1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 1及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 A （分数：2.00）A.1，0，2B.1，1，3C.3，0，2D.2，0，33.已知 A是 4阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A2ED.A4E4.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A -1D
2、.AE5.已知 (1，2，3) T 是矩阵 A （分数：2.00）A.a2，b6B.a2，b6C.a2，b6D.a2，b66.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量口是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4)E （分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个7.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A的特征向量C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A的特征向量D.若 是 2A的特征向量
3、，那么 是 A的特征向量8.已知三阶矩阵 A与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 3A2A 2 ，那么矩阵 A属于特征值 3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.B.A2C.A 2 AD.A 2 2A3二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设三阶方阵 A的特征值分别为2，1，1，且 B与 A相似，则2B 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 3阶矩阵 A的特征值分别为 1，2，2，E 为 3阶单位矩阵，则4A -1 E 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 3阶方阵 A的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，
4、令 P(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P -1 AP 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A有一个特征值2，则 BA 2 2E 必有一个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A是 n阶矩阵，2 是 A的一个特征值，则 2A 2 3A5E 必定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A是 3阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A一定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_16.矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明
5、过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 1， 2 3 1，对应于 1 的特征向量为 1 （分数：2.00）_19.设矩阵 （分数：2.00）_20.设 3阶方阵 A的特征值为 1 2， 2 2， 3 1；对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_21.设 3阶对称阵 A的特征值 1 1， 2 1， 3 0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为 （分数：2.00）_22.设 a(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，a 1 0，Aaa T ， (1)证明 0 是 A的 n1 重特征值； (2)求A的非零特征值及 n个线性无关的特征向量（分数：2.00）_23.
6、已知 A （分数：2.00）_24.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 1 2 3 ，A 2 2 2 3 ，A 3 2 2 3 3 (1)求矩阵 A的特征值； (2)求可逆矩阵 P使得 P -1 AP（分数：2.00）_25.设矩阵 A与 B相似，且 （分数：2.00）_26.已知矩阵 A （分数：2.00）_27.设 A ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第一列为 （分数：2.00）_考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷 1答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择
7、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 A （分数：2.00）A.1，0，2B.1，1，3C.3，0，2D.2，0，3 解析：解析：根据特征值的性质： i a ii 现在a ii 1(3)11，故可排除选项C 显然，矩阵 A中第 2、3 两列成比例，易知行列式A0，故 0 必是 A的特征值，因此可排除选项 B 对于选项 A和选项 D，可以用特殊值法，由于 3.已知 A是 4阶矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A2E D.A4E解析：解析：因为
8、A * 的特征值是 1，1，2，4，所以A * 8，又A * A n-1 ，因此A 3 8，于是A2 那么，矩阵 A的特征值是：2，2，1， 因此，AE的特征值是3，1，2， 4.已知 A是 n阶可逆矩阵，那么与 A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T B.A 2C.A -1D.AE解析：解析：由于EA T (EA) T EA，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以A与 A T 有相同的特征值 由 A，0 可得到： A 2 2 ，A -1 -1 ，(AE)(1)， 说明 A 2 、A -1 、AE 与 A的特征值是不一样的(但 A的特征向量也是它们的特征向量)所以应选 A5
9、.已知 (1，2，3) T 是矩阵 A （分数：2.00）A.a2，b6 B.a2，b6C.a2，b6D.a2，b6解析：解析：设 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，按定义有 即有6.设 A是 n阶矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，n 维列向量口是矩阵 A的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4)E （分数：2.00）A.1个B.2个 C.3个D.4个解析：解析：由 A，0，有 A 2 A()A 2 ，0，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量 又 知 必是矩阵 E A属于特征值 1 7.设 A是 n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分
10、数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A的特征向量C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A的特征向量D.若 是 2A的特征向量，那么 是 A的特征向量 解析：解析：如果 是 2A的特征向量，即(2A)，0 那么 A ，所以 是矩阵 A属于特征值 的特征向量 由于(EA)0 与(EA T )0 不一定同解，所以 不一定是 A T 的特征向量 例如 8.已知三阶矩阵 A与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 3A2A 2 ，那么矩阵 A属于特征值 3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.B.A
11、2C.A 2 A D.A 2 2A3解析：解析：因为 A 3 2A 2 3A0故 (A3E)(A 2 A)00(A 2 A)， 因为，A，A 2 线性无关，那么必有 A 2 A0，所以 A 2 A 是矩阵 A3E 属于特征值0 的特征向量，即矩阵 A属于特征值 3 的特征向量所以应选 C二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设三阶方阵 A的特征值分别为2，1，1，且 B与 A相似，则2B 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：16）解析：解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有 2B2 3 10.设 3阶矩阵 A的特征值分别为
12、1，2，2，E 为 3阶单位矩阵，则4A -1 E 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据已知条件 A的特征值为 1，2，2，A -1 的特征值为 1， 11.设 3阶方阵 A的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P -1 AP 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 3 ， 1 ，2 3 分别为 A的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 P -1 AP 12.已知 A有一个特征值2，则 BA 2 2E 必有一个特征值是 1（分数
13、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 2 是 A的特征值，所以根据特征值的性质， 2 2(2) 2 26 是 BA 2 2E 的特征值13.设 A是 n阶矩阵，2 是 A的一个特征值，则 2A 2 3A5E 必定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如果 是 A的一个特征值， 是对应于 的一个特征向量，则 A，因此有 A 2 A()A 2 a 因此可知 (2A 2 3A5E)2A 2 3A5(2 2 35)， 所以 22 2 3257 一定是 2A 2 3A5E 的一个特征值14.设 A是 3阶矩阵，且各行元素的和
14、都是 5，则矩阵 A一定有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是 5，即 5，化为矩阵形式，可得 满足15.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：根据矩阵 A的特征多项式 可得矩阵 A的特征值为 7，1，1 又因为A i ，可得A7因为如果 A，则有 A * 16.矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，1 ）解析：解析：EA (2)(1 )(1 )， 所以 A的特征值为 1 2， 2 1 ， 3 1 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17
15、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设三阶实对称矩阵 A的特征值为 1 1， 2 3 1，对应于 1 的特征向量为 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设对应于 2 3 1 的特征向量为 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，根据题设，A 为实对称矩阵，因此 T 1 0，即 2 3 0，解得 2 (1，0，0) T ，(0，1，1) T 又由 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )，故有 A( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) -1 )解析：19.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(
16、正确答案：设 A的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A由于A70，所以 0 又因 A * AAE，故有 A * 于是有 B(P -1 )p -1 A * P(P -1 ) (P -1 )， (B2E)P -1 ( 2)P -1 因此， 2 为 B2E 的特征值，对应的特征向量为 P -1 由于EA (1) 2 (7)， 故 A的特征值为 1 2 1， 3 7 当 1 2 1 时，对应线性无关的两个特征向量可取为 当 3 7 时，对应的一个特征向量可取为 3 由 因此，B2E 的三个特征值分别为 9，9，3 对应于特征值 9的全部特征向量为 k 1 P -1 1 k 2 P -1 2 ，其中
17、k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数； 对应于特征值 3的全部特征向量为 k 3 P -1 3 k 3 )解析：20.设 3阶方阵 A的特征值为 1 2， 2 2， 3 1；对应的特征向量依次为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A的特征值互异，故 p 1 ，P 2 ，P 3 线性无关，令 P(p 1 ，p 2 ，p 3 )，P是可逆矩阵，则 P -1 AP 从而 APAP -1 因为 P -1 所以 )解析：21.设 3阶对称阵 A的特征值 1 1， 2 1， 3 0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A为对称阵，故必存在正交
18、阵 Q(q 1 ，q 2 ，q 3 )，使 Q T AQQ -1 AQ 由题意，可将 1 、 2 的特征向量 单位化，得 由正交矩阵的性质，q 3 可取为 0 的单位解向量，则由 可知 q 3 ，因此 )解析：22.设 a(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，a 1 0，Aaa T ， (1)证明 0 是 A的 n1 重特征值； (2)求A的非零特征值及 n个线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 为对称阵，故 A与对角阵diag( 1 ， 2 ， n )相似，其中 1 ， 2 ， n 是 A的全部特征值 因为 Aaa T 且 a0，所以 r(A)1，从而 r(
19、)1，于是只有一个非零对角元，因此 0 是 A的 n1 重特征值 (2)设 1 a T a， 2 n 0 因为 Aaaa T a(a T a)a 1 a，所以 p 1 a 是对应于 1 a T a的特征向量对于 2 n 0，解方程 A0，即 aa T 0 已知 a0，因此 a T 0，即 a 1 1 a 2 2 a n n 0，所以其余(n1)个线性无关特征向 P 2 (a 2 ，a 1 ，0，0) T ， P 3 (a 3 ，0，a 1 ，0) T ， P n (a n ，0，0，a 1 ) T )解析：23.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为： 则 A的
20、特征值为 1 2n1， 2 n1，其中n1 为重根 当 1 2n1 时，解齐次方程组( 1 EA)0，对系数作初等变换，有 得到基础解系 1 (1，1，1) T 当 2 n1 时，齐次方程组( 2 EA)0 等价于 1 2 n 0，得到基础解系 2 (1，1，0，0) T ， 3 (1，0，1，0) T ， n (1，0，0，1) T 则 A的特征向量是：k 1 2 和 k 2 2 k 3 3 k n n )解析：24.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 1 2 3 ，A 2 2 2 3 ，A 3 2 2 3 3 (1)求矩阵 A的特征值； (2
21、)求可逆矩阵 P使得 P -1 AP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由已知可得 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 3 ，2 2 3 ，2 2 3 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P 1 ( 1 ， 2 ， 3 )，B ，则有AP 1 P 1 B 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，即矩阵 P 1 可逆，所以 P 1 -1 AP 1 B，因此矩阵A与 B相似，则 EB (1) 2 (4)， 矩阵 B的特征值是 1，1，4，由相似矩阵的性质，故矩阵 A的特征值为 1，1，4 (2)由(EB)0，得矩阵 B对应于特征值 1 的特征向量 1 (1，1，0) T ， 2 (2
22、，0，1) T ；由(4EB)0，得对应于特征值 4 的特征向量 3 (0，1，1) T 令 P 2 ( 1 ， 2 ， 3 ) ，得 P 2 -1 BP 2 则 P 2 -1 P 1 -1 AP 1 P 2 即当 PP 1 P 2 ( 1 ， 2 ， 3 ) ( 1 2 ，2 1 3 ， 2 3 )时，有 P -1 AP )解析：25.设矩阵 A与 B相似，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB，则有， 于是得 a5，b6 且由 AB，知 A与 B有相同的特征值，于是 A的特征值是 1 2 2， 3 6 当 2 时，解齐次线性方程组(2EA)0 得到基础解系为 1 (1，1
23、，0) T ， 2 (1，0，1) T ，即属于 2 的两个线性无关的特征向量 当 6 时，解齐次线性方程组(6EA)0，得到基础解系是(1，2，3) T ，即属于 6 的特征向量 那么，令 P( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：26.已知矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因人=5 是矩阵 A的特征值，则由 5EA 3(4a 2 )0， 可得a2 当 a2 时，则由矩阵 A的特征多项式 EA (2)(5)(1)， 知矩阵 A的特征值是 1，2，5 由(EA)0 得基础解系 1 (0，1，1) T ； 由(2EA)0 得基础解系 2 (1，0，0) T ； 由(5EA)0 得基
24、础解系 3 (0，1，1) T 即矩阵 A属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 由于实对称矩阵不同特征值的特征。向量相互正交，故只需单位化，有 那么， 令 Q( 1 ， 2 ， 3 ) ，则有 Q -1 AQ )解析：27.设 A ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第一列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A的特征向量，设特征值是 1 ，那么 知矩阵 A的特征值是：2，5，4 对 5，由(5EA)0，对系数矩阵作初等变换 得出基础解系 2 (1，1，1) T 对 4，由(4EA)0，对系数矩阵作初等变换 得基础解系 3 (1，0，1) T 因为 A是实对称矩阵，不同的特征值特征向量相互正交，故只需单位化 1 ， 2 有 2 (1，1，1) T ， 3 (1，0，1) T 那么令 Q ，则有 Q T AQQ -1 AQ )解析：
