【考研类试卷】考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷3及答案解析.doc

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1、考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷 3及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A是 n阶实对称矩阵,P 是 n阶可逆矩阵,已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量,则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )(分数:2.00)A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 3.n阶矩阵 A具有 n个线性无关的特征向量是 A与对角矩阵相似的( )(分数:2.00)A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分

2、条件D.既非充分也非必要条件4.则 A与 B( ) (分数:2.00)A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似5.设三阶矩阵 A的特征值是 0,1,1,则下列命题中不正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 AE 和对角矩阵相似C.矩阵 A属于 1与1 的特征向量相互正交D.方程组 A0 的基础解系由一个向量构成6.已知 A是一个 3阶实对称正定的矩阵,那么 A的特征值可能是( )(分数:2.00)A.3,i,1B.2,1,3C.2,i,4D.1,3,47.下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )(分数:2.00)A.B.C.D.8.设 A为

3、 3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,y,z)A 1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则 A的正特征值的个数为( ) (分数:2.00)A.0B.1C.2D.39.设 1 , 2 是矩阵 A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1 , 2 ,则 ,A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是( )(分数:2.00)A. 1 0B. 2 0C. 1 0D. 2 0二、填空题(总题数:7,分数:14.00)10.已知 12 是 A (分数:2.00)填空项 1:_11.设 A是 3阶矩阵,如果矩阵 A的每行元素的和都是 2,则矩阵 A必定有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设

4、 (1,1,) T ,(1,a,2) T ,AE T ,且 3 是矩阵 A的特征值,则矩阵A属于特征值 3 的特征向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_13.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_14.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_15.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_16.已知 A (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2, 1 2 6 是 A的二重特征值,若 1 (1,1,0) T , 2 (2,1,1)

5、 T , 3 (1,2,3) T 都是 A属于 6 的特征向量,求矩阵 A(分数:2.00)_19.证明:已知 1 , 2 , 3 是 A的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关,如 1 2 3 仍是 A的特征向量,则 1 2 3 (分数:2.00)_20.设 3阶对称阵 A的特征值为 1 6, 2 3 3,其中与特征值 1 6 对应的特征向量为 P 1 (1,1,1) T ,求 A(分数:2.00)_21.已知非齐次线性方程组 (分数:2.00)_22.设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3,向量 1 (1,2,1) T , 2 (0,1,1) T 是线性方程组 A0

6、 的两个解 (1)求 A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵 Q和对角矩阵 A,使得 Q T AQ(分数:2.00)_23.设 3阶实对称矩阵 A的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1,1,1) T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量,记 BA 5 4A 3 E,其中 E为 3阶单位矩阵 (1)验证 1 是矩阵 B的特征向量,并求 B的全部特征值与特征向量: (2)求矩阵 B(分数:2.00)_24.A为 3阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (分数:2.00)_25.设 A为正交阵,且A1,证明 1 是 A的特征值(分数:2.00)_26.已知 3阶矩阵 A的特征值为 1,2,

7、3,求A * 3A2E(分数:2.00)_27.已知 P 是矩阵 A (分数:2.00)_考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷 3答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A是 n阶实对称矩阵,P 是 n阶可逆矩阵,已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量,则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )(分数:2.00)A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 解析:解析:设 B是矩阵(P -1 AP -1

8、)属于 的特征向量,并考虑到 A为实对称矩阵 A T A,有 (P -1 AP) T ,即 P T A(P -1 ) T 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ,同时考虑到A,可得选项 B正确,即 左端P T A(P -1 ) T (P T )P T AP T P T 右端 所以府诜 B3.n阶矩阵 A具有 n个线性无关的特征向量是 A与对角矩阵相似的( )(分数:2.00)A.充分必要条件 B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析:解析:若 AA ,则有可逆矩阵 P使 P -1 AP,或 APP令 P( 1 , 2 , n ),即 A( 1 , 2 , n )( 1

9、 , 2 , n ) (a 1 1 ,a 2 2 ,a n n ) 从而有 A i a i i ,i1,2,n 由 P可逆,即有 i 0,且 1 , 2 , n 线性无关根据定义可知 1 , 2 , n 是 A的 n个线性无关的特征向量 反之,若 A有 n个线性无关的特征向量 1 , 2 , n ,且满足 A i i i ,i1,2,n 那么,用分块矩阵有 A( 1 , 2 , n )( 1 , 2 , n ) 4.则 A与 B( ) (分数:2.00)A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析:解析:由AE (4) 3 0 可得 A的特征值 1 4, 2 3 4

10、0又因为 A为实对称矩阵,所以必存在正交矩阵 P,使得 P -1 APP T AP 5.设三阶矩阵 A的特征值是 0,1,1,则下列命题中不正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 AE 和对角矩阵相似C.矩阵 A属于 1与1 的特征向量相互正交 D.方程组 A0 的基础解系由一个向量构成解析:解析:因为矩阵 A的特征值是 0,1,1,所以矩阵 AE 的特征值是1,0,2由于 0 是矩阵 AE 的特征值,所以 AE 不可逆故命题 A正确 因为矩阵 AE 的特征值是 1,2,0,矩阵AE 有三个不同的特征值,所以 AE 可以相似对角化命题 B正确(或由 AA EAE

11、而知AE 可相似对角化) 因为矩阵 A有三个不同的特征值,知 AA6.已知 A是一个 3阶实对称正定的矩阵,那么 A的特征值可能是( )(分数:2.00)A.3,i,1B.2,1,3C.2,i,4D.1,3,4 解析:解析:因为实对称矩阵的特征值都是实数,故选项 A,C 都不正确;又因为正定矩阵的特征值均为正数,故选项 B也不正确;应用排除法,答案为 D7.下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:选项 A是实对称矩阵,实对称矩阵必可以相似对角化 选项 B是下三角矩阵,主对角线元素就是矩阵的特征值,因而矩阵有三个不同的特征值,所以矩阵必可以相似对角

12、化 选项 C是秩为 1的矩阵,因为EA 3 4 2 ,可知矩阵的特征值是 4,0,0对于二重根 0,由秩 r(0EA)r(A)1 可知齐次方程组(0EA)0 的基础解系有 312 个线性无关的解向量,即0 有两个线性无关的特征向量,从而矩阵必可以相似对角化 选项 D是上三角矩阵,主对角线上的元素 1,1,1 就是矩阵的特征值,对于二重特征值 1,由秩 r(EA) 8.设 A为 3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,y,z)A 1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则 A的正特征值的个数为( ) (分数:2.00)A.0B.1 C.2D.3解析:解析:此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方

13、程为9.设 1 , 2 是矩阵 A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1 , 2 ,则 ,A( 1 2 )线性无关的充分必要条件是( )(分数:2.00)A. 1 0B. 2 0 C. 1 0D. 2 0解析:解析:令 k 1 1 k 2 A( 1 2 )0,则 k 1 1 k 2 1 1 k 2 2 2 0,即(k 1 k 2 1 ) 1 k 2 2 2 0 因为 1 , 2 线性无关,于是有 二、填空题(总题数:7,分数:14.00)10.已知 12 是 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:因为 12 是 A的特征值,因此12EA0,即 12E

14、A11.设 A是 3阶矩阵,如果矩阵 A的每行元素的和都是 2,则矩阵 A必定有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(1,1,1) T)解析:解析:已知矩阵 A的每行的元素的和都是 2,因此有 即 , 也就是 12.设 (1,1,) T ,(1,a,2) T ,AE T ,且 3 是矩阵 A的特征值,则矩阵A属于特征值 3 的特征向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k(1,1,1) T ,k0)解析:解析:令 B T ,因为矩阵 B的秩是 1,且 T a1,由此可知矩阵 B的特征值为a1,0,0那么 AEB 的特征值为 a2,1,1

15、 因为 3 是矩阵 A的特征值,因此 a23,可得 a1那么就有 B( T )( T )2 (1,1,1) T 是矩阵 B属于特征值2 的特征向量,因此也就是矩阵 A属于特征值 3 的特征向量13.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为EA (2)(3) 2 所以矩阵 A的特征值分别为 2,3,3,可见矩阵 A的特征值有重根,已知矩阵 A和对角矩阵相似,因此对应于特征根 3有两个线性无关的特征向量,因此可得(3EA)0 有两个线性无关的解,因此矩阵 3EA 的秩为 1 3EA 14.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:

16、正确答案:1)解析:解析:A 的特征多项式为 EA (1) 3 所以矩阵 A的特征值是1,且为3重特征值,但是 A只有两个线性无关的特征向量,即 r(EA) 15.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2,2,2)解析:解析:因为如果矩阵 A有 n个不同的特征值,则对应的 n个特征向量是线性无关的已知矩阵 A只有一个线性无关的特征向量,所以 A的特征值必定是三重根,否则 A至少应该有两个不同的特征值,同时也会有两个线性无关的特征向量 由于主对角元素的和等于所有特征值的和,因此可知 1233,进一步可知 1 2 3 216.已知 A (分数:2.00)填空项 1:

17、_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:由 A的特征方程 EA (1)( 2 1)0, 因此 A的特征值是1(二重),1 因为 A有 3个线性无关的特征向量,因此 1 定有两个线性无关的特征向量,因此必有 r(EA)321,根据 EA 三、解答题(总题数:11,分数:22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:18.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2, 1 2 6 是 A的二重特征值,若 1 (1,1,0) T , 2 (2,1,1) T , 3 (1,2,3) T 都是 A属于 6 的特征向量,求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:

18、由 r(A)2 知,A0,所以 0 是 A的另一特征值 因为 1 2 6 是实对称矩阵的二重特征值,故 A属于 6 的线性无关的特征向量有两个,因此 1 , 2 , 3 必线性相关,显然 1 , 2 线性无关 设矩阵 A属于 0 的特征向量 ( 1 , 2 , 3 ) T ,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 解出此方程组的基础解系(1,1,1) T 根据 A( 1 , 2 ,)(6 1 ,6 2 ,0),因此 A(6 1 ,6 2 ,0)( 1 , 2 , 3 ) -1 )解析:19.证明:已知 1 , 2 , 3 是 A的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无

19、关,如 1 2 3 仍是 A的特征向量,则 1 2 3 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 1 2 3 是矩阵 A属于特征值 的特征向量,即 A( 1 2 3 )( 1 2 3 ) 又 A( 1 2 3 )A 1 A 2 A 3 1 1 2 2 3 3 ,于是有 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) 3 0 因为 1 , 2 , 3 线性无关,故 1 0, 2 0, 3 0 即 1 2 3 )解析:20.设 3阶对称阵 A的特征值为 1 6, 2 3 3,其中与特征值 1 6 对应的特征向量为 P 1 (1,1,1) T ,求 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 A

20、是对称阵,必存在正交阵 Q,使得 Q T AQQ -1 AQ , 即AQQ T 设 Q( 1 , 2 , 3 ),则特征值 1 6 对应的单位特征向量为 1 从而 A3EQ(A3E)Q T 因此 AQ(A3E)Q T 3E )解析:21.已知非齐次线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)设 1 , 2 , 3 是方程组 A 的 3个线性无关的解,其中 则有 A( 1 2 )0,A( 1 3 )0 因此 1 2 , 1 3 是对应齐次线性方程组 A的解,且线性无关(否则,易推出 1 , 2 , 1 3 线性相关,矛盾) 所以nr(A)2,即 4r(A)2,那么 r(A)2 又

21、矩阵 A中有一个 2阶子式 10,所以 r(A)2 因此 r(A)2 (2)因为 又 r(A)2,则有 对原方程组的增广矩阵 作初等行变换, 故原方程组与下面的方程组同解 选 3 , 4 为自由变量,则 故所求通解为 )解析:22.设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3,向量 1 (1,2,1) T , 2 (0,1,1) T 是线性方程组 A0 的两个解 (1)求 A的特征值与特征向量; (2)求正交矩阵 Q和对角矩阵 A,使得 Q T AQ(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为矩阵 A的各行元素之和均为 3,所以有 则由特征值和特征向量的定义知,3 是矩阵 A的特征值,

22、(1,1,1) T 是对应的特征向量对应 3 的全部特征向量为k(1,1,1) T ,其中 k为不为零的常数 又由题设知 A 1 0,A 2 0,即 A 1 0. 1 ,A 2 0. 2 ,而且 1 , 2 线性无关,所以 0 是矩阵 A的二重特征值, 1 , 2 是其对应的特征向量,因此对应 0 的全部特征向量为 k 1 1 k 2 2 k 1 ,(1,2,1) T k 2 (0,1,1) T ,其中 k 1 ,k 2 为不全为零的常数 (2)因为 A是实对称矩阵,所以 与 1 , 2 正交,所以只需将 1 与 2 正交 由施密特正交化法,取 1 1 2 2 再将 , 1 , 2 单位化,得

23、 令 Q( 1 , 2 , 3 ),则 Q -1 Q T ,由 A是实对称矩阵必可相似对角化,得 Q T AQ )解析:23.设 3阶实对称矩阵 A的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1,1,1) T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量,记 BA 5 4A 3 E,其中 E为 3阶单位矩阵 (1)验证 1 是矩阵 B的特征向量,并求 B的全部特征值与特征向量: (2)求矩阵 B(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 A 1 1 得 A 2 1 A 1 1 ,依次递推,则有 A 3 1 1 ,A 5 1 1 , 故 B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 1 4A

24、 3 1 1 2 1 , 即 1 是矩阵 B的属于特征值2 的特征向量 由关系式 BA 5 4A 3 E 及 A的 3个特征值 1 1, 2 2, 3 2 得 B的 3个特征值为 1 2, 2 1, 3 1 设 2 , 3 为 B的属于 2 3 1 的两个线性无关的特征向量,又由 A为对称矩阵,则 B也是对称矩阵,因此 1 与 2 、 3 正交,即 1 T 2 0, 1 T 3 0 因此 2 , 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解,即 (1,1,1) 0, 得其基础解系为: ,故可取 即B的全部特征值的特征向量为: ,其中 k 1 0,k 2 ,k 3 ,不同时为零 )解析:24.A

25、为 3阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: r(A)23,因此 A有一个特征值为 0,另外两个特征值分别是 1 1, 2 1 由上式知, 1 1, 2 1 对应的特征向量为 设 3 0 对应的特征向量为 两两正交,于是得 由此得 是特征值 0对应的特征向量 因此 k 1 2 ,k 2 2 ,k 3 依次对应于特征值1,1,0 的特征向量,其中 k 1 ,k 2 ,k 3 为任意非零常数 (2)由于 APP -1 其中 故 )解析:25.设 A为正交阵,且A1,证明 1 是 A的特征值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:要证 1 是 A的特征值,需证

26、AE0 因为AEAA T A(EA T )AEA T AAE,因此AE0,所以 1 是 A的特征值)解析:26.已知 3阶矩阵 A的特征值为 1,2,3,求A * 3A2E(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为A12(3)60,所以 A可逆,故 A * AA -1 6A -1 A * 3A2E6A -1 3A2E 设 为 A的特征值,则6 -1 32 为6A -1 3A2E的特征函数 令 ()6 -1 32,则(1)1,(2)5,(3)5 是6A -1 3A2E的特征值,故 A * 3A2E6A -1 3A2E (1).(2).(3) (1)5(5)25)解析:27.已知 P 是矩阵 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)设 是特征向量 p所对应的特征值,根据特征值的定义,有 (AE)P0, 解得 a3,b0,且 P所对应的特征值 1 (2)A 的特征多项式为 AE (1) 3 , 得 A的特征值为 1(三重) 故若 A能相似对角化,则特征值 1 有 3个线性无关的特征向量,而 )解析:

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