1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 1及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A为 n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A与单位矩阵 E合同B.矩阵 A的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ为对角阵3.设 n阶矩阵 A与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A的 n个特征值都是单值B.A是可逆矩阵C.A存在 n个线性无关的特征向量D.A一定为 n
2、阶实对称矩阵4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 +B -1C.A * +B *D.A-B二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 A是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_8.设 ， 为三维非零列向量，(，
3、)=3，A= T ，则 A的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 y；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_设 A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A的特征值；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_11.设三
4、阶实对称矩阵 A的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A的属于特征值 1 =8的特征向量为 1 = ，属于特征值 2 = 3 =2的特征向量为 2 = （分数：2.00）_12.设 n阶矩阵 A满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_13.设非零 n维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).证明：A 可对角化；（分数：2.00）_(2).求 A m（分数：2.00）_14.设 A= （分数：2.00）_15.设 A为 n阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：
5、A 不可以对角化（分数：2.00）_16.设 A为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， 1 = （分数：2.00）_17.设 = （分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_设 AB，A= （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：2.00）_设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求 A的特征向量；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵
6、 P，使得 P -1 AP为对角阵（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 1答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A为 n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A与单位矩阵 E合同 B.矩阵 A的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ为对角阵解析：解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定
7、矩阵，所以 A不一定与单位矩阵合同，选(A)3.设 n阶矩阵 A与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A的 n个特征值都是单值B.A是可逆矩阵C.A存在 n个线性无关的特征向量 D.A一定为 n阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A与对角阵相似的充分必要条件是其有 n个线性无关的特征向量，A 有 n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解
8、析：解析：因为 ， 为非零向量，所以 A= T O，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=E，由 A 2 X= T . T X=O= 2 X得 =0， 因为 r(OE-A)=r(A)=1，所以 A的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)5.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 +B -1C.A * +B *D.A-B 解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A -1 ，B -1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X
9、T (C T AC)X=(CX) T A(CX)0(因为 C可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC为正定矩阵，同样用定义法可证 A -1 +B -1 与 A * +B * 都是正定矩阵，选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：因为 AB，所以7.设 A是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为实对称矩阵不
10、同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5对应的特征向量为 =0得 2 = 3 =5对应的线性无关的特征向量为 2 = 8.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或者 3）解析：解析：因为 A 2 =3A，令 Ax=X，因为 A 2 X=X，所以有( 2 -3)X=，而 X0，故 A的特征值为 0或者 3，因为 1 + 2 + 2 =tr(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =09.设 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解
11、析：由 A= 得三、解答题(总题数：15，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3为 A的特征值，所以3E-A=0，解得 y=2)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P， A 2 = ，E-A 1 =0 得 1 =1， 2 =9， 当 =1 时，由(E-A 1 )X=0得 1 = ；=9 时，由(9E-A 1 )X=0得 2 =
12、 单位化得 )解析：设 A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 -3A=O A3E-A=0 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设特征值 0对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 -x 3 =0，则 0对应的特征向量为 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 )解析：11.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A
13、的属于特征值 1 =8的特征向量为 1 = ，属于特征值 2 = 3 =2的特征向量为 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 令 2 = 3 =2对应的另一个特征向量为考 3 = ，由不同特征值对应的特征向量正交， 得 x 1 +x 2 +x 3 =0 )解析：12.设 n阶矩阵 A满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(E-A)(bE-A)=O，得aE-A .bE-A=0，则aE-A=0 或者bE-A=0又由(aE-A)(bE-A)=O，得 r(aE-A)+r(
14、bE-A)n 同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n 所以 r(aE-A)+r(bE-A)=n (1)若aE-A0，则 r(aE-A)=n，所以 r(bE-A)=0，故A=bE (2)若bE-A0，则 r(bE-A)=n，所以 r(aE-A)=0，故 A=aE (3)若aE-A=0 且bE-A=0，则 a，b 都是矩阵 A的特征值 方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值 a对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个； 方程组(bE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(bE-A)个线性无关的
15、解向量，即特征值 b对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(bE-A)个 因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵 A有 n个线性无关的特征向量，所以 A一定可以对角化)解析：13.设非零 n维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X， 因为 ， 正交，所以 A 2 = T . T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A的特征值为 1 = 2 = n =0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0E-A)=r(A)1，
16、所以 n-r(OE-A)n-1n，所以 A不可相似对角化)解析：设 A= （分数：4.00）(1).证明：A 可对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A=(=1) 2 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =-2 当 =1 时，由(E-A)X=0得 =1 对应的线性无关的特征向量为 1 = 当 =-2 时，由(-2E-A)X=0 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 3 = )解析：(2).求 A m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P= 于是 A m = )解析：14.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(+1)(-1) 2
17、=0得 1 =-1， 2 = 3 =1， 因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 A可以对角化，所以 r(E-A)=1， 由 E-A= )解析：15.设 A为 n阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令 AX=X(X0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注意到 X0，故 k =0，从而 =0，即矩阵 A只有特征值 0因为 r(0E-A)=r(A)1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系至多含 n-1个线性无关的解向量，故矩阵 A不可对角化 方法二 设矩阵 A可以对角化，即存在可
18、逆阵 P，使得 P -1 AP= )解析：16.设 A为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P= )解析：17.设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= 0 ，即 ，解得 0 =4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * 的特征向量也是 A的特征向量，由 因为A=-1，所以 a=2，于是 a=2，b=-3，c=2，= )解析：设 AB，A= （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(
19、正确答案：方法一 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 = 2 =2，因为 A相似于对角阵，所以 r(2E-A)=1，而 2E-A= )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 = 由(6E-A)X=0 得=6 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 P= )解析：设 A= （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(-1)+2，于是 a=0)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得
20、 P -1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(+1)(-1)(-2)=0 得、A，B 的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，-1，1) T ； 当 =1 时，由(E-A)X=0得 2 =(0，1，1) T ； 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 3 =(1，0，0) T ，取 P 1 = 当 =-1时，由(-E-B)X=0 即(E+B)X=0 得 1 =(0，1，2) T ； 当 =1 时，由(E-B)X=0 得 2 =(1，0，0) T ； 当 =2 时，由(2E-B)X=
21、0 得 3 =(0，0，1) T ，取 P 2 = )解析：设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(+2)(-1) 2 =0得矩阵 A的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =1， 因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 A可以相似对角化，从而 r(E-A)=1， 由 E-A= )解析：(2).求 A的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 =-2 代入(E-A)X=0，即(2E+A)X=0， 由 2E+A= 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 1 = 将 =1 代入(E-A)X=0，即(E-A)X=0， 由 E-A= 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 2 = )解析：(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P= )解析：
