1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 26 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为（分数：2.00）A.EB.-EC.AD.-A3.A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 AB=CE (AB) 2 =A 2 B 2 则其中可推出 AB=BA 的有( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 n 维行向量
2、= （分数：2.00）A.0B.EC.-ED.E+ T 5.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m AP=A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)6.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1 C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -1 7.设 A，B 均是忍阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0D.AB08.设 A= P 1 = ，
3、P 2 = ，P 3 = （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 -2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.若 A -1 = （分数
4、：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A 2 -BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 A，b 都是 n 阶矩阵，证明 E-AB 可逆 （分数：2.00）_23.设 A，B 是 3 阶矩
5、阵，A 可逆，它们满足 2A -1 B=B-4E证明 A-2E 可逆（分数：2.00）_24.设 n 阶矩阵 A，B 满足 AB=aA+bB其中 ab0，证明(1)A-bE 和 B-aE 都可逆(2)AB=BA（分数：2.00）_25.A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 E+AB 都可逆，证明：B(E+AB) -1 B -1 =E-B(E+AB) -1 A（分数：2.00）_26.设 A，B 都是对称矩阵，并且 E+AB 可逆，证明(E+AB) -1 A 是对称矩阵（分数：2.00）_27.设 A，b 都是 n 阶矩阵，使得 A+B 可逆，证明 B(A+B) -1 A=A(A+B) -1
6、B（分数：2.00）_28.设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AX=B 和 XA=B 的解相同 （分数：2.00）_29.设 A= （分数：2.00）_30.(1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵（分数：2.00）_31.设 A -1 = （分数：2.00）_32.设 A= （分数：2.00）_33.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)E-B(E+AB) -1 A（分数：2.00）_34.设 A，B，C 均为 n
7、 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C -1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_35.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_36.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E-A 可逆（分数：2.00）_37.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：2.00）_38.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(E-A)(E+A) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）模拟试卷 26 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：
8、16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为（分数：2.00）A.E B.-EC.AD.-A解析：解析：由 B=E+AB 得(E-A)B=E， 由 C=A+CA 得 C(E-A)=A， 则 C(E-A)B=AB， 得 C=AB R-C=E+AB-AB=E.3.A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 AB=CE (AB) 2 =A 2 B 2 则其中可推出 AB=BA 的有( )
9、（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：和的成立是明显的是不对的，如 AB=cE，在 c0 时可推出 AB=BA，但是c=0 时则推不出 AB=BA如 4.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.0B.E C.-ED.E+ T 解析：解析：AB=(E- T )(E+2 T )=E+2 T - T -2 T T =E+ T -2 T ( T ) 注意 T = 5.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m AP=A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)解析：解析：因为 AA * =
10、A * A=AE，A m A p =A p A m =A m+p ， (A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A 2 -E， 所以(A)、(B)、(D)均正确 而 AA T = ，A T A= 6.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1 C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1 解析：解析：(A -1 +B -1 ) -1 =(EA -1 +B -1 ) -1 =(B -1 BA -1 +B -1 ) -1 =B -1 (BA -1 +AA -1 ) -1 =B -1
11、 (B+A)A -1 -1 =(A -1 ) -1 (B+A) -1 (B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B 故应选(C)7.设 A，B 均是忍阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0 D.AB0解析：解析：A= 0B= 0，但 AB=0，所以(A)，(B)均不正确 又如 A=8.设 A= P 1 = ，P 2 = ，P 3 = （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 解析：解析：把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵 B， 表示矩阵 A 的第 2
12、 列加至第 1 列，即 AP 1 ，故应在(A)、(B)中选择而 P 3 = 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：A 2 = A 3 =A 2 A= 10.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：用定义A 11 =-3，A 12 =6，A 13 =-3，A 21 =6，A 22 =-12，A 23 =6，A 31 =-3，A 32 =6，A 33 =-3，故 11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用 和 A
13、-1 = A * 易见 12.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B -1 ，故 =5(A+3E) -1 (A+2E) -1 13.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 -2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(4E-A)）解析：解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2 -2A+E=0 有 (A+2E). (4E-A)=E 所以(A+2E) -1 = 14.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正
14、确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(A * ) -1 = 所以(A * ) -1 = 15.若 A -1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(kA) * =k n-1 A * ，故(3A) * =3 2 A * ， 又 A * =AA -1 ， 而A -1 = 从而(3A) * =9A * = 16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4 或-5）解析：解析：A 不可逆 A=0而17.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析
15、：解析：由 AB-2A-B+2E=2E，有 A(B-2E)-(B-2E)=2E，则(A-E)(B-2E)=2E 于是A-E.B-2E=2E=8，而A-E=18.设 A 2 -BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 BA=A 2 -E，又 A 可逆，则有 B=(A 2 -E)A -1 =A-A -1 故 19.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XA-X=A T 有 X(A-E)=A T ，因为 A 可逆，知 X 与 A-E 均可逆 故 X=A T (A-E)
16、-1 = 20.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘 A 并把 AA * =AE 代入得 AX=E+2AX， 移项得 (AE-2A)X=E故 X=(AE-2A) -1 由A=4 知 X=(4E-2A) -1 = (2E-A) -1 = 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 A，b 都是 n 阶矩阵，证明 E-AB 可逆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用线性方程组的克拉默法则 证明“ )解析：23.设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们
17、满足 2A -1 B=B-4E证明 A-2E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 左乘 2A -1 B=B-4E 两侧得 2B=AB-4A， 即(A-2E)B=4A 由 A 可逆，得 A-2E可逆)解析：24.设 n 阶矩阵 A，B 满足 AB=aA+bB其中 ab0，证明(1)A-bE 和 B-aE 都可逆(2)AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A-bE 和 B-aE 都可逆 (A-bE)(B-aE)可逆直接计算(A-bE)(B-aE) (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE-abE 因为 ab0，得(A-bE)(B-aE)可逆 (2)利
18、用等式(A-bE)(B-aE)=abE，两边除以 ab，得 于是 )解析：25.A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 E+AB 都可逆，证明：B(E+AB) -1 B -1 =E-B(E+AB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对此等式进行恒等变形： B(E+AB) -1 B -1 =E-B(E+AB) -1 A B(E+AB) -1 =B-B(E+AB) -1 AB (用 B 右乘等式两边) B(E+AB) -1 +B(E+AB) -1 AB=B )解析：26.设 A，B 都是对称矩阵，并且 E+AB 可逆，证明(E+AB) -1 A 是对称矩阵（分数：2.00）_正确答
19、案：(正确答案：(E+AB) -1 A 对称，就是(E+AB) -1 A T =(E+AB) -1 A (E+AB) -1 A T =A(E+AB) -1 T =A(E+AB) T -1 =A(E+BA) -1 于是要证明的是 (E+AB) -1 A=A(E+BA) -1 对此式作恒等变形： (E+AB) -1 A=A(E+BA) -1 A=(E+AB)A(E+BA) -1 (用 E+AB 左乘等式两边) )解析：27.设 A，b 都是 n 阶矩阵，使得 A+B 可逆，证明 B(A+B) -1 A=A(A+B) -1 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边都加 A(A+E) -1 A
20、 后，都等于 A： B(A+E) -1 A+A(A+B) -1 A=(B+A)(A+B) -1 A=A. A(A+B) -1 B+A(A+B) -1 A=A(A+B) -1 (B+A)=A 因此 B(A+B) -1 A=A(A+B) -1 B)解析：28.设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AX=B 和 XA=B 的解相同 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX=B 的解为 A -1 B，XA=B 的解为 BA -1 AX=B 和 XA=B 的解相同即 A -1 B=BA -1 作恒等变形： A -1 B=BA -1 B=ABA -1 )解析：29.设 A
21、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵 设 X= 则 AX=XA 即： ax 1 +x 3 =ax 1 +x 2 ， ax 2 +x 4 =x 1 ， x 1 =ax 3 +x 4 ， x 2 =x 3 ， 整理得 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 的齐次线性方程组 )解析：30.(1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 B 和 A 乘积可交换，要证明 B 是对角矩阵，
22、即要说明 B 的对角线外的元素 b ij (ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1 ， 2 ， n 则 AB 的(i，j)位元素为 i b ij ，而BA 的(i，j)位元素为 j b ij .因为 AB=BA，得 a i b ij = j b ij 因为 i j ，所以 b ij =0 (2)先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c 11 ，c 22 ，c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A，使得其(i，j)位元素为 1，ij，则 CA 的(i，j)位元素为 c ii ，AC
23、 的(i，j)位元素为 c jj 于是 c ii =c jj 这里的 i，j 是任意的，从而 c 11 =c 22 =c nn )解析：31.设 A -1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(A * ) -1 = A， )解析：32.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知 B 2 =2B，B n =2 n-1 B= 而 C= 于是有 )解析：33.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)E-B(E+AB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E+BA)E-B(E+AB) -1
24、 A =E+BA-E(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A =E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E)解析：34.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C -1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因 ABAC=E，即 A -1 =BAC又CABA=E，得 A -1 =CAB 从而 BAC=CAB)解析：35.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =A
25、，B T =-B，那么(AB) T =B T A T =-BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T =-AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T =-BA=-AB，即 AB 是反对称矩阵)解析：36.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E-A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A m =0，有 E-A m =E于是 (E-A)(E+A+A 2 +A m-1 )=E-A m =E 所以 E-A可逆，且(E-A) -1 =E+A+A 2 +A m-1 )解析：37.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：2
26、.00）_正确答案：(正确答案：()由 AA * =A * A=AE 及 A * =AA -1 有 ()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 )解析：38.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(E-A)(E+A) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E-A)(E+A) T (E-A)(E+A) -1 T =(E-A)(E+A) -1 (E+A) -1 T (E-A) T =(E-A)(E+A) -1 (E+A) T -1 (E+A) =(E-A)(E+A) -1 (E-A) -1 (E+A) =(E-A)(E-A)(E+A) -1 (E+A) =(E-A)(E+A)(E-A) -1 (E+A) =(E-A)(E-A) -1 (E+A) -1 (E+A)=E 所以 (E-A)(E+A) -1 是正交矩阵)解析：
