1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 44 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )(B)nS 2 2 (n) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 Xt(2)，则 （分数：2.00）A. 2 (2)B.F(1，2)C.F(2，1)D. 2 (4)4.设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n)=(0（分数：2.00）A.F (m，n)B.F 1- (m，n)C.D.
2、5.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从 2 分布D.X 2 Y 2 服从 F 分布6.设随机变量XF(m，m)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小与自由度 m 有关二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 1
3、6 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 XN(1，2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)，则 a= 1，b= 2，n= 3（分数：2.00）填空项 1:_10.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 +c
4、X 5 2 ，且 Y 2 (n)，则 a= 1，b= 2，c= 3，n= 4（分数：2.00）填空项 1:_12.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 ，X n+m )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 UN(，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 S 0 2 = （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 X 的分布律为 P(X=i)= （分数：2.00）填空项 1:_
5、16.设总体 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：4.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(Y)， UV ；（分数：2.00）_(2).设 U，V 不相关，求常数(a，b 之间的关系（分数：2.00）_18.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估计 P|X|F (m，n)=(0（分数：2.0
6、0）A.F (m，n)B.F 1- (m，n) C.D.解析：解析：根据左右分位点的定义，选(B)5.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从 2 分布 D.X 2 Y 2 服从 F 分布解析：解析：因为 X，Y 不一定相互独立，所以 X+Y 不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)6.设随机变量XF(m，m)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小与自由度 m 有关解析：解析：因为 XF(m，m)，所以
7、于是二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为*所以*）解析：8.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：9.设随机变量 XN(1，2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)且随机变量 X，Y，Z 相互独立，已知 a(X+Y) 2 +bZ 2 2 (n)，则 a= 1，b= 2，n= 3（分数：2.00）填空项 1:
8、_ （正确答案：正确答案：由 XN(1，2)，YN(一 1，2)，ZN(0，9)，得 X+YN(0，4) ）解析：10.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 X i N(0，3。)(i=1，2，9)，所以 且相互独立， 故 ）解析：11.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 +cX 5 2 ，且 Y 2 (n)，则 a= 1，b
9、= 2，c= 3，n= 4（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 X 1 2X 2 N(0，20)3X 3 一 4X 4 N(0，100)，X 5 N(0，4)， 所以 于是 故 ）解析：12.设(X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 ，X n+m )为来自总体 XN(0， 2 )的简单样本，则统计量 U= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 相互独立，所以 ）解析：13.设 UN(，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 UN(，1)，得 又 U，V 相互独立，则）解析：1
10、4.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 S 0 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：15.设总体 X 的分布律为 P(X=i)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：16.设总体 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：L()= 2 (1-2) 2 = 4 (12)，lnL()=4ln+ln(12) 令 得参数 的极大似然估计值为 ）解析：三、解答题(总题数：15，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
11、步骤。_解析：设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：4.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(Y)， UV ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aXbY)=0。 D(U)=D(V)=(a 2 +b 2 ) 2 Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX 一 bY)=a 2 D(X)一 b 2 D(Y)=(a 2 一 b 2 ) 2 )解析：(2).设 U，V 不相关，求常数(a，b 之间的关系（分数：2.00）_正确答案：(正
12、确答案： )解析：18.设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2 ，用切比雪夫不等式估计 P|X|3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，令 问n 多大时才能使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由切比雪夫不等式得 )解析：20.设总体 XN(O， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 (
13、0,10 2 )，于是 又因为 X 11 ，X 12 ，X 20 相互独立且与总体服从同样的分布所以 于是 又 独立，故 即 )解析：21.设总体 XN(O，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 20 相互独立且与总体 XN(0，2 2 )服从同样的分布， )解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体XN(0，4)的简单随机样本，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X 1 ，X 2 ，X 7 与总体服从相同的分布且相互独立，得 于是 查表得 0.025 2 (
14、7)=16014，故 )解析：23.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 5 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 总体均值为 E(X)=， 则 )解析：24.设总体 X 的分布律为 P(X=k)=(1-p) k-1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 得参数 p 的矩估计量为 令 得参数 p 的极大似然估计量为 )解析：25.设总体 X 的密度函数为 （分数：2
15、.00）_正确答案：(正确答案：显然 E(X)=0， 由 得 的最大似然估计值为 则参数 的最大似然估计量为 )解析：设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的最大似然估汁量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本值，似然函数为 当 x i 0(i=1，2，n)时，令 得 的最大似然估计值为 因此 的最大似然估计量为 )解析：(2).该估计量是否是无偏估计量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 而 E(X)=，所以 故 )解析：26.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于总体的
16、均值为 则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1 ，x 2 ，x n )为来自总体(X 1 ，X 2 ，X n )的观察值，则关于参数 的似然函数为 令 得参数 的最大似然估计值为 参数 的最大似然估计量为 )解析：27.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设总体 X 的密度函数为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：参数 的似然函数为 当 x i (i=1，2，n)时， 因为 所以 lnL()随 的增加而增加，因为 x i (i=1，2，n)，所以参数 的最大似然估计值为 )解析：
