1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 18 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AE。B.2AE。C.A+2E。D.A 一 4E。3.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值。B.至少是 A 的二重特征值。C.至多是 A 的二重特征值。D.一重、二重、三重
2、特征值都有可能。4.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。C. 1 =0。D. 2 =0。5.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A2。C.A 2 一 A。D.A 2 +2A 一 3。6.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.EA=EB。B.A
3、 与 B 有相同的特征值和特征向量。C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵。D.对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似。7.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，一 2 )，则 P 1 AP=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 一 2A 2 ，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.不能确定。二、填空题(总题数：9，分数：18.
4、00)10.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 =(1，3，2) T ，=(1，一 1，一 2) T ，A=E 一 B T ，则 A 的最大的特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00
5、）填空项 1:_17.设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 1 ， 2 ，2 2 )，则 P 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设二阶实对称矩阵 A 的一个特征值为 i =1，属于 1 的特征向量为(1，一 1) T ，若A=一 2，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：26.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_20.设矩阵 A= （分数：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).求参数 a，b 及特征向量 p 所对应的特征值；（分数：2.00
6、）_(2).问 A 能不能相似对角化?并说明理由。（分数：2.00）_21.设矩阵 A= （分数：2.00）_22.设矩阵 A= （分数：2.00）_设 A 是三阶方阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量组，且 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 3 + 1 ，A 3 = 1 + 2 。（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).A 是否可对角化?（分数：2.00）_设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =(1，l，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T 。（分数：4.00
7、）(1).将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示；（分数：2.00）_(2).求 A n 。（分数：2.00）_设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。（分数：4.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分数：2.00）_23.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求 A。（分数：2.00
8、）_24.28已知矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 18 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AE。B.2AE。C.A+2E。 D.A 一 4E。解析：解析：因为 A * 的特征值是 1，一 1，2，4，所以A * =一 8，又A * =A 41 ，因此A 3 =一 8
9、，于是A=一 2。那么，矩阵 A 的特征值是：一 2，2，一 1，一 。因此，A 一 E的特征值是一 3，1，一 2，一 3.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值。B.至少是 A 的二重特征值。 C.至多是 A 的二重特征值。D.一重、二重、三重特征值都有可能。解析：解析：A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。r(A)=l，即 r(OEA)=1，(OEA)x=0 必有两个线性无关的特征向量，故 =0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如 A=4.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对
10、应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。 C. 1 =0。D. 2 =0。解析：解析：令 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，则(k 1 +k 2 1 ) 1 +k 2 2 2 =0。 因为 1 ， 2 线性无关，所以 k 1 +k 2 1 =0，且 k 2 2 =0。 当 2 0 时，显然有 k 1 =0，k 2 =0，此时 1 ，A( 1 + 2 )线性无关；反过来，若 1 ，A( 1 + 2 )线性无关，则必然有 2 0(否则， 1 与 A( 1 + 2 )= 1 1 线性相关
11、)，故应选 B。5.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A2。C.A 2 一 A。 D.A 2 +2A 一 3。解析：解析：因为 A 3 +2A 2 一 3A=0。故 (A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A 2 一 A)。 因为，A，A 2 线性无关，必有 A 2 一 A0，所以 A 2 一 A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量。所以应选 C。6.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似
12、，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.EA=EB。B.A 与 B 有相同的特征值和特征向量。C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵。D.对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似。 解析：解析：因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确。 对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。 综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B。 于是 P 1 (tEA)P=
13、tE 一 P 1 AP=tE 一 B， 可见对任意常数 t，矩阵 tE 一 A 与 tE 一 B 相似。所以应选 D。7.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项 A 中，r(A)=1，r(B)=2，故 A 和 B 不相似。选项 B 中，tr(A)=9，tr(B)=6，故 A、和 B不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为 2，2，一 3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，一 3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。 事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A
14、和 B 均相似于对角矩阵8.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，一 2 )，则 P 1 AP=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 A 2 =3 2 ，有 A(一 2 )=3(一 2 )，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =一2 的特征向量。 当 P 1 AP= 时，P 由 A 的特征向量构成， 由 A 的特征值构成，且 P 与 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，
15、3，一 2，故对角矩阵 应当由 1，3，一 2 构成，因此排除选项 B、C。由于 2 3 是属于 =一 2 的特征向量，所以一 2 在对角矩阵 9.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 一 2A 2 ，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.1。 B.2。C.3。D.不能确定。解析：解析：因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP= ， 于是 P 1 BP=P 1 (A 3 一 2A 2 )P=P 1 A 3 P 一 2P 1 A 2 P=(P 1 AP) 3 一 2(P 1 AP) 2 二、填空题(总题数：9，分数
16、：18.00)10.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：矩阵 A 的特征多项式为 E 一 A= 11.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 =12 是 A 的特征值，因此12EA=0，即 12EA=12.已知 =(1，3，2) T ，=(1，一 1，一 2) T ，A=E 一 B T ，则 A 的最大的特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是 T 的特征值为 0，0，tr( T
17、)，其中 tr( T )= T =一 6。所以 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，则 A的最大的特征值为 7。13.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 T =2，所以( T )=( T )=2，故 T 的非零特征值为 2。14.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足15.已知矩阵 A= （分数：2.0
18、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。 由主对角元素的和等于所有特征值的和可知 1+2+3=3，故 1 = 2 = 3 =2。16.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A 与 B 相似，则 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r(A)+r(A 一2E)=r(B)+r(B 一 2E)=2+1=3。17.设三阶方阵 A 的特征值是
19、1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 1 ， 2 ，2 2 )，则 P 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 3 ， 1 ，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 P 1 AP= 18.设二阶实对称矩阵 A 的一个特征值为 i =1，属于 1 的特征向量为(1，一 1) T ，若A=一 2，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设矩阵 A 的特征值 1 =1 和 2 对应的特征向量分别为 1 =(1，一 1) T 和 2 =(
20、x 1 ，x 2 ) T 。 实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵 Q，使得 Q 1 AQ= 。而相似矩阵的行列式相等，所以一 2=A= = 2 ，即 2 =一 2。 又实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1 T 2 =0，即 x 1 一 x 2 =0。方程组 x 1 一 x 2 =0 的基础解系为 2 =(1，1) T 。 令 Q=( 1 ， 2 )= ，则 三、解答题(总题数：10，分数：26.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：20.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =AE=一 E。对于 A * = 0
21、，用 A 左乘等式两端，得 0 A=一，即 ， 由此可得 (1)一(3)得 0 =1。将 0 =1 代入(2)和(1)，得 b=一 3，a=c。 由A=一 1 和 a=c，有 )解析：已知 （分数：4.00）(1).求参数 a，b 及特征向量 p 所对应的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有(AE)p=0，即从而有方程组 )解析：(2).问 A 能不能相似对角化?并说明理由。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式 AE= =一(+1) 3 ， 得 A 的特征值为 =一 1(三重)。 若 A 能相似对角化，
22、则特征值 =一 1 有三个线性无关的特征向量，而 A+E= )解析：21.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 E 一 A= =( 一 2)( 2 一 8+18+3a)。 如果 =2 是单根，则 2 一 8+18+3a 是完全平方，必有 18+3a=16，即 a= )解析：22.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 EA= =(+1) 2 ( 一 1)， 则 A 的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =1。 矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值 =一 1 的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组
23、(一 EA)x=0 有两个线性无关的解向量，则 r(A+E)=1。对矩阵 A+E 作初等行变换得 当 k=0 时，r(A+E)=1。此时，由(一 E 一 A)x=0 解得属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量为 1 =(一 1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ；由(EA)x=0 解得属于特征值 1 的特征向量为 3 =(1，0，1) T 。 令可逆矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P 1 AP= )解析：设 A 是三阶方阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量组，且 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 3 + 1 ，A 3 = 1 + 2 。（分数：4.00）
24、(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 2 + 3 0， 2 一 1 0， 3 一 1 0，且由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，A( 2 一 1 )=一( 2 一 1 )，A( 3 一 1 )=一( 3 一 1 )可知矩阵 A 的特征值为 2 和一 1。又由 1 ， 2 ， 3 线性无关可知 2 一 1 ， 3 一 1 也线性无关，所以一 1 是矩阵 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为2，一 1，一 1。)解析：(2).A 是否可对角化?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为
25、 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 ( 1 + 2 + 3 ， 2 一 1 ， 3 一 1 )=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =(1，l，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T 。（分数：4.00）(1).将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 )解析：(2).求 A n 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=2A 1 一 2A 2 +A 3 ，则
26、由题设条件及特征值与特征向量的定义可得 A n =2A n 1 一 2A n 2 +A n 3 =2 1 一 22 n 2 +3 n 3 = )解析：设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。（分数：4.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有 )解析：(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1 ，
27、 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。由施密特正交化法，取 1 = 1 ， 2 = 2 。 再将 ， 1 ， 2 单位化，得 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q 1 =Q T ，且 Q T AQ= )解析：23.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 =1，对应于 1 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A 的属于特征值 =1 的特征向量为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 。 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1 T x=0，即 x 2 +x 3 =0。方程组 x 2
28、+x 3 =0 的基础解系为 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，一 1，1) T 。 )解析：24.28已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 =5 是矩阵 A 的特征值，则由 5E 一 A= =3(4 一 a 2 )=0， 可得a=2。 当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式 E 一 A= =( 一 2)( 一 5)( 一 1)， 矩阵 A 的特征值是 1，2，5。 由(E 一 A)x=0 得基础解系 1 =(0，1，一 1) T ；由(2E 一 A)x=0 得基础解系 2 =(1，0，0) T ； 由(5EA)x=0 得基础解系 3 =(0，1，1) T 。即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则 )解析：
