7及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.n阶方阵 A有 n个互不相同特征值是 A与对角矩阵相似的 【 】（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要的条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件3.设 A、B 都是 n阶矩阵，则 A与 B相似的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.r(A)r(B)B.ABC.A与 B有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， n ，且 1 ， n 互不
2、相同4.设 n阶矩阵 A与 B相似，则 【 】（分数：2.00）A.EAEBB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A和 B都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 都相似5.与矩阵 D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 1 (1，0，2) T 和 2 (2，3，8) T 都是 A的属于特征值 2的特征向量，又向量(0，3，10) T ，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 4阶矩阵 A与 B相似，A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设向量 (1，0，1) T ，矩阵 A T ，a 为常数，n 为
3、正整数，则行列式aEA n 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设可逆方阵 A有一个特征值为 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设可逆方阵 A有特征值 ，则(A * ) 2 E 必有一个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 为可逆方阵 A的特征值，且 为对应的特征向量，证明：(1)0；(2) 为 A -1 的特征值，且 为对应的特征向量；(3) （分数：2.00）_13.设 3阶方阵 A的特征值为 2，1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3
4、 ，若 BA 3 2A 2 4E，试求 B -1 的特征值与特征向量（分数：2.00）_14.已知向量 (1，k，1) T 是 A （分数：2.00）_15.设 3阶矩阵 A的特征值为 1 1， 2 2， 3 3，对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_16.设矩阵 A （分数：2.00）_17.已知 是矩阵 A （分数：2.00）_18.设 1 ， 2 是 n阶矩阵 A的两个不同特征值， 1 、 2 分别是属于 1 、 2 的特征向量证明： 1 2 不是 A的特征向量（分数：2.00）_19.设 A （分数：2.00）_20.设 3阶矩阵 A的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为 1
5、(1，1，1) T ， 2 (1，0，1) T ，a 3 (1，2，4) T ，求 A 100 （分数：2.00）_21.设 3阶矩阵 A与对角阵 D （分数：2.00）_22.设矩阵 （分数：2.00）_23.设 A （分数：2.00）_24.已知矩阵 A （分数：2.00）_25.下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么? （分数：2.00）_26.设 n阶矩阵 AO，存在某正整数 m，使 A m O，证明：A 必不相似于对角矩阵（分数：2.00）_27.设 A为 3阶矩阵，3 维列向量 ，A，A 2 线性无关，且满足 3A2A 2 A 3 0，令矩阵P A A 2 ， (1)求矩阵 B，使 A
6、PPB； (2)证明 A相似于对角矩阵（分数：2.00）_28.设 A为 3阶矩阵，A6，AEA2EA3E0，试判断矩阵(2A) * 是否相似于对角矩阵，其中(2A) * 是(2A)的伴随矩阵（分数：2.00）_29.设 A、B 均为 n阶矩阵，且 ABAB，A 有 n个互不相同的特征值 1 ， 2 ， n ，证明： (1) i 1(i1，2，n)； (2)ABBA； (3)A 的特征向量都是 B的特征向量； (4)B 可相似对角化（分数：2.00）_30.设 （分数：2.00）_31.设矩阵 （分数：2.00）_32.设矩阵 A （分数：2.00）_33.设矩阵 A 可逆，向量 （分数：2.
7、00）_34.设 (a 1 ，a 2 ，a n ) T 是 R n 中的非零向量，方阵 A T (1)证明：对正整数 m，存在常数 t，使 A m t m-1 A，并求出 t；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_35.设 n阶矩阵 （分数：2.00）_36.设三阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 2 6 是 A的二重特征值，若 1 (1，1，0) T ， 2 (2，1，1) T ， 3 (1，2，3) T 都是 A的属于特征值 6的特征向量 (1)求 A的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_37.设 A为三阶矩阵， 1 ， 2
8、， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 1 2 3 ，A 2 2 2 3 ，A 3 2 2 3 3 ()求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )B； ()求矩阵 A的特征值； ()求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 7答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.n阶方阵 A有 n个互不相同特征值是 A与对角矩阵相似的 【 】（分数：2.00）A
9、.充分必要条件B.充分而非必要的条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：3.设 A、B 都是 n阶矩阵，则 A与 B相似的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.r(A)r(B)B.ABC.A与 B有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， n ，且 1 ， n 互不相同 解析：4.设 n阶矩阵 A与 B相似，则 【 】（分数：2.00）A.EAEBB.A与 B有相同的特征值和特征向量C.A和 B都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 都相似 解析：5.与矩阵 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.
10、00)6.设 1 (1，0，2) T 和 2 (2，3，8) T 都是 A的属于特征值 2的特征向量，又向量(0，3，10) T ，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，6，20) T ）解析：7.设 4阶矩阵 A与 B相似，A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：8.设向量 (1，0，1) T ，矩阵 A T ，a 为常数，n 为正整数，则行列式aEA n 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 (a2 n )）解析：9.设可逆方阵 A有一个特征值为 2，则 （分数：2.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：正确答案：*）解析：10.设可逆方阵 A有特征值 ，则(A * ) 2 E 必有一个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：27，分数：54.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 为可逆方阵 A的特征值，且 为对应的特征向量，证明：(1)0；(2) 为 A -1 的特征值，且 为对应的特征向量；(3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 0，则有0EA0，即(1) n A0， A0，这与 A可逆矛盾，故必有 0；由 A 两端右乘 A -1 ，得 A -1
12、，两端同乘 ，得 A -1 ，故 为 A -1 的一个特征值，且 为对应的特征向量；因 A -1 AA * 代入 A -1 ，得 A * ，故 )解析：13.设 3阶方阵 A的特征值为 2，1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 BA 3 2A 2 4E，试求 B -1 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Bf(A)，其中 f() 3 2 2 4由 A 1 2 1 ，两端左乘 A，得 A 2 1 2A 1 ，将 A 1 2 1 代入，得 A 2 1 2 2 1 4 1 ，类似可得 A 3 1 2 3 1 8 1 ， B 1 (A 3 2A 2 4E) 1
13、 A 3 1 2A 2 1 4 1 2 3 1 2.2 2 1 4 1 (2 3 2.2 2 4) 1 f(2) 1 4 1 ，类似可得 B 2 f(1) 2 2 ，B 3 f(0) 3 4 3 ，所以，B 的特征值为 4，1，4，对应特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以矩阵 P 1 2 3 可逆，且有 P -1 BP 为对角矩阵，两端取逆矩阵，得 P -1 B -1 P ，由此知 B -1 的特征值为 )解析：14.已知向量 (1，k，1) T 是 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 A * ，两端左乘 A，并利用 AA * AE4E，
14、得 A4，即 ，对比两端对应分量得 )解析：15.设 3阶矩阵 A的特征值为 1 1， 2 2， 3 3，对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 1 1 2 2 3 3 ，得线性方程组 ，解此方程组得 1 2， 2 2， (2)A n A n (2 1 2 2 3 )2A n 1 2A n 2 A n 3 ， 由于 A i i i ，A n i i n i ，i1，2，3 故 A n 2 1 n 1 2 2 n 2 3 n 3 )解析：16.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 A * 0 ，两端左乘 A，并利用 AA * AE，得 0
15、A， 由此解得 0 1，b3，ac再由A1 和 ac，有 n31， )解析：17.已知 是矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)A 的特征值为 1 2 3 1，但矩阵EA )解析：18.设 1 ， 2 是 n阶矩阵 A的两个不同特征值， 1 、 2 分别是属于 1 、 2 的特征向量证明： 1 2 不是 A的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法：若 1 2 是 A的属于特征值 0 的特征向量则有 A( 1 2 ) 0 ( 1 2 )，即 A 1 A 2 0 1 0 2 ，因 A i i i (i1，2)，得( 1 0 ) 1 ( 2 0 ) 2 0，
16、由于属于不同特征值的特征向量 1 与 2 线性无关，得 1 0 0 2 0 )解析：19.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 2 1， 3 1，由题设条件 A有 3个线性无关特征向量，知 A的属于特征值 1 2 1 的线性无关特征向量有 2个 齐次线性方程组(EA)0 的基础解系含 2个向量 3r(EA)2 r(EA) )解析：20.设 3阶矩阵 A的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为 1 (1，1，1) T ， 2 (1，0，1) T ，a 3 (1，2，4) T ，求 A 100 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ， 2 ， 3 线性
17、无关，故 A相似于对角阵，令 P 1 2 3 ，则有 )解析：21.设 3阶矩阵 A与对角阵 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知，存在可逆矩阵 P，使 A ，故 )解析：22.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由条件有EAEB，即 (2) 2 (3)3a3(a) 2 (b) 得 a5，b6亦可直接利用特征值的性质，得 ，解得 a5，b6 (2)P )解析：23.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA (1) 2 (1)0 得 A的全部特征值为 1 2 1， 3 1故 A可对角化 A的属于 2重特征值 1 2 1 的线性无关特征向量有2
18、个 方程组(EA)0 的基础解系含 2个向量 3r(EA)2 r(EA) k0当 k0 时，可求出 A的对应于特征值1，1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1 (1，2，0) T ， 2 (1，0，2) T ， 3 (1，0，1) T ，故令 P 1 2 3 )解析：24.已知矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(2EA)1， 2，y2；A 的特征值为 2，2，6 )解析：25.下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)是，因该方阵的特征值 1 1， 2 2， 3 3 互不相同； (2)因 A的特征值为 1 2 3 4 1，但
19、 r(EA)2， )解析：26.设 n阶矩阵 AO，存在某正整数 m，使 A m O，证明：A 必不相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可用反证法：设 为 A的任一特征值， 为对应的特征向量，则有 A， A 2 A 2 ， )解析：27.设 A为 3阶矩阵，3 维列向量 ，A，A 2 线性无关，且满足 3A2A 2 A 3 0，令矩阵P A A 2 ， (1)求矩阵 B，使 APPB； (2)证明 A相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)APA A A 2 A A 2 A 3 A A 2 3A2A 2 )解析：28.设 A为 3阶矩阵，A6，AEA2
20、EA3E0，试判断矩阵(2A) * 是否相似于对角矩阵，其中(2A) * 是(2A)的伴随矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件有，EA(1) 3 EA0，2EA(1) 3 2EA0，3EA(1) 3 3EA0， A有特征值1，2，3，从而是 A的全部特征值，A -1 的全部特征值为1， ，而(2A) * 2A(2A) -1 2 3 A A -1 24 -1 ， )解析：29.设 A、B 均为 n阶矩阵，且 ABAB，A 有 n个互不相同的特征值 1 ， 2 ， n ，证明： (1) i 1(i1，2，n)； (2)ABBA； (3)A 的特征向量都是 B的特征向量； (4)B
21、可相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)即证EA0，或EA0 或 EA 可逆，这可由 ABAB (AE)(EB)E， AE 可逆，且(AE) -1 EB (2)由(1)的(AE) -1 EB， (AE)(EB)(EB)(AE)，即 AABEBAEBAB )解析：30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B2E )解析：32.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 2 3 a2(2)1， 1 2 3 A2(2ab 2 )12，解得 a1，b2 )解析：33.设矩阵 A 可逆，向量
22、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A可逆知 A * 可逆，于是有 0，A0由题设，有 A * ，两端左乘 A并利用 AA * AE，得AA，或 A 即 b1 或 b2，将 a2代入矩阵 A得A4。于是得 )解析：34.设 (a 1 ，a 2 ，a n ) T 是 R n 中的非零向量，方阵 A T (1)证明：对正整数 m，存在常数 t，使 A m t m-1 A，并求出 t；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A m ( T )( T )( T )( T ) m-1 T ( T ) m-1 ( T ) Ar m-
23、1 A，其中 t a i 2 (2)AO， 1秩(A)秩( T )秩()1， 秩(A)1，因实对称矩阵 A的非零特征值的个数等于它的秩，故 A只有一个非零特征值，而有 n1 重特征值 1 2 n-1 0设 a 1 0，由 0EAA 得属于特征值 0的特征值可取为： 由特征值之和等于 A的主对角线元素之和，即 000 n a i 2 ，得 n a i 2 T ，由 A( T )( T ) n n 及 0，得与 n 对应特征向量为 ，令 P 1 2 n-1 ，则有 P -1 APdiag(0，0，0， )解析：35.设 n阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)1当 b0 时， E
24、A 1(n1)b(1b) n-1 故 A的特征值为 1 1(n1)b， 2 n 1b 对于 1 1(n1)b，设对应的一个特征向量为 1 ，则 解得 1 (1，1，1) T ，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1 k(1，1，1) T ，其中 k为任意非零常数 对于 2 n 1b，解齐次线性方程组(1b)EA0，由 )解析：36.设三阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 2 6 是 A的二重特征值，若 1 (1，1，0) T ， 2 (2，1，1) T ， 3 (1，2，3) T 都是 A的属于特征值 6的特征向量 (1)求 A的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A（分数：2.00）
25、_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 2 6 是 A的二重特征值，故 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量有 2个，有题设可得 1 ， 2 ， 3 一个极大无关组为 1 ， 2 ，故 1 ， 2 为 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量 由 r(A)2 知A0，所以 A的另一特征值为 3 0 设 3 0 对应的特征向量为 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，则有 i T 0(i1，2)，即 解得此方程组的基础解系为 (1，1，1) T ，即 A的属于特征值 3 0 的特征向量为kk(1，1，1) T (k为任意非零常数) (2)令矩阵 P 1 ， 2 ，则有 )解析：37.设 A为三阶矩阵
26、， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 1 2 3 ，A 2 2 2 3 ，A 3 2 2 3 3 ()求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )B； ()求矩阵 A的特征值； ()求可逆矩阵 P，使得 p -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设条件，有 A( 1 ， 2 ， 3 )(A 1 ，A 2 ，A 3 )( 1 2 3 ，2 2 3 ，2 2 3 3 ) ( 1 ， 2 ， 3 ) 所以，B ()因为 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，可知矩阵 C( 1 ， 2 ， 3 )可逆，所以由 ACCB，得 C -1 ACB，即矩阵 A与 B相似由此可得矩阵 A与 B有相同的特征值 由EB (1) 2 (4)0 得矩阵 B的特征值，也即矩阵 A的特征值为 1 2 1， 3 4 ()对应于 1 2 1，解齐次线性方程组(EB)0，得基础解系 1 (1，1，0) T ， 2 (2，0，1) T ； 对应于 3 4，解齐次线性方程组(4ES)0得基础解系 3 (0，1，1) T 令矩阵 因 Q -1 BQQ -1 C -1 ACQ(CQ) -1 A(CQ)，记矩阵 PCQ( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：
