1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 26及答案解析(总分：104.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n 一 X 2n-1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布3.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服
2、从同参数 p的 0一 1分布4.设 X 1 ，X 1 ，X n ，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n ( )（分数：2
3、.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布D.服从同一离散型分布7.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，其中 已知， 未知，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，则不能作出统计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.假设总体 X的方差 D(X)存在，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 则 E(X 2 )的矩估计量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 是从总体 X中取出的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 )B.X服从参数为 的指
4、数分布C.PX=m=(1 一 ) m-1 ，m=1，2，D.X服从0，上均匀分布二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1i2n)，如果 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1(3)=09987，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:
5、_13.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_14.D(X)=2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，且 X i 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1，2，n，则当 n充分大时， （分数：2.00）填空项 1:_16.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_17.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样
6、本 为样本均值，S 2 为样本方差，如果 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自区间一 a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)= 一x+，则 的最大似然估计量 （分数：2.00）填空项 1:_20.设总体 X的概率密度函数为 f(x；)= 其中 01 是位置参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_21.设
7、总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 X 1 ，X 1 ，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：30，分数：60.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率（分数：2.00）_25
8、.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5000只零件的总重量超过 2510kg的概率是多少?（分数：2.00）_26.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_27.设 X的概率密度为 f(x)= X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本 （分数：2.00）_28.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_29.设总体 X的概率分布为 其中 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =m
9、in(X 1 ，X 2 ，X n ) (I)求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_31.设总体 X服从几何分布： p(x；p)=p(1 一 p) x-1 (x=1，2，3，)， 如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值（分数：2.00）_32.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_33.设总体 X服从拉普拉斯分布： （分数：2.00）_34.设总体 X服从伽玛分布： （分数：2.00）_35.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_36.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_37.设总体
10、X的概率密度为 其中参数 (01)未知X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， 是样本均值求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_38.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_39.设 x 1 ，x 2 ，x n 为来自正态总体 N( 0 ， 2 )的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0未知 和 S 2 分别表示样本均值和样本方差 (I)求参数 2 的最大似然估计 ()计算 （分数：2.00）_40.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0，设 Z=XY， (I)求 Z的概率密度 f(x， 2 )； ()
11、设 z 1 ，z 2 ，z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_41.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_42.已知总体 X是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2 且 PX=2=(1一 ) 2 ，E(X)=2(1 一 )( 为未知参数) (I)试求 X的概率分布； ()对 X抽取容量为 10的样本，其中 5个取 1，3 个取 2，2 个取0，求 的矩估计值、最大似然估计值； ()求经验分布函数（分数：2.00）_43.已知总体 X的概率密度 f(x)= (0)，X 1 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，Y=X 2 (I)求 Y的期
12、望 E(Y)(记 E(Y)为 b)； ()求 的矩估计量 和最大似然估计量 （分数：2.00）_44.某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （分数：2.00）_45.设总体 X一 N(， 2 )， 2 未知，而 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本 (I)求使得 a + f(x；， 2 )dx=005 的点 a的最大似然估计，其中 f(x；， 2 )是 X的概率密度； ()求 PX2的最大似然估计（分数：2.00）_46.设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本， X (n) =max(X 1 ，
13、X n ) (I)求 的矩估计量和最大似然估计量； ()求常数 a，b，使 的数学期望均为 ，并求 （分数：2.00）_47.已知总体 X的密度函数为 （分数：2.00）_48.设 X服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量（分数：2.00）_49.已知总体 X的密度函数为 （分数：2.00）_50.设总体 X服从韦布尔分布，密度函数为 （分数：2.00）_51.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_52.设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2(I)若已知 p=2
14、5，求 n的矩估计值 ()若已知 n=100，求 p的极大似然估计值 ()在情况()下，检验员从该批次产品中再随机检测 100个样品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3的概率 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 26答案解析(总分：104.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n 一 X 2n-1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期
15、望与方差 C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布解析：解析：因为 X n 相互独立，所以 Y n 相互独立选项 A缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B事实上，若 E(X n )=，D(X n )= 2 存在，则 根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有 3.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 0一 1分布 解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立的条件之
16、外，还要求 X 1 ，X 2 ，X n ，同分布与期望存在只有选项 D同时满足后面的两个条件，应选 D4.设 X 1 ，X 1 ，X n ，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(X i )=，D(X i )=，根据方差与期望的运算法则，有 因此当 n时, 5.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( ) （分数：
17、2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意知 E(X i )=0，i=1，2，n记 根据切比雪夫不等式，有 6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n ( )（分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布 D.服从同一离散型分布解析：解析：本题考查中心极限定理的应用条件，列维一林德伯格中心极限定理成立的条件是随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，且具有有限的数学期望和非零方差而选项 A、B 不
18、能保证随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 同分布，故均不入选；选项 D不能保证其期望、方差存在及方差非零，故也不入选，因此选 C7.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，其中 已知， 未知，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，则不能作出统计量( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 2 未知，故选 C8.假设总体 X的方差 D(X)存在，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 则 E(X 2 )的矩估计量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据矩估计量的定义确定选项因为 E(X 2 )=D
19、(X)+E 2 (X)，而 D(X)与 E(X)矩估计量分别为 9.设 是从总体 X中取出的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 ) B.X服从参数为 的指数分布C.PX=m=(1 一 ) m-1 ，m=1，2，D.X服从0，上均匀分布解析：解析：若 XN(， 2 )，则 E(X)=， 的矩估计为 应选 A若 X服从参数为 的指数分布，则 对于选项 C，X 服从参数为 的几何分布，E(X)= 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1
20、i2n)，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 Z i =X 2i X 2i-1 ，则 Z i (1in)独立同分布，且 E(Z i )=0，D(Z i )=2由独立同分布中心极限定理可得，当 n充分大时， 11.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，所以 E(X n )=0，D(X n )= 根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有 12.设随机试验成功的概率 p=0
21、20，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1(3)=09987，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：令 X=“在 100次独立重复试验中成功的次数”，则 X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=020，且 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)因此试验成功的次数介于 16和 32之间的概率13.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
22、正确答案：0928）解析：解析：因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=1，DY=1，所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5， D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18 根据切比雪夫不等式，可得 P0X+Y10=P|X+Y 一 5|514.D(X)=2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据切比雪夫不等式，有15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，且 X i 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1，2，n，则当 n充分大时， （分
23、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：X 1 +Y 1 ，X 2 +Y 2 ，X n +Y n 相互独立同分布因 E(X i )=D(X i )=，E(Y i )=，D(Y i )= 2 ，故 E(X i +Y i )=2，D(X i +Y i )=+ 2 ，则当 n充分大时， 近似服从正态分布，其分布参数 16.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果事实上，设 E(X)= ,E(X)=20(1一 )+2(1 一 ) 2 =2(1一 ) 17.假
24、设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本 为样本均值，S 2 为样本方差，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 04383）解析：解析：根据 由于 X 因此由 18.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自区间一 a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 E(X)=0，不能用一阶矩来估计19.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)= 一x+，则 的最大似然估计量 （分数：2.
25、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设总体 X的概率密度函数为 f(x；)= 其中 01 是位置参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意可知。 1= - + f(x;)dx= 0 1 xdx+ 1 2 =2(1一 cx)dx= 因为 0， 21.设总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
26、案： ）解析：解析：22.设 X 1 ，X 1 ，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 p(x i ；)=PX=x i = (x i =0，1，)，则极大似然估计为 三、解答题(总题数：30，分数：60.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(
27、正确答案：根据独立同分布中心极限定理，假设 X表示电器元件的寿命，则 X的概率密度为 随机取出 16只元件，其寿命分别用 X 1 ，X 2 ，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布设寿命总和为 其中 E(X i )=100，D(X i )=100 2 ，由此得 由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N(1600，16 100 2 )，于是 )解析：25.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5000只零件的总重量超过 2510kg的概率是多少?（分
28、数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，设 X i 表示第 i只零件的重量(i=1，2，5000)，且 E(X i )=05，D(X i )=01 2 设总重量为 ，则有 E(Y)=5000 05=2500，D(Y)=500001 2 =50，根据独立同分布中心极限定理可知 Y近似服从正态分布 N(2500，50)，而 近似服从标准正态分布 N(0，1)所求概率为 )解析：26.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的数学期望是 E(X)= - + xf(x)dx= 0 t (+1)x +1 dx= 令 得到参数 的矩估计量为 设
29、x 1 ，x 2 ，x n 是相对于样本 X 1 ，X 2 ，X n 的一组观测值，所见似然函数为 当 0x i 1(i=1，2，3，n)时，L0 且 lnL=nln(+1)+ 令 解得 的极大似然估计为 )解析：27.设 X的概率密度为 f(x)= X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 当 x i 0(i=1，2，n)时，L()0，取对数，得 由于 必须满足 x i (i=1，2，n)，因此当 取 x 1 ，x
30、 2 ，x n 中最小值时，L()取最大值，所以 的最大似然估计值为 )解析：29.设总体 X的概率分布为 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1 一 )+2 2 +3(12)=34。= 的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算 对于给定的样本值似然函数为 L()=4 6 (1) 2 (12) 4 ， lnL()=ln4+6ln+2ln(1 一 )+4ln(12)， )解析：30.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =min(X 1 ，X 2 ，X n ) (I)求总体 X的分布函数 F
31、(x)； ()求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设总体 X服从几何分布： p(x；p)=p(1 一 p) x-1 (x=1，2，3，)， 如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知总体 X的概率函数的未知参数为 p，且总体 X的一阶原点矩为 用样本一阶原点矩的观测值 作为 v 1 (X)的估计值，则可得参数 p的估计值为 所以可得参数 p的矩估计值为 参数 p的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 p求导，令导函数取值为 0， 解上述含参数 p的方程，即得到
32、 p的最大似然估计值为 )解析：32.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑总体 X的一阶原点矩 v 1 (X)=E(X)= 0 1 x.x -1 dx= 0 1 x dx= 用样本一阶原点矩的观测值 作为 v 1 (X)的估计值，则可得参数 的矩估计值为 因此可得参数 的矩估计值为 参数 的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 求导，令导函数取值为 0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为 )解析：33.设总体 X服从拉普拉斯分布： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：样本的一阶原点矩为 样本的二阶原点矩为 两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为 0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为 )解析：34.设总体 X服从伽玛分布： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)伽玛分布的一阶和二阶原点矩分别为 解上述方程组，并结合二阶中心矩的实际值 得到参数 与 的矩估计值 ()根据题意，当 = 0 时，密度函数为 两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为 0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为 )解析：35.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为 当 x i 1(i=1，2，n)时，L()0，取对数可得 )解析：36.设总体 X的概率密度为
