1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 4及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶矩阵 A的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不
2、对4.设 A是 n阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则-1 一定是矩阵 A的特征值B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A的特征值C.若矩阵 A的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A的特征值D.若 A是正交矩阵，且 A的特征值之积小于零，则-1 一定是 A的特征值二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_6.设三阶矩阵 A的特征值为 1 =-1， 2 = （分数：2.00）填空项 1:_7.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ，
3、3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_8.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：34.00)10.解答题解答应写
4、出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 A为 n阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求5E+A（分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).a及可逆阵 P，使得 P -1 AP=A，其中 A为对角阵（分数：2.00）_(2).A 100 （分数：2.00）_12.设 A= （分数：2.00）_13.设 A= （分数：2.00）_设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角阵；（分数：2.00）_(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ为对角阵（分数：2.00）_设矩阵 A= （分数：4.00）(1).若
5、A有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P为对角矩阵（分数：2.00）_设矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：2.00）_(2).判断 A可否对角化（分数：2.00）_设 A为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3（分数：4.00）(1).求矩阵 A的全部特征值；（分数：2.00）_(2).求A * +2E（分数：2.00）_14.设 A为三阶矩阵，且有三
6、个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E的特征值为 0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_(2).判断 A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 4答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
7、题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三阶矩阵 A的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ，- 3 ，2 1 也是特征值 1，2，-1 的特征向量，所以 P -1 AP= 3.设 A，B 为 n阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对 解析：解析：令 A=4.设 A是 n阶矩阵，下列命题错误的是( )（分
8、数：2.00）A.若 A 2 =E，则-1 一定是矩阵 A的特征值 B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A的特征值C.若矩阵 A的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A的特征值D.若 A是正交矩阵，且 A的特征值之积小于零，则-1 一定是 A的特征值解析：解析：若 r(E+A)n，则E+A=0，于是-1 为 A的特征值；若 A的每行元素之和为-1，则 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：因为A * =A 2 =4，且A0，所以A=2，又 AA * =AE=2E，所以 A -1 = ，从而
9、A -1 的特征值为 6.设三阶矩阵 A的特征值为 1 =-1， 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P -1 (A -1 +2E)P=P -1 A -1 P+2E， 而 P -1 A -1 P= 7.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )
10、+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，即 ，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 8.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P可逆，由AP=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 9.设 A为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0的解， 2 =(a，1，1-
11、a) T 是方程组(A+E)X=0的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX=0及(A+E)X=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =-1为矩阵 A的特征值， 1 =(a，-a，1) T ， 2 =(a，1，1-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 三、解答题(总题数：11，分数：34.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设 A为 n阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求5E+A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =A
12、 )解析：设 A= （分数：4.00）(1).a及可逆阵 P，使得 P -1 AP=A，其中 A为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A=0 1 = 2 =1， 3 =-1 因为 A相似于对角阵，所以 r(E-A)= )解析：(2).A 100 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P -1 A 100 P=E )解析：12.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故r(2E-A)=1， 而 2E-A= ，所以 x=2，y=-2 由E-A= =(-2) 2 -6)=0 得 1 = 2 =2
13、， 3 =6 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3 = )解析：13.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A为上三角矩阵，所以 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 = 4 =-1因为A有四个线性无关的特征向量，即 A可以对角化，所以有 r(E-A)= 于是 a=0，b=0 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 1 = 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 得 3 = )解析：设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组 AX=
14、 有解但不唯一，所以A=0，从而 a=-2或 a=1 当 a=-2时，=23，方程组有无穷多解； 当 a=1时， )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A=(+3)(-3)=0 得 1 =0， 2 =3， 3 =-3 由(0E-A)X=0得 1 =0对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(3E-A)X=0 得 2 =3对应的线性无关的特征向量为 2 = 由(-3E-A)X=0 得 3 =-3对应的线性无关的特征向量为 3 = )解析：(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
15、令 = )解析：设矩阵 A= （分数：4.00）(1).若 A有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A=(-1) 2 -(a+2)+2a-1， 把 =3 代入上式得 a=2，于是 A= )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A 2 =0 得 A 2 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9 当 =1时，由(E-A 2 )X=0得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，-1，1) T ； 当=9 时，由(9E-A 2 )X=0得 =
16、(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= )解析：设矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 也是矩阵 A的特征向量，令 A= 1 ，则有 A=12，设 A的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 得 2 = 3 =2 对应的 A * 的特征值为 )解析：(2).判断 A可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2E-A= )解析：设 A为三阶矩阵， 1 ， 2
17、， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3（分数：4.00）(1).求矩阵 A的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 ( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 A )解析：(2).求A * +2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A=-5，所以 A 2 的特征值为 1，-5，-5，故 A * +2E的特征值为 3，-3，-3 从而A * +2E=27)解析：14.设
18、A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E的特征值为 0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 -4E的三个特征值为0，5，32，所以(A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6 又因为A * =36=A 3-1 ，所以A=6 由 =6，得 1 =3， 2 =2， 3 =1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A -1 的特征值为 1， )解析：设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 =2 1 ，得 )解析：(2).判断 A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =0，得 1 = 2 =2， 3 =1 由(2E-A)X=0，得 1 = ，由(-E-A)X=0，得 3 = 显然 A可对角化，令 P= )解析：
