1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 3及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 3.n阶矩阵 A具有 n个线性无关的特征向量是 A与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分
2、条件D.既非充分也非必要条件4.则 A与 B( ) （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似5.设三阶矩阵 A的特征值是 0，1，1，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 AE 和对角矩阵相似C.矩阵 A属于 1与1 的特征向量相互正交D.方程组 A0 的基础解系由一个向量构成6.已知 A是一个 3阶实对称正定的矩阵，那么 A的特征值可能是( )（分数：2.00）A.3，i，1B.2，1，3C.2，i，4D.1，3，47.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A为
3、 3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(，y，z)A 1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.设 1 ， 2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 ，A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0C. 1 0D. 2 0二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.已知 12 是 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A是 3阶矩阵，如果矩阵 A的每行元素的和都是 2，则矩阵 A必定有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设
4、 (1，1，) T ，(1，a，2) T ，AE T ，且 3 是矩阵 A的特征值，则矩阵A属于特征值 3 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_14.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_15.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 2 6 是 A的二重特征值，若 1 (1，1，0) T ， 2 (2，1，1)
5、 T ， 3 (1，2，3) T 都是 A属于 6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_19.证明：已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 2 3 仍是 A的特征向量，则 1 2 3 （分数：2.00）_20.设 3阶对称阵 A的特征值为 1 6， 2 3 3，其中与特征值 1 6 对应的特征向量为 P 1 (1，1，1) T ，求 A（分数：2.00）_21.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_22.设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3，向量 1 (1，2，1) T ， 2 (0，1，1) T 是线性方程组 A0
6、 的两个解 (1)求 A的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵 Q和对角矩阵 A，使得 Q T AQ（分数：2.00）_23.设 3阶实对称矩阵 A的特征值 1 1， 2 2， 3 2， 1 (1，1，1) T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量，记 BA 5 4A 3 E，其中 E为 3阶单位矩阵 (1)验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量： (2)求矩阵 B（分数：2.00）_24.A为 3阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_25.设 A为正交阵，且A1，证明 1 是 A的特征值（分数：2.00）_26.已知 3阶矩阵 A的特征值为 1，2，
7、3，求A * 3A2E（分数：2.00）_27.已知 P 是矩阵 A （分数：2.00）_考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 3答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 解析：解析：设 B是矩阵(P -1 AP -1
8、)属于 的特征向量，并考虑到 A为实对称矩阵 A T A，有 (P -1 AP) T ，即 P T A(P -1 ) T 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到A，可得选项 B正确，即 左端P T A(P -1 ) T (P T )P T AP T P T 右端 所以府诜 B3.n阶矩阵 A具有 n个线性无关的特征向量是 A与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：若 AA ，则有可逆矩阵 P使 P -1 AP，或 APP令 P( 1 ， 2 ， n )，即 A( 1 ， 2 ， n )( 1
9、 ， 2 ， n ) (a 1 1 ，a 2 2 ，a n n ) 从而有 A i a i i ，i1，2，n 由 P可逆，即有 i 0，且 1 ， 2 ， n 线性无关根据定义可知 1 ， 2 ， n 是 A的 n个线性无关的特征向量 反之，若 A有 n个线性无关的特征向量 1 ， 2 ， n ，且满足 A i i i ，i1，2，n 那么，用分块矩阵有 A( 1 ， 2 ， n )( 1 ， 2 ， n ) 4.则 A与 B( ) （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：由AE (4) 3 0 可得 A的特征值 1 4， 2 3 4
10、0又因为 A为实对称矩阵，所以必存在正交矩阵 P，使得 P -1 APP T AP 5.设三阶矩阵 A的特征值是 0，1，1，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 AE 和对角矩阵相似C.矩阵 A属于 1与1 的特征向量相互正交 D.方程组 A0 的基础解系由一个向量构成解析：解析：因为矩阵 A的特征值是 0，1，1，所以矩阵 AE 的特征值是1，0，2由于 0 是矩阵 AE 的特征值，所以 AE 不可逆故命题 A正确 因为矩阵 AE 的特征值是 1，2，0，矩阵AE 有三个不同的特征值，所以 AE 可以相似对角化命题 B正确(或由 AA EAE
11、而知AE 可相似对角化) 因为矩阵 A有三个不同的特征值，知 AA6.已知 A是一个 3阶实对称正定的矩阵，那么 A的特征值可能是( )（分数：2.00）A.3，i，1B.2，1，3C.2，i，4D.1，3，4 解析：解析：因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项 A，C 都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项 B也不正确；应用排除法，答案为 D7.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化 选项 B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角
12、化 选项 C是秩为 1的矩阵，因为EA 3 4 2 ，可知矩阵的特征值是 4，0，0对于二重根 0，由秩 r(0EA)r(A)1 可知齐次方程组(0EA)0 的基础解系有 312 个线性无关的解向量，即0 有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化 选项 D是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 1，由秩 r(EA) 8.设 A为 3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(，y，z)A 1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方
13、程为9.设 1 ， 2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 ，A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0 C. 1 0D. 2 0解析：解析：令 k 1 1 k 2 A( 1 2 )0，则 k 1 1 k 2 1 1 k 2 2 2 0，即(k 1 k 2 1 ) 1 k 2 2 2 0 因为 1 ， 2 线性无关，于是有 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.已知 12 是 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 12 是 A的特征值，因此12EA0，即 12E
14、A11.设 A是 3阶矩阵，如果矩阵 A的每行元素的和都是 2，则矩阵 A必定有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1) T）解析：解析：已知矩阵 A的每行的元素的和都是 2，因此有 即 ， 也就是 12.设 (1，1，) T ，(1，a，2) T ，AE T ，且 3 是矩阵 A的特征值，则矩阵A属于特征值 3 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，1) T ，k0）解析：解析：令 B T ，因为矩阵 B的秩是 1，且 T a1，由此可知矩阵 B的特征值为a1，0，0那么 AEB 的特征值为 a2，1，1
15、 因为 3 是矩阵 A的特征值，因此 a23，可得 a1那么就有 B( T )( T )2 (1，1，1) T 是矩阵 B属于特征值2 的特征向量，因此也就是矩阵 A属于特征值 3 的特征向量13.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为EA (2)(3) 2 所以矩阵 A的特征值分别为 2，3，3，可见矩阵 A的特征值有重根，已知矩阵 A和对角矩阵相似，因此对应于特征根 3有两个线性无关的特征向量，因此可得(3EA)0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3EA 的秩为 1 3EA 14.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
16、正确答案：1）解析：解析：A 的特征多项式为 EA (1) 3 所以矩阵 A的特征值是1，且为3重特征值，但是 A只有两个线性无关的特征向量，即 r(EA) 15.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为如果矩阵 A有 n个不同的特征值，则对应的 n个特征向量是线性无关的已知矩阵 A只有一个线性无关的特征向量，所以 A的特征值必定是三重根，否则 A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量 由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知 1233，进一步可知 1 2 3 216.已知 A （分数：2.00）填空项 1:
17、_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A的特征方程 EA (1)( 2 1)0， 因此 A的特征值是1(二重)，1 因为 A有 3个线性无关的特征向量，因此 1 定有两个线性无关的特征向量，因此必有 r(EA)321，根据 EA 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 2 6 是 A的二重特征值，若 1 (1，1，0) T ， 2 (2，1，1) T ， 3 (1，2，3) T 都是 A属于 6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
18、由 r(A)2 知，A0，所以 0 是 A的另一特征值 因为 1 2 6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A属于 6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1 ， 2 ， 3 必线性相关，显然 1 ， 2 线性无关 设矩阵 A属于 0 的特征向量 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系(1，1，1) T 根据 A( 1 ， 2 ，)(6 1 ，6 2 ，0)，因此 A(6 1 ，6 2 ，0)( 1 ， 2 ， 3 ) -1 )解析：19.证明：已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无
19、关，如 1 2 3 仍是 A的特征向量，则 1 2 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 2 3 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，即 A( 1 2 3 )( 1 2 3 ) 又 A( 1 2 3 )A 1 A 2 A 3 1 1 2 2 3 3 ，于是有 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) 3 0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 0， 2 0， 3 0 即 1 2 3 )解析：20.设 3阶对称阵 A的特征值为 1 6， 2 3 3，其中与特征值 1 6 对应的特征向量为 P 1 (1，1，1) T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A
20、是对称阵，必存在正交阵 Q，使得 Q T AQQ -1 AQ ， 即AQQ T 设 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则特征值 1 6 对应的单位特征向量为 1 从而 A3EQ(A3E)Q T 因此 AQ(A3E)Q T 3E )解析：21.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 1 ， 2 ， 3 是方程组 A 的 3个线性无关的解，其中 则有 A( 1 2 )0，A( 1 3 )0 因此 1 2 ， 1 3 是对应齐次线性方程组 A的解，且线性无关(否则，易推出 1 ， 2 ， 1 3 线性相关，矛盾) 所以nr(A)2，即 4r(A)2，那么 r(A)2 又
21、矩阵 A中有一个 2阶子式 10，所以 r(A)2 因此 r(A)2 (2)因为 又 r(A)2，则有 对原方程组的增广矩阵 作初等行变换， 故原方程组与下面的方程组同解 选 3 ， 4 为自由变量，则 故所求通解为 )解析：22.设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3，向量 1 (1，2，1) T ， 2 (0，1，1) T 是线性方程组 A0 的两个解 (1)求 A的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵 Q和对角矩阵 A，使得 Q T AQ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为矩阵 A的各行元素之和均为 3，所以有 则由特征值和特征向量的定义知，3 是矩阵 A的特征值，
22、(1，1，1) T 是对应的特征向量对应 3 的全部特征向量为k(1，1，1) T ，其中 k为不为零的常数 又由题设知 A 1 0，A 2 0，即 A 1 0. 1 ，A 2 0. 2 ，而且 1 ， 2 线性无关，所以 0 是矩阵 A的二重特征值， 1 ， 2 是其对应的特征向量，因此对应 0 的全部特征向量为 k 1 1 k 2 2 k 1 ，(1，2，1) T k 2 (0，1，1) T ，其中 k 1 ，k 2 为不全为零的常数 (2)因为 A是实对称矩阵，所以 与 1 ， 2 正交，所以只需将 1 与 2 正交 由施密特正交化法，取 1 1 2 2 再将 ， 1 ， 2 单位化，得
23、 令 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 Q T ，由 A是实对称矩阵必可相似对角化，得 Q T AQ )解析：23.设 3阶实对称矩阵 A的特征值 1 1， 2 2， 3 2， 1 (1，1，1) T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量，记 BA 5 4A 3 E，其中 E为 3阶单位矩阵 (1)验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量： (2)求矩阵 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 1 1 得 A 2 1 A 1 1 ，依次递推，则有 A 3 1 1 ，A 5 1 1 ， 故 B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 1 4A
24、 3 1 1 2 1 ， 即 1 是矩阵 B的属于特征值2 的特征向量 由关系式 BA 5 4A 3 E 及 A的 3个特征值 1 1， 2 2， 3 2 得 B的 3个特征值为 1 2， 2 1， 3 1 设 2 ， 3 为 B的属于 2 3 1 的两个线性无关的特征向量，又由 A为对称矩阵，则 B也是对称矩阵，因此 1 与 2 、 3 正交，即 1 T 2 0， 1 T 3 0 因此 2 ， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 (1，1，1) 0， 得其基础解系为： ，故可取 即B的全部特征值的特征向量为： ，其中 k 1 0，k 2 ，k 3 ，不同时为零 )解析：24.A
25、为 3阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： r(A)23，因此 A有一个特征值为 0，另外两个特征值分别是 1 1， 2 1 由上式知， 1 1， 2 1 对应的特征向量为 设 3 0 对应的特征向量为 两两正交，于是得 由此得 是特征值 0对应的特征向量 因此 k 1 2 ，k 2 2 ，k 3 依次对应于特征值1，1，0 的特征向量，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意非零常数 (2)由于 APP -1 其中 故 )解析：25.设 A为正交阵，且A1，证明 1 是 A的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 1 是 A的特征值，需证
26、AE0 因为AEAA T A(EA T )AEA T AAE，因此AE0，所以 1 是 A的特征值)解析：26.已知 3阶矩阵 A的特征值为 1，2，3，求A * 3A2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A12(3)60，所以 A可逆，故 A * AA -1 6A -1 A * 3A2E6A -1 3A2E 设 为 A的特征值，则6 -1 32 为6A -1 3A2E的特征函数 令 ()6 -1 32，则(1)1，(2)5，(3)5 是6A -1 3A2E的特征值，故 A * 3A2E6A -1 3A2E (1).(2).(3) (1)5(5)25)解析：27.已知 P 是矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 是特征向量 p所对应的特征值，根据特征值的定义，有 (AE)P0， 解得 a3，b0，且 P所对应的特征值 1 (2)A 的特征多项式为 AE (1) 3 ， 得 A的特征值为 1(三重) 故若 A能相似对角化，则特征值 1 有 3个线性无关的特征向量，而 )解析：
