1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 46及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 0P(C)1，且 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)C.P(A+B)=P(AC)+P(BC)D.P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CA)3.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X，Y 的分布函数
2、分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+6F 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X 和Y都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设随机变量 X，Y 相互独立，且XN(0，4)，Y 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= P(X0)=
3、P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X M 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)=04，P(BA)=04， （分数：2.00）_12.随机向区域 D： 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积
4、成正比，则落点与原点的连线与 z轴的夹角小于 （分数：2.00）_13.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2小时，求它们不需要等的概率（分数：2.00）_设随机变量 X满足X1，且 （分数：4.00）(1).求 X的分布函数；（分数：2.00）_(2).求 P(X0)（分数：2.00）_14.设 X的密度函数为 （分数：2.00）_15.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_1
5、6.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）_17.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_18.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_（分数：2.00）_19.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，令 （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数
6、：2.00）_(2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_20.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y，)0x2，0y1)上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_21.电信公司将 n个人的电话资费单寄给 n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_22.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4)证明：当 n充分大时，随机变量 （分数：2.00）_23.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )
7、为来自总体 X的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_24.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)令 （分数：2.00）_25.设总体 （分数：2.00）_26.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 46答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
8、项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 0P(C)1，且 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(AC+BC)=P(AC)+P(BC) C.P(A+B)=P(AC)+P(BC)D.P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CA)解析：解析：由 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，因为 P(A+BC)=P(AC)+P(BC) P(ABC)，所以P(ABC)=0，从而 P(ABC)=0，故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选 B3.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B不等
9、价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于 AAB，则4.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+6F 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据性质 F(+)=1，得正确答案为 D.5.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X 和Y都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.
10、D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选 B二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设随机变量 X，Y 相互独立，且XN(0，4)，Y 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.46587）解析：解析：P(X+2Y4) =P(Y=1)P(X42YY=1)+P(Y=2)P(X42YY=2) +P(Y=3)P(X42YY=3)7.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= P(X0)=P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
11、案：*）解析：解析：令X0)=A，Y0)=B，则有 故 P(maxX，Y)0)=1P(maxX，Y)0)=1P(X0，Y0) =1 =P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=8.设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=1）解析：解析：因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 由E(X1)(X2)=E(X 2 3X+2)=E(X 2 )3E(X)+2= 2 2+2=1 得 =19.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X
12、 2 ，X M 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)=04，P(BA)=04， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析： 因为 P(AB)=04，P(BA)=04，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A)， 于是P(A+B)=P(A)+P(B)=P(AB)=12.随机向区域 D： 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与
13、该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 z轴的夹角小于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：半圆的面积为 落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 的区域记为 D 1 ，所求概率为 13.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2小时，求它们不需要等的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(Qx24，0y24)， 则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D=(x，y)0x24，0Y24， 则 D 1 =(x，y)yx1，xy2，(x，y)D)，
14、则两船不需要等待的概率为 )解析：设随机变量 X满足X1，且 （分数：4.00）(1).求 X的分布函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，F(x)=0： 当 x=1 时， 因为 P(1X1)= 所以在1X1(1x1)发生下，P(1Xx1X1)= 于是 当1x1 时，P(1Xx)=P(1Xx，1x1)=P(1X1).P(1Xx1x1)= F(x)=P(Xx)=P(X1)+P(1Xx)= 当 x1 时，F(x)=1， 故 )解析：(2).求 P(X0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X0)=F(0)= )解析：14.设 X的密度函数为 （分数：2.00）_正确
15、答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)= =PX(1y) 3 ) =1PX(1y) 3 )=1 (1y)3 f X (x)dx= f Y (y)=F Y (y)= )解析：15.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 p 11 +P 21 =p .1 得 p 11 = 因为 X，Y 相互独立，所以 p 1. p .1 =p 11 于是 P .1 = 由 p 1. P .2 =p 12 得 p .2 = ，再由 p 12 +p 22 =p .2
16、 得 p 22 = 由 p 11 +P 12 +p 13 =p 1. 得 p 13 = 再由 P 1. P .3 =P 13 得 p .3 = 由 p 13 +p 23 =p .3 得 p 23 = 再由 p 1. +p 2. =1得 P 2. = )解析：16.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz)= f(x，y)dxdy 当 z0 时，F Z (z)=0；当 0z1 时，F Z (z)= 0 z dy 0 zy (2zy)dx=z 2 当 1z2 时，F Z (z)=1 z1 1 dy zy 1 (2zy
17、)dx= 当 z2 时，F Z (z)=1 因此 )解析：17.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 +X 3 )+k 3 Y 1 =0，整理得 (k 1 +Yk 3 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +Xk 2 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 又 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即 从而 XY=0， 即 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY=0 注意到 X，Y 相互独立，所以 1 + 2 ， 2
18、+X 3 ，Y 1 线性相关的概率为 )解析：18.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=0208 k1 ，k=1，2， )解析：19.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(T)=1P(X10)+20P(10X12)5P(X1
19、2) =(10)+20F(12)(10)=51(12) =25(12)21(10)5 令 解得)解析：设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，令 （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X服从参数为 2的指数分布，所以 X的分布函数为 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1e 2 ； P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0； P(U=1，V=1)=P(X1，X2)=P(X2)=1F(2)=e 4 ； P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e
20、2 e 4 (U，V)的联合分布律为 )解析：(2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 E(U)=e 2 ，E(V)=e 4 ，E(UV)=e 4 ，E(U 2 )=e 2 ，E(V 2 )=e 4 ，则 D(U)=E(U 2 )E(U) 2 =e 2 e 4 ，D(V)=E(V 2 )E(V) 2 =e 4 e 8 ， Cov(U，V)=E(UV)E(U)E(V)=e 4 e 6 ， 于是 )解析：20.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y，)0x2，0y1)上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (U，V)的可能取值为(0，0)
21、，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)=0； P(U=1，V=0)=P(XY，X2Y)=P(YX2Y)= P(U=0，V=0)=P(XY，X2Y)=P(XY)= P(U=1，V=1)= (U，V)的联合分布律为 (2)由(1)得 )解析：21.电信公司将 n个人的电话资费单寄给 n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i个人收到自己的电话资费单)，i=1，2，n， i=12，n，则 X=X 1 +X 2 +X n 当 ij
22、时，P(X i =1，X j =1)=P(A i A j )=P(A i )P(A j A i )= Cov(X i X j )=E(X i X j )E(X i )E(X j )= )解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4)证明：当 n充分大时，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以 X 1 2 ，X 2 2 ，X n 2 也独立同分布且 E(X i 2 )= 2 ，D(x i 2 )= 4 2 2 ，当 n充分大时，由中心极限定理得 近似服从标
23、准正态分布，故 Z n 近似服从正态分布；两个参数为 = 2 )解析：23.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )为来自总体 X的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 且 U，V 相互独立，于是 )解析：24.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Y i =X i +X n+i (i=1，2，n)，则 Y 1 ，Y 2 ，Y n 为正态总体N(2，2 2 )的简单随机样本， (n1)S 2 ，
24、其中 S 2 为样本 Y 1 ，Y 2 ，Y n 的方差，而 E(S 2 )=2 2 ，所以统计量 U= )解析：25.设总体 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 为离散型随机变量，其分布律为 E(X)=33 令 33=2 得 0的矩估计值为 L(1，1，3，2，1，2，3，3；)=P(X 一=)P(X=1)P(X=3)= 3 2 (12) 3 ，lnL()=51n+31n(12)，令 得 的最大似然估计值为 )解析：26.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 E(S 1 2 )=E(S 2 2 )= 2 ，所以 即 )解析：
