1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 9及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 一 1 。B.P T 。C.P。D.(P 一 1 ) T 。3.已知三阶矩阵 A与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A属于
2、特征值 =一 3的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A+2。C.A 2 一 A。D.A 2 +2A 一 3。4.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P -1 AP； A T ； （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。5.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量。B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A的特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A的特征向量。D.若 是 2A的特征向量，那么 是 A的
3、特征向量。6.设 n阶矩阵 A与 B相似，E 为 n阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E 一 A=EB。B.A与 B有相同的特征值和特征向量。C.A和 B都相似于一个对角矩阵。D.对任意常数 t，tE 一 A与 tE一 B相似。7.n阶矩阵 A和 B具有相同的特征值是 A和 B相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.必要而非充分条件。C.充分而非必要条件。D.既非充分也非必要条件。8.已知矩阵 ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。9.下列选项中矩阵 A和 B相似的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.10.设 A，B 均为 n阶矩阵，A
4、可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； 2 AB 2 ； A T B T ； A 一 1 B 一 1 。 正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。11.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 =(1，一 1，a) T 是 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A是三阶矩阵，且各
5、行元素的和都是 5，则矩阵 A一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A是三阶可逆矩阵，A 的各行元素之和为 k，A * 的各行元素之和为 m，则A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_19.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_21.设矩阵 A与 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：24
6、.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.设矩阵 （分数：2.00）_24.已知 （分数：2.00）_25.设矩阵 A与 B相似，且 （分数：2.00）_已知矩阵 （分数：4.00）(1).求 x与 y；（分数：2.00）_(2).求一个满足 P 一 1 AP，=B 的可逆矩阵 JP。（分数：2.00）_26.设矩阵 （分数：2.00）_27.设矩阵 （分数：2.00）_设 A为三阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。（分数：4.00）(1).求矩阵 A
7、的特征值；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P使得 P 一 1 AP=A。（分数：2.00）_设 A是三阶方阵， 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量组，且 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 3 + 1 ，A 3 = 1 + 2 。（分数：4.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：2.00）_(2).A是否可对角化?（分数：2.00）_28.已知矩阵 A与 B相似，其中 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 9答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
8、项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 一 1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 一 1 。B.P T 。 C.P。D.(P 一 1 ) T 。解析：解析：设 是矩阵(P T AP) T 属于 的特征向量，并考虑到 A为实对称矩阵 A T =A，有(P -1 AP) T =，即 P T A(P -1 ) T =。把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到A=，可得选项 B正确，即左端=P T A(P -1 ) T (P T )=P T A=
9、P T =P T =右端。所以应选 B。3.已知三阶矩阵 A与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A属于特征值 =一 3的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A+2。C.A 2 一 A。 D.A 2 +2A 一 3。解析：解析：因为 A 3 +2A 2 一 3A=0。故(A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A 2 一 A)。因为，A，A 2 线性无关，必有 A 2 一 A0，所以 A 2 一 A 是矩阵 A+3E属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A属于特征值 =一 3的特征向量。所以应选 C。4.设 A是 n阶矩阵，P
10、 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P -1 AP； A T ； （分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：由 A=，0，有 A 2 =A()=A= 2 ，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量。又 知 必是矩阵 属于特征值 5.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量。B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A的特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A的特征向量。D.若 是 2A的特征向量，那么 是 A的特征向
11、量。 解析：解析：如果 是 2A的特征向量，即(2A)=，那么 ，所以 是矩阵 A属于特征值 的特征向量。由于(EA)x=0 与(E 一 A T )x=0不一定同解，所以 不一定是 A T 的特征向量。例如 6.设 n阶矩阵 A与 B相似，E 为 n阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E 一 A=EB。B.A与 B有相同的特征值和特征向量。C.A和 B都相似于一个对角矩阵。D.对任意常数 t，tE 一 A与 tE一 B相似。 解析：解析：因为由 A与 B相似不能推得 A=B，所以选项 A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B也不正
12、确。对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C也不正确。综上可知选项 D正确。事实上，因 A与 B相似，故存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B于是 P 一 1 (tEA)P=tEP 一 1 AP=tE一 B，可见对任意常数 t，矩阵 tE一 A与 tE一 B相似。所以应选 D。7.n阶矩阵 A和 B具有相同的特征值是 A和 B相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.必要而非充分条件。 C.充分而非必要条件。D.既非充分也非必要条件。解析：解析：由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P 一 1 AP=B，故E 一 B=EP 一 1 AP=P 一 1 (E
13、A)P=P 一 1 E 一 AP=E 一 A，即 A与 B有相同的特征值。但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B不一定相似。例如 8.已知矩阵 ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：二阶矩阵 A有两个不同的特征值 1和 3，因此 那么只要和矩阵 A有相同的特征值，它就一定和 A相似，也就一定与 A相似。和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1和 3，所以它们均与 A相似，对于和，由9.下列选项中矩阵 A和 B相似的是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项 A中，r(A)=1，r(B)=2，故 A和 B不相似。选项 B中，tr(
14、A)=9，tr(B)=6，故 A和 B不相似。选项 D中，矩阵 A的特征值为 2，2，一 3，而矩阵 B的特征值为 1，3，一 3，故 A和 B不相似。由排除法可知应选 C。事实上，在选项 C中，矩阵 A和 B的特征值均为 2，0，0。由于 A和 B均可相似对角化，也即 A和 B均相似于对角矩阵10.设 A，B 均为 n阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； 2 AB 2 ； A T B T ； A 一 1 B 一 1 。 正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。 解析：解析：因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=B，于是 P -1
15、A 2 P=B 2 。P T A T (P T ) 一1 =B T ，P 一 1 A 一 1 P=B 一 1 ，故 A 2 B 2 ，A T B T ，A 一 1 B 一 1 。又由于 A可逆，可知 A -1 (AB)A=BA，即 AB一 BA。故正确的命题有四个，所以选 D。11.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项 B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。选项 C是秩为 1的矩阵，由E 一 A= 3 一 4 2 ，可知矩阵的特
16、征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r(OE一 A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE 一 A)x=0的基础解系有 31=2个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项 D是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，一 1就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 T =2，所以( T )=( T )=2，故 T 的非零特征值为 2
17、。13.设 =(1，一 1，a) T 是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * = 0 ，该等式两端同时左乘 A，即得 AA * =A= 0 A，即 展开成方程组的形式为 14.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：设 是矩阵 A -1 属于特征值 的特征向量，则 A 一 1 =，即 =A，于是 15.设 A是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
18、正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是 5，即 ， 化为矩阵形式，可得 满足16.设 A是三阶可逆矩阵，A 的各行元素之和为 k，A * 的各行元素之和为 m，则A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：km）解析：解析：由 A的各行元素之和为 k，A * 的各行元素之和为 m可知 A(1，1，1) T =k(1，1，1) T ，A * (1，1，1) T =m(1，1，1) T ，在 A(1，1，1) T =k(1，1，1) T 两边同时左乘 A * 可得 A * A(1，1，1) T =kA * (1，1，1) T 即A(1，1，1) T =kA * (1，
19、1，1) T =km(1，1，1) T ，故 A=km。17.设 A为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得 记 P=( 1 ， 2 )，因 1 ， 2 线性无关，故 P=( 1 ， 2 )是可逆矩阵。由 ， 可得 ， 则 A与 B相似，从而有相同的特征值。 因为 18.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为矩阵 A只有一个线性无关的特征向量，所以 A的特征值必定是三重根，否
20、则 A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3，故 1 = 2 = 3 =2。19.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，0，1) T ，其中 k）解析：解析：因 A只有一个线性无关的特征向量，所以 A的特征值必是三重的，且 r(EA)=2。由 tr(A)= 1 + 2 + 3 =9可得 1 = 2 = 3 =3。于是 20.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：A 的特征多项式为21.设矩阵 A与 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
21、答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A与 B相似，则 A一 2E与 B一 2层相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r(A)+r(A一 2E)=r(B)+r(B一 2E)=2+1=3。三、解答题(总题数：10，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A的特征多项式为 如果 =2 是单根，则 2 8+18+3a 是完全平方，必有 18+3a=16，即 )解析：24.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 则 A的特征值为 1 =2n一 1， 2 =n一 1，其中 2 =
22、n一 1为 n一 1重根。当 1 =2n一 1时，解齐次方程组( 1 EA)x=0，对系数矩阵作初等变换，有 得到基础解系 1 =(1，1，1) T 。当 2 =n一 1时，齐次方程组( 2 EA)x=0等价于 x 1 +x 2 +x n =0，得到基础解系 2 =(一 1，1，0，0) T ， 3 =(一 1，0，1，0) T ， n =(一 1，0，0，1) T ，则 A的特征向量是 k 1 1 和 k 2 2 +k 3 3 +k n n ，其中 k 1 0，k 2 ，k 3 ，k n 不同时为零。 )解析：25.设矩阵 A与 B相似，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB
23、 有 于是得 a=5，b=6。且由 A一 B，知 A与 B有相同的特征值，于是 A的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6。当 =2 时，解齐次线性方程组(2EA)x=0 得到基础解系为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。当 A=6时，解齐次线性方程组(6E 一 A)x=0，得到基础解系是(1，一 2，3) T ，即属于 =6 的特征向量。令 P=( 1 , 2 , 3 )= )解析：已知矩阵 （分数：4.00）(1).求 x与 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相似矩阵有相同的特征值，由矩阵 B的特征值为 2，y
24、，一 1可知矩阵 A的特征值也为 2，y，一 1，故A=2y(一 1)=一 2，且 tr(A)=2+0+x=2+y+(一 1)，解得 y=1，x=0。)解析：(2).求一个满足 P 一 1 AP，=B 的可逆矩阵 JP。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =一 1。由( i E一 A)x=0(i=1，2，3)解得矩阵 A的属于特征值 1 =2， 2 =1， 3 =一 1的特征向量分别为 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(0，一 1，1) T ，令可逆矩阵 )解析：26.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正
25、确答案：矩阵 A的特征多项式为 则 A的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =1。矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值 =一 1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一 EA)x=0有两个线性无关的解向量，则 r(A+E)=1。对矩阵 A+E作初等行变换得 当 k=0时，r(A+E)=1。此时，由(一 EA)x=0解得属于特征值一 1的两个线性无关的特征向量为 1 =(一 1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ；由(EA)x=0 解得属于特征值 1的特征向量为 3 =(1，0，1) T 。令可逆矩阵P=( 1 , 2 , 3 )，则 )解析：27.设矩阵 （分数：2.00
26、）_正确答案：(正确答案：A 与 A相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=一 4，=y 是 A的特征值。因为 =一 4是 A的特征值，所以 解得 x=4。又因为相似矩阵的行列式相同， 所以 y=5。当=5 时，解方程(A 一 5E)x=0，得两个线性无关的特征向量 将它们正交化、单位化得： 当=一 4时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量 单位化得： )解析：设 A为三阶矩阵， 1 , 2 , 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。（分数：4.00）(1).求矩阵 A的特征值；（分数：2.00）_正
27、确答案：(正确答案：由已知可得 A( 1 , 2 , 3 )=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 )= 记 P 1 =( 1 , 2 , 3 )， 则有 AP 1 =P 1 B。 由于 1 , 2 , 3 线性无关，即矩阵 P，可逆，所以 P 1 一 1 AP 1 =B，因此矩阵 A与 B相似，则 )解析：(2).求可逆矩阵 P使得 P 一 1 AP=A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(由(EB)x=0，得矩阵 B对应于特征值 =1 的特征向量 1 =(一 1，1，0) T ， 2 =(一 201) T ： 由(4EB)x=0，得对应于特征值 =4 的特征
28、向量 3 =(0，1，1) T 。令 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 )= 则 P 2 一 1 P 1 一 1 AP 1 P 2 = 即当 P=P 1 P 2 =( 1 , 2 , 3 ) =(一 1 + 2 ，一 2 1 + 3 ， 2 + 3 )时，有 P 一 1 AP=A= )解析：设 A是三阶方阵， 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量组，且 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 3 + 1 ，A 3 = 1 + 2 。（分数：4.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 , 2 , 3 线性无关，则 1 + 2 + 3 0， 2 一 1
29、 0， 3 一 1 0，且由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，A( 2 一 1 )=一( 2 一 1 )，A( 3 一 1 )=一( 3 一 1 )可知矩阵 A的特征值为 2和一 1。又由 1 ， 2 ， 3 线性无关可知 2 一 1 ， 3 ，一 1 也线性无关，所以一 1是矩阵 A的二重特征值，即 A的全部特征值为2，一 1，一 1。)解析：(2).A是否可对角化?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 , 2 , 3 线性无关，而( 1 + 2 + 3 ， 2 一 1 ， 2 一 1 )= )解析：28.已知矩阵 A与 B相似，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，得 解得 a=7，b=一 2。由矩阵 A的特征多项式 得 A的特征值是 1 =5， 2 =一 1。它们也是矩阵 B的特征值。分别解齐次线性方程组(5EA)x=0，(一 E-A)x=0，可得到矩阵 A的属于 1 =5， 2 =一 1的特征向量依次为 1 =(1，1) T ， 2 =(一 2，1) T 。分别解齐次线性方程组(5E 一 B)x=0，(一 E-B)x=0，可得到矩阵 B的属于 1 =5， 2 =一 1的特征向量分别是 1 =(一 7，1) T ， 2 =(一 1，1) T 。 )解析：
