1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f(0)存在，则（A）在 x=0 处无极限（B） x=0 为其可去间断点（C） x=0 为其跳跃间断点（D）x=0 为其第二类间断点2 设 则 f(x)( )（A）无间断点（B）有间断点 x=1（C）有间断点 x=一 1（D）有间断点 x=03 设 其中 a，b 为常数，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=一 1（C） a=一 1，b=1（D）a= 一 1，b=一 14 f(x)在 一 1，1上连续，则 x=0 是函数 的
2、( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点二、填空题5 6 7 若 则 a=_，b=_8 设 x0 时，lncosax一 2xb(a0)，则 a=_，b=_9 10 若 在 x=0 处连续，则 a=_11 设 在 x=0 处连续，则 a=_12 设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若 在 x=0 处连续，则 A=_13 设 f(x)连续，且 则14 设 f(x)可导且 在 x=0 处连续，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 求 a，b 的值16 (1)设 求 a，b 的值 (2)确定常数 a，b，使得(3)设 b0，
3、且求 b17 设 求 a，b 的值18 设 求 a，b，c ，d 的值19 设 是连续函数，求 a，b 的值20 确定正数 a，b 的值，使得21 (1)求常数 m，n 的值，使得 (2)设当 x0 时，x 一(a+b cosx)sinx 为 x 的 5 阶无穷小，求 a，b (3) 设当 x0 时，求 a，b22 设 证明：a n收敛，并求23 设 a1=1， 证明：数列a n收敛，并求24 设 x1=2， 求25 设 a1=1，a 2=2，3a n+24an+1+an=0，n=1，2， ，求26 27 讨论函数 的连续性28 讨论函数 的连续性29 设 求 f(x)的间断点并判断其类型30
4、 设 求 f(x)的间断点，并判断其类型31 求 的间断点并判断其类型32 设 求 f(x)的间断点并判断其类型33 设 试补充定义使得上连续34 设 求 f(x)的间断点及分类考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(0)存在，所以 f(x)在 x=0 处连续，又因为 f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为所以 x=0 为 g(x)的可去间断点，选(B)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 当|x|1 时，f(
5、x)=1+x；当|x| 1 时，f(x)=0；当 x=一 1 时，f(x)=0；当 x=1 时，f(x)=1于是 显然 x=1 为函数 f(x)的间断点，选(B) 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以 即 a=1， 又选(B)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为所以 x=0 为 g(x)的可去间断点，选 A.【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题5 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
6、8 【正确答案】 因为 ln(cosax)=ln1+(cosax1)cosax 一 1 ， 所以得到b=2，解得 a=2，b=2【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 故 a=2【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 因为所以 a=e-1【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 因为 F(x)在 x=0 处连续，所以 A=a+b【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 由得 因为 g(x)在x=0 处连续，所以 a=3【知
7、识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由麦克劳林公式得 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 由得 则a=2，b+1=2 ，即 a=2，b=1【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 由得 c=-1， 所以a，b，c，d 满足的条件是 a=一 2d，c=一 1，b 取任意常数【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 因为 f(x)是连续函数，所以 解得a=0，b=1【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 显然b=1，且 故 a=1【知识模块】 函数、
8、极限、连续21 【正确答案】 (1)由 得 m+n+1=0， 再由得 m+2=6，解得 m=4，n= 一 5 (2)x 一(a+bcosx)sinx (x0) (3)由得 再由 g(x)=xa(ebx一 1) bxa+1 得 a=3，【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 显然a n单调增加，现证明：a n3， 当 n=1 时， 设 n=k 时，a k3， 当 n=k+1 时， 由归纳法原理，对一切的自然数 n，有 an3，所以 存在 令解得 A=3，即【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 先证明a n单调减少 a 2=0，a 21； 设 ak+1a k，由 ak+1k
9、得 1 一 ak+11 一 ak， 从而即 ak+2k+1，由归纳法得数列a n单调减少 现证明由归纳法，对一切 n，有 由极限存在准则，数列a n收敛，设两边求极限得 解得【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 由 3an+24an+1+an=0，得 3(an+2 一 an+1)=an+1 一 an(n=1，2，) 令 bn=an+1a n，则 bn+1b n=13(n=1 ，2，)， 由 b1=1，得即 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 当 x0，1 时，由 积分得而 由夹逼定理得【知识模块】 函数、极限、连续27
10、 【正确答案】 当 x0 时，函数 f(x)连续， f(0)=1，x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 当 x(0，e) 时，当 x=e 时，f(e)=1， 当 xe时， 故因为 f(e0)=f(e)=f(e+0)=1，所以 f(x)在 x0 处处连续【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 显然函数 f(x)的间断点为 x=0 和 x=1 因为 x0 时，所以 即 x=0 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点； 因为 所以 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案
11、】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0 一 0)f(0+0)，所以 x=0 为 f(x)的跳跃间断点 因为 f(10)f(1+0)，所以 x=1 为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 x=一 1，x=0 ，x=1，x=2 为 f(x)的间断点， 由limf(x)=得 x=1 为第二类间断点， 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 当 x=0 及 x=1 时 f(x)间断 由 f(0 一 0)=0，f(0+0)=一得 x=0为 f(x)的第二类间断点 由 得 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点， 同理 x=一 1 也为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 因为所以令 则 f(x)在 上连续.【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 显然 x=0 及 x=1 为 f(x)的间断点 则 x=0 为f(x)的可去间断点； 因为 f(1 一 0)f(1+0)，所以 x=1 为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续
