1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个随机事件，其中 0P(A)1，P(B)0 且 P(BA)= ，下列结论正确的是( ) （A）P(AB)=（B） P(AB)（C） P(AB)=P(A)P(B) （D）P(AB)P(A)P(B)2 设随机变量 XN(， 2)，则 P(X 一 2)( )（A）与 及 2 都无关（B）与 有关，与 2 无关（C）与 无关，与 2 有关（D）与 及 2 都有关3 设随机变量 Xi (i=1，2)，且满足 P(X1X2=0)=1，则 P(X1=X2)等于( )4 设(X，
2、Y) 服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y(l1，l 2 不全为零)服从正态分布（C） X，Y 都服从正态分布（D）=0 时 X，Y 相互独立5 设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X，Y 独立（B） X，Y 不独立（C） X，Y 相关（D）X，Y 不相关6 设随机变量 XF(m，n)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则( )（A）pq（B） pq（C） p=q（D）p，q 的大小与自由度 m 有关二、填空题7 设 P(A)=06，P(B)=05，P(AB)=04，则 P(
3、BA)=_，P(A+B)=_8 有 16 件产品，12 个一等品，4 个二等品，从中任取 3 个，至少有一个是一等品的概率为_9 设随机变量 XN(， 2)，且方程 x2+4x+X=0 无实根的概率为 ，则=_10 设随机变量 X 的分布律为 X ，则 Y=X2+2 的分布律为_11 随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 D(X)=_12 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1U0，6，X 2N(0，2 2)，X 3P(3) ，记 Y=X12X2+3X3，则 D(Y)=_13 设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9 ，相关系数为 ，则 D(3X 一 2Y)
4、=_14 设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PX E(X)2_15 设 X 为总体，E(X)= ， D(X)=2，X 1，X 2，x n 为来自总体的简单随机样本，S2= ，则 E(S2)=_16 设 UN(，1)，V 2(n)，且 U，V 相互独立，则 T= 服从_分布17 设正态总体 X 的方差为 1，根据来自总体 X 的容量为 100 的简单随机样本测得样本的均值为 5，则总体 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 袋中有 12 只球，其中红球 4 个，白球 8 个，从中一次抽取两个球，求下列事
5、件发生的概率：18 两个球中一个是红球一个是白球；19 两个球颜色相同20 设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立，每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布21 设 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)F(a)与 1 的大小关系21 随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= 22 求常数 A；23 求(X，Y)落在区域 x2+y1 内的概率23 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设A=Xa与 B=Ya相互独立，且 P(A+B)= 求：24 a；25
6、E( )26 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8 点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望27 设总体 X 的密度函数为 f(x)= ，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本(1)求 的矩估计量 ； (2)求 D( )考研数学一（概率统计）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(BA)= ，再由，整理得 P(AB)=P(A)P(B)，正确答案为 (C)【知识模块】 概率统计2 【正确答
7、案】 A【试题解析】 因为 P(X2)=P(2 X 一 2)=P(-2 2)=(2)一 (一 2)为常数，所以应该选(A) 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 P(X1=一 1，X 2=一 1)=P(X1=一 1，X 2=1)=P(X1=1，X 2=一1)=P(X1=1，X 2=1)=0，P(X 1=一 1，X 2=0)=P(X1=一 1)= ，P(X 1=1，X 2=0)=P(X1=1)= ，P(X 1=0，X 2=一 1)=P(X2=一 1)= ， P(X1=0，X 2=1)=P(X2=1)= ，故P(X1=0，X 2=0)=0，于是 P(X1=X2)=P(X
8、1=一 1，X 2=一 1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X 2=1)=0，选(A)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时， X，Y 才相互独立，选 (A)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，y)=0，于是 X，Y 不相关，选(D) 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 XF(m，m) ，所以 F(m，m)，于是 q=P(X
9、1)=P( 1)，故 p=q，选(C)【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 03，09；【试题解析】 因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(AB)=02，于是 P(BA)=P(B)一 P(AB)=0502=03，P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=060502=0 9【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 设 A=抽取 3 个产品，其中至少有一个是一等品，则 P(A)=1 一【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 4【试题解析】 因为方程 x2+4x+X=0 无实根，所以 164X0，即 X4，由XN(， 2)且 P(X4)= ，得 =4【知识
10、模块】 概率统计10 【正确答案】 Y【试题解析】 Y 的可能取值为 2，3，6，P(Y=2)=P(X=0)= ，P(Y=3)=P(X= 1)=，P(Y=6)=P(X=一 2)+P(X=2)= 则 Y 的分布律为Y 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 E(X)= xf(x)dx=1 0x(1x)dx 01x(1x)dx=0 ，E(X 2)=1 1x2(1x)dx=2 01x2(1x)dx= ，则 D(X)=E(X2)E(X) 2= 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 46【试题解析】 由 D(X1)= =3，D(X 2)=4，D(X 3)=3 得 D(Y)=D(X12
11、X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 36【试题解析】 Cov(X，Y)= =3，D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)一 12Cov(X，Y)=36 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 PXE(X)2 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 2【试题解析】 由 +2，得 E(n 一 1)S2= =n(2+2)n( +2)=(n 一 1)2 则 E(S2)=2【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 由 UN(，1)，得 =U 一 N(0，1)，又 U，V 相互独立，则 =
12、Tt(n) 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【试题解析】 XN(，1)，取统计量 N(0，1)，则 的置信度为 095的置信区间为 =(4804 ，5196) 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 令 A=抽取的两个球中一个是红球一个是白球，则 P(A)=【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 令 B=抽取的两个球颜色相同，则 P(B)= 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 设 Ti=第 i 个元件的正常工作时间，T iE() ，i=1，2 ， 6F(t)=PTt，注意Tt表示系统在0，t内一定正常工
13、作则Tt=( T 1t+ T 2t)(T 3t+T 4t)(T 5t+T 6t) ，又T1，T 2，T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)=PTt=P(T 1tT 2t) 3而 P(T 1t+ T 2t)=1 一 PT 1t，T 2t=1 一 PT 1t PT 2t=1 一1 一 FT1(T)2 所以 T 的分布函数为 F(t)= 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 F(a)+F(一 a)= ，则当 0 时，F(a)+F( 一 a)1；当 =0 时，F(a)+F(一 a)=1；当 0 时，F(a)+F(一 a)1【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 由 1=
14、dx f(x，y)dy=【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 令区域 D：x 2+y2 ，(X，Y) 落在区域 D 内的概率为 p=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p，于是 2pp2= ，即 P(A)=P(Xa)= ，而P(Xa)= a2 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 f(x)= 游客等电梯时间设为 T，则 T=，于是 E(T)= T(x)f(x)dx= 05(5 一 x)dx+525(25x)dx+ 2555(55 x)dx+5560(65x)dx=1167(分钟)【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1)E(X)= xf(x)dx=0(2)，因为 E(X2)= x2f(x)dx=0，D(X)=E(X 2)一E(X) 2= 【知识模块】 概率统计
