1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 26 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个随机事件，其中 0P(A)1，P(B)0 且 P(BA)= （分数：2.00）A.P(AB)=B.P(AB)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(X 一 2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关4.设随机变量 X
2、i (i=1，2)，且满足 P(X 1 X 2 =0)=1，则 P(X 1 =X 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.X，Y 的任意线性组合 l 1 X+l 2 Y(l 1 ，l 2 不全为零)服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，Y 相互独立6.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关7.设随机变量 XF(m，n)，令 p=P(X1)，q=P(
3、X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小与自由度 m 有关二、填空题(总题数：11，分数：22.00)8.设 P(A)=06，P(B)=05，P(AB)=04，则 P(BA)= 1，P(A+B)= 2（分数：2.00）填空项 1:_9.有 16 件产品，12 个一等品，4 个二等品，从中任取 3 个，至少有一个是一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_12.随机变
4、量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 1 2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，x n 为来自总体的简单随机样
5、本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_17.设 UN(，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 T= （分数：2.00）填空项 1:_18.设正态总体 X 的方差为 1，根据来自总体 X 的容量为 100 的简单随机样本测得样本的均值为 5，则总体X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_袋中有 12 只球，其中红球 4 个，白球 8 个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：（分数：4.00）(1).两个球中一个是红球一个是白球；
6、（分数：2.00）_(2).两个球颜色相同（分数：2.00）_20.设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立，每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_21.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_(2).求(X，Y)落在区域 x 2 +y 1 （分数：2.00）_设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(
7、x)= 设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 P(A+B)=（分数：4.00）a；_(2).E( （分数：2.00）_22.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_23.设总体 X 的密度函数为 f(x)= ，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的简单随机样本 (1)求 的矩估计量 ； (2)求 D( （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 26 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数
8、：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个随机事件，其中 0P(A)1，P(B)0 且 P(BA)= （分数：2.00）A.P(AB)=B.P(AB)C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：解析：由 P(BA)= ， 再由3.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(X 一 2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关 B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关解析：解析：因为 P(X2)=P(2X 一 2)=P(-24.设随机变量 X i
9、 (i=1，2)，且满足 P(X 1 X 2 =0)=1，则 P(X 1 =X 2 )等于( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题意得 P(X 1 =一 1，X 2 =一 1)=P(X 1 =一 1，X 2 =1)=P(X 1 =1，X 2 =一 1)=P(X 1 =1，X 2 =1)=0， P(X 1 =一 1，X 2 =0)=P(X 1 =一 1)= ，P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)= ， P(X 1 =0，X 2 =一 1)=P(X 2 =一 1)= ，P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)= 5.设(X，Y)服从二维正态分布，则下
10、列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立 B.X，Y 的任意线性组合 l 1 X+l 2 Y(l 1 ，l 2 不全为零)服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，Y 相互独立解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时，X，Y 才相互独立，选(A)6.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关 解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(
11、Y)，则有 Cov(X，y)=0，于是X，Y 不相关，选(D)7.设随机变量 XF(m，n)，令 p=P(X1)，q=P(X1)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小与自由度 m 有关解析：解析：因为 XF(m，m)，所以 F(m，m)，于是 q=P(X1)=P(二、填空题(总题数：11，分数：22.00)8.设 P(A)=06，P(B)=05，P(AB)=04，则 P(BA)= 1，P(A+B)= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03，09；）解析：解析：因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(AB)=02，于是 P(
12、BA)=P(B)一 P(AB)=0502=03，P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=060502=099.有 16 件产品，12 个一等品，4 个二等品，从中任取 3 个，至少有一个是一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A=抽取 3 个产品，其中至少有一个是一等品，则 P(A)=1 一10.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为方程 x 2 +4x+X=0 无实根，所以 164X0，即 X4，由 XN(， 2 )
13、且 P(X4)= 11.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Y*）解析：解析：Y 的可能取值为 2，3，6， P(Y=2)=P(X=0)= ，P(Y=3)=P(X=1)= ， P(Y=6)=P(X=一 2)+P(X=2)= 则 Y 的分布律为 Y12.随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(X)= xf(x)dx= 1 0 x(1x)dx 0 1 x(1x)dx=0， E(X 2 )= 1 1 x 2 (1x)dx=2 0 1 x 2 (1x)dx= ，则 D(X)=
14、E(X 2 )E(X) 2 = 13.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 1 2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：由 D(X 1 )= 14.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：36）解析：解析：Cov(X，Y)=15.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
15、：正确答案：*）解析：解析：PXE(X)216.设 X 为总体，E(X)=，D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，x n 为来自总体的简单随机样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2）解析：解析： 由 + 2 ，得 E(n 一 1)S 2 = =n( 2 + 2 )n( 17.设 UN(，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，则 T= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 UN(，1)，得 =U 一 N(0，1)，又 U，V 相互独立，则18.设正态总体 X 的方差为 1，根据来自总体 X 的容量为 100 的简
16、单随机样本测得样本的均值为 5，则总体X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：XN(，1)，取统计量 N(0，1)，则 的置信度为 095 的置信区间为三、解答题(总题数：8，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：袋中有 12 只球，其中红球 4 个，白球 8 个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：（分数：4.00）(1).两个球中一个是红球一个是白球；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A=抽取的两个球中一个是红球一个是白球，则 P(A)= )解析
17、：(2).两个球颜色相同（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=抽取的两个球颜色相同，则 P(B)= )解析：20.设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立，每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T i =第 i 个元件的正常工作时间，T i E()，i=1，2，6 F(t)=PTt，注意Tt表示系统在0，t内一定正常工作 则Tt=(T 1 t+T 2 t)(T 3 t+T 4 t)(T 5 t+T 6 t)， 又 T 1 ，T 2 ，T 6 相互独立同分布，所以
18、有 F(t)=PTt=P(T 1 tT 2 t) 3 而 P(T 1 t+T 2 t)=1 一 PT 1 t，T 2 t=1 一 PT 1 tPT 2 t=1 一1 一 F T1 (T) 2 所以 T 的分布函数为 F(t)= )解析：21.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(a)+F(一 a)= ， )解析：随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1= dx f(x，y)dy= )解
19、析：(2).求(X，Y)落在区域 x 2 +y 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令区域 D：x 2 +y 2 ，(X，Y)落在区域 D 内的概率为 p= )解析：设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 P(A+B)=（分数：4.00）a；_正确答案：(正确答案：因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p， 于是 2pp 2 = ，即 P(A)=P(Xa)= ， 而 P(Xa)= a 2 )解析：(2).E( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.游客乘电梯从底层到顶层观光，
20、电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 f(x)= 游客等电梯时间设为 T，则 T= ，于是 E(T)= T(x)f(x)dx = )解析：23.设总体 X 的密度函数为 f(x)= ，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的简单随机样本 (1)求 的矩估计量 ； (2)求 D( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(X)= xf(x)dx= 0 (2) ， 因为 E(X 2 )= x 2 f(x)dx= 0 ， D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = )解析：
