1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若事件 A 和 B 同时出现的概率 P（AB ）=0 ，则（ ）（A）A 和 B 不相容（互斥）（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P（A）=0 或 P（B）=02 设 A1，A 2 和 B 是任意事件，且 0P（B ）1，P （A 1A2）|B=P（A 1|B）+ P（A 2|B），则（ ）（A）P（A 1A2）=P（A 1）+P（A 2）（B） P（A 1A2）=P（A 1|B）+P（A 2|B）（C） P（A 1BA2B）=P（A|B）+P
2、（A 2B）（D）P（A 1A2）3 A、B、C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（ ）（A）A，B，C 两两独立（B） P（ABC ）=P（A）P（B）P （C）（C） P（AB）=1（D）P（AB ）=04 假设 X 为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0 的充分必要条件是（ ）（A）X 是离散型随机变量（B） X 不是离散型随机变量（C） X 的分布函数是连续函数（D）X 的概率密度是连续函数5 设随机变量 X 的密度函数为 （x），且 （x）=（x），F（x）为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（ ）（A）F（a）=1 0（x）dx（B） F（a）= 0（x）dx
3、（C） F（a）=F（a ）（D）F（a）=2F（a）16 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，已知 PX=k=p（1p） k1，k=1 ，2， ，0p1，则 PXY 的值为（ ）7 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X2Y的方差是（ ）（A）8（B） 16（C） 28（D）448 已知（X，Y）服从二维正态分布，E（X）=E（Y ）=，D （X）=D（Y ）=2，X 和 Y 的相关系数 =0，则 X 和 Y（ ）（A）独立且有相同的分布（B）独立且有不相同的分布（C）不独立且有相同的分布（D）不独立且有不相同的分布9 设 X1，X 2，X m 和
4、Y1，Y 2，Y n 是分别取自总体都为正态分布N（， 2）的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 SX2 和SY2，则统计量 T=（n1 ）（S X2+SY2）的方差 D（r）=（ ）（A）2n 4（B） 2（n1） 4（C） 4n4（D）4（n1） 4二、填空题10 在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_。11 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的这个球是白球，则它不是
5、取自第二个箱子的概率是_。12 设随机变量 x 服从几何分布 G（，其中 01，若 PX2= ，则 PX=3 =_。13 设随机变量 X 服从正态分布 N（， 2），已知 PX2=0062，PX9=0025 ，则概率 P|X|4=_。（ （154）=0938，（196）=0975 ）14 已知（X，Y）的概率分布为 且 PX 2 + Y2=1 =0 5，则 PX 2Y2=1 =_。15 设（X，Y）N（， ； 2， 2；0），则 PXY=_。16 已知随机变量 X 服从（1，2）上的均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为戈的指数分布，则 E（XY）=_ 。17 已知随机变量 X1，X 2
6、，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N（0， 2），如果随机变量 Y=X1X2X3 的方差 D（Y）= ,则 2=_。18 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1= 都服从 _分布，且其分布参数分别为_和_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设事件 A 与 B 互不相容，P（4）=04，P（B）=03，求20 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数 F（x）。21 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 （ 0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（0p1），且中途下车与否相互独立。Y 为中
7、途下车的人数，求：（）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（）二维随机变量（X，Y）的概率分布。22 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （）计算两个边缘概率密度；（）求条件概率密度 fX|Y（y|x=2 ）；（）求条件概率PY1|X1。23 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： （）U=XY 的概率密度 fU（u）； （）V=|XY|的概率密度 fV（）。24 设 A，B 为随机事件，且（）求二维随机变量（X ，Y ）的概率分布；（）求 X 和 Y 的相关系数 XY。25 设由流水线加工的某种零件的内径 X（单位：毫米）
8、服从正态分布 N（，1），内径小于 10 或大于 12 的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T（单位：元）与销售零件的内径 X 有如下关系： 问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大。26 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布。现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16 只元件的寿命的总和大于 1 920小时的概率。27 设总体 X 的分布函数为 其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求：（ ） 的矩估计量；（） 的最大似然估计量。28 设总体 X 的概率分布
9、为其中 （0 ）是未知参数，利用总体 X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3 。求 的矩估计和最大似然估计值。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由 P（ AB）=0 不能推出 AB 是不可能事件，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，P（A 1A2|B）=0，但是这不能保证 P（A|A 2）=0 和P（A 1A2|B）=0 ，故选
10、项 A 和 D 不成立。由于 P（ A1|B） +P（A 2 |B）=P（A 1A2） |B ）未必等于 P（A 1+A2），因此 B 一般也不成立。由 P（B）0 及 P（A 1A2） |B ）=P（A 1|B）+P（A 2|B），可见选项 C 成立：【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 当 P（AB）=1 成立时， =1，故P（B）=0。再由多个事件相互独立的条件，易知 A、B、C 相互独立。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 对任意实数 a 有 PX=a=0 是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随
11、机变量必有 a 使 PX=a0，选项 A 不能选，故正确选项是 C。事实上，PX=a=0 F（a）F（a0）=0 对任意实数 a，F（a）=F（a0） F（x）是 x 的连续函数。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 如图 324 所示，F（一 a）= a（x）dx= 一 a0（x）dx，而 a0（ x）dx= a0（x）dx ，所以 F（a）= 0a（x）dx。故选项 B正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性得知 PXY=PXY= 1PX=Y。故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】
12、根据方差的运算性质 D（C）=0（C 为常数），D（CX）=C2D（X）以及相互独立随机变量的方差性质 D（XY）=D（X ）+D（Y）可得D（3X2Y）=9D（X） +4D（Y）=44。故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到 X 和 Y 独立；又（X，Y）服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且XN（ ， 2），YN（， 2）。所以选 A。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 根据已知可得=42（n1）+2 （n 1）=4 （nl） 4。【知识模块】 概率论与数理统计二
13、、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间=（ x，y） |0 x，y1，记 A=（x，y）|（x，y），|xy| 。所以P（A） = 其中 SA，S n 分别表示 A 与 的面积。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P（B），第二个空应为 显然 A1，A 2，A 3 是一完备事件组，由题意可得 P（A i）= ,i=1，2，3，P（B|A 1） = 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案
14、】 【试题解析】 PX2 =PX=1 +PX=2 =（1） 11 + （10） 21=22=解得 （舍），故 PX=3=（1 一 ） 2=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 0294 6【试题解析】 要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 。根据题意有【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 03【试题解析】 由于 01 +02+Q+p +01 +02=06 +a+=1，即 +=04， 又 05=PX 2+ Y2=1=PX2=0，Y 2=1 +PX2=1， Y2=0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一 1+PX=1，Y=0 =+01 +01
15、。 故 =03，=01。 那么PX2Y2=1=PX2=1，Y 2=1=PX=1，Y=l+PX=1，Y=1 =0 2+=0 3。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设知 fY|X（y|x）= 所以（X ，Y）的联合密度函数 f（ x，y）=fx（x）f Y|X（y|x）= E（XY）= +xyf（xy）dxdy= 12dx0+xyxexydy=122x dx=1。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，则 X12，X 22，X
16、32 相互独立。又因 E（X i） =0，E（X 12）=D（X 1）= 2。故 D（y）=D（X 1X2X3）=E（X 1X2X3） 2 一 E2（X 1X2X3）=EX 12X22X32E（X 1）E（X 2）E（X 3）2=E（X 12）E（X 22）E（X 32）=（ 2） 3=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 t；2；n1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 是相互独立且同服从分布 N（0，1），所以 X1X2 与 X32+X42 相互独立，X 1 与 Xi2 也相互独立，且有X1X2N（0，2）， N（0，1），X 32+X42 X2 （2）
17、，X i22（n1），所以即 E 与 Y2都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n1。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 因 A 与 B 互不相容，所以【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 当 x1 时，F（x）=0；当 1x2 时，则当 x2 时，F（x）=1。综上所述，X 的分布函数 F（x）为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 （）P Y=mX=n=C nmpm（1p） nm，0 m， n，n=0 ，1， 2，。 C nmpm（1p） nm，0 m n，n=0，1 ，2，。【知识模块】 概率论与
18、数理统计22 【正确答案】 （）当 x0 时，f X（x）=0；当 x0 时，f X（x）=e ydy=ex，即当 y0 时，f Y（y）=0；当 f1（x）f 2（x）=0 时，f Y（y）= 0xeydx=yey，即（）X1，Y1 所对应的区域如图 333 所示：【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 根据 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度。（）分布函数法。根据题设知（X，Y）联合概率密度 f（x，y）=f X（x）f Y（y）=所以 U=XY 的分布函数为（如图 339 所示）FU（M ）=PXYu= （1）当
19、u0 时，F U（u）=0；当 u1 时，FU（u）=1；（2）当 0u1 时，（）公式法。设 Z=XY=X+（Y）。其中 X 与（Y ）独立，概率密度分别为 根据卷积公式得Z 的概率密度 fZ（z）= +（xy）f Y（y）dy= 10fX（xy）dyV=|XY|=|Z|的分布函数为 FV（v）=P|Z|，可得当 0 时，F V（）=0 ；当 0 时，F V（ ）=PvZ=（z）dz。由此知，当 01 时，F V（）= 1（z+l）dz+ 0（ 1z）dz=2 一 2；当 1 时，F V（ ）= 1 0dz+10（z+1）出+ 01（1 一z）dz+ 10dz=1。综上可得【知识模块】 概率
20、论与数理统计24 【正确答案】 故（X，Y）的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有E（T）=1PX10+20P10X125PX12= （10 一 ）+20 （12一 ）一 （10 一 ）51 （12 ）=25（12 一 ）21 （10 一 ）5，可知销售利润的数学期望 E（T）是 的函数。要求 E（T）的最大值，令其一阶导数为 0，有因实际问题一定可取到最值，所以当 =11 时，销售一个零件的平均利润最大。【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，假设 X 表示电器元件的寿命，则X
21、的概率密度为 随机取出 16 只元件，其寿命分别用X1，X 2，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为 100 的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为 Y= 其中 E（X i）=100 D（X i）=100 2，由此得由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N（1 600，16100 2），于是 P Y 1 920 =1P Y 1 920 =1=（08） =10 788 1 =0211 9。【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 X 的概率密度为当 xi1（i=1，2，n）时，L（）0，取对数可得【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 E（X）=0 2+12（1） +2 2+3（12 ） =34，= 的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算（3 +1 +3 +0 +3 +1 +2 +3）=2 。因此 的矩估计值 对于给定的样本值似然函数为 L（）=4 6（1） 2（12） 4，InL（ ） =ln4+6ln+2ln（1）+4ln（12），令 =0，得方程12214+3=0，解得 于是 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
