1、考研数学三（概率统计）-试卷 26 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 0P(C)1，且 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)C.P(A+B)=P(A|C)+P(B|C)D.P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|A)4.以下命题正确的是( )（分数：
2、2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=05.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与 C 独立B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与 C 不独立D.A+B 与 C 对立6.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1
3、 ，A 2 ，A 3 两两独立C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立7.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容8.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.0
4、0）A.A 与 BC 相互独立B.AB 与 A+C 相互独立C.AB 与 AC 相互独立D.A+B 与 A+C 相互独立10.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面)，A 2 =第二次出现正面)，A 3 =两次中一次正面一次反面)，A 4 =(两次都出现正面)，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立C.A 2 ，A 3 ，A 3 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 3 两两独立二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 （分数：
5、2.00）填空项 1:_12.设 A，B 是两个随机事件，P(A|B)一 04，P(B|A)=04， （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(A|B)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 P(A)=06， （分数：2.00）填空项 1:_15.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10)，B=XY)，则 P(A+B)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_17.随机向区域 D：0y (a0内扔一点，该点落
6、在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_18.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤。_22.设总体 x 的密度函数为 f(x，)= （分数：2.00）_设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：4.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).该估计量是否是无偏估计量？说明理由（分数：2.00）_23.设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_24.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_25.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_26.将编号
8、为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_27.袋中有口个黑球和 6 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1ka+b)（分数：2.00）_28.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 26 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
9、目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有3.设 0P(C)1，且 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(AC+BC)=P(AC)+P(BC) C.P(A+B)=P(A|C)+P(B|C)D.P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|A)解析：解析：由 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，因为 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)=P(AB|C)，所以 P(AB|
10、C)=0，从而 P(ABC)=0，故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选(B)4.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=0 解析：解析：当 P(A)0，P(B)0 时，事件 A，B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B
11、 互斥，则 P(AB)=0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)5.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与 C 独立 B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与 C 不独立D.A+B 与 C 对立解析：解析：因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，6.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A
12、2 )P(A 3 )D.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立解析：解析：由于 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，所以 7.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容 解析：解析：P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1则 P( )=0，8.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+
13、B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于 A=AB，则9.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立 B.AB 与 A+C 相互独立C.AB 与 AC 相互独立D.A+B 与 A+C 相互独立解析：解析：在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)10.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面)，A 2 =第二次出现正面)，A 3 =两次中一次正面一次反面)，A 4 =(两次都出
14、现正面)，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 C.A 2 ，A 3 ，A 3 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 3 两两独立解析：解析： 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：因为 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，所以 P(AB)=02又因为 P( B)=P(B)一 P(AB)，P(AB)=
15、P(A)一 P(AB)，所以 P(12.设 A，B 是两个随机事件，P(A|B)一 04，P(B|A)=04， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为 P(A|B)=04，P(B|A)=04，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A)， 于是P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=13.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(A|B)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：因为 P(A|B)=P(A|B)，所以 A，B 相互独立，从而 A，B 相互独立，故 P(AB)=P
16、(A)P(B)=P(A)1 一 P(B)=0405=0214.设 P(A)=06， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 =P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=04， 再由 =P(BA)=P(B)一 P(AB)=03 得 P(B)=07， 所以15.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10)，B=XY)，则 P(A+B)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(A)=PX=4，Y=6+PX=5，Y=5+PX=6，Y=4=3 P(B)=PX=2，Y=1
17、+PX=3，Y=1+PX=3，Y=2+PX=4，Y=3 +PX=4，Y=2+PX=4，Y=1+PX=5，Y=4+PX=5，Y=3 +PX=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6，Y=5+PX=6，Y=4 +PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+PX=6Y=1= P(AB)=PX=6，Y=4)= 则 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=16.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意得 因为 =P(B)一 P(AB)，所以 P(A)=P(B)，再由独立得 P(A)一 P 2 (A)=
18、，解得 P(A)= 17.随机向区域 D：0y (a0内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：半圆的面积为 S= a 2 ，落点与原点的连线与 z 轴的夹角小于 的区域记为 D 1 ，所求概率为 18.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A i =所取产品为 i 等品(i=1，2，3)，P(A 1 )=06，P
19、(A 2 )=03，P(A 3 )=01，所求概率为 P(A 1 |A 1 +A 2 )= 19.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设一次试验中 A 发生的概率为 p，B=三次试验中 A 至少发生一次，则 P(B)= ，又P(B)=1 一 =1 一(1 一 p) 3 ，所以有 1 一(1 一 p) 3 = ，解得 p= ，即一次试验中 A 发生的概率为 20.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1
20、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A=第一件产品合格，B=第二件产品合格)，则所求概率为三、解答题(总题数：10，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.设总体 x 的密度函数为 f(x，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 E(X)=0，E(X 2 )= 一 + x 2 f(x，)dx= = 2 (3)=2 2 ， 由 E(X 2 )=A 2 = ， 得 的矩估计量为 L(x 1 ，x 2 ，x n ，)= ， 则 lnL(x 1 ，x 2 ，x n ，)=一 nln(2)一 由 (x 1 ，x 2 ，x n ，)=
21、|x i |=0， 则参数 的最大似然估计量为 )解析：设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：4.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本值，似然函数为 当 x i 0(i=1，2，n)时，lnL()=一 nln 一 =0，得 的最大似然估计值为 因此 的最大似然估计量为 )解析：(2).该估计量是否是无偏估计量？说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 E(X i )=E(X)，而 E(X)=，所以 )解析：23.设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
22、1)由于总体的均值为 E(X)= 一 + xf(x)dx= 0 1 (+1)x +1 dx= ，令 E(X)= 则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1 ，x 2 ，x n )为来自总体(X 1 ，X 2 ，X n )的观察值，则关于参数 的似然函数为 令 =0， 得参数 的最大似然估计值为 参数 的最大似然估计量为 )解析：24.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L()=f(x 1 )f(x 2 )f(x n )= (x i 0，i=1，2，n)， 则参数 的最大似然估计量为 )解析：设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：4.00）(1
23、).求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)= 一 + xf(x)dx= )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 E(X 2 )= 一 + x 2 f(x)dx= ，D(X)=E(X 2 )=E(X) 2 = )解析：25.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：参数 的似然函数为 当 x i 0(i=1，2，n)时，lnL()=nln2 一 =2n0，所以 lnL()随 的增加而增加，因为 x i (i=1，2，n)，所以参数 的最大似然估计值为 )解析：26.将编号为 1，2，3
24、的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第 i 本书正好在第 i 个位置， B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 B=A 1 +A 2 +A 3 ，且 故 P(B)=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )一 P(A 1 A 2 )一 P(A 1 A 3 )一 P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 )= )解析：27.袋中有口个黑球和 6 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1ka+b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：基本事件数 n=(a+b)!，设 A k =第 k 次取到黑球则有利样本点数为 a(a+b 一 1)!，所以 P(A k )= )解析：28.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)，则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D=(x，y)|0x24，0y24， 则 D 1 =(x，y)|y 一 xl，x 一y2，(x，y)D 则两船不需要等待的概率为 )解析：
